高等數(shù)學定積分可積性理論補敘(已修改)
2025-08-31 14:57 本頁面
【正文】 返回 后頁 前頁 *167。 6 可積性理論補敘 一、 上和與下和的性質(zhì) 本節(jié)首先證明達布定理 , 然后用達 布定理證明 函數(shù)可積的第一、第二、 第三充要條件 , 其中第二充要條件即 為第三節(jié)中介紹的可積準則 . 二、 可積的充要條件 返回返回 后頁 前頁 一、上和與下和的性質(zhì) 01:, nT a x x x b? ? ? ? ? 有相應(yīng)的 上和 與 下和 : 1s u p { ( ) | [ , ] } , 1 , 2 , , ,ii if x x x x iM n?? ? ?1() Δ ,niiiS T M x?? ?1() Δ ,niiis T m x?? ?1in f { ( ) | [ , ] } , 1 , 2 , , .ii if x x x x im n?? ? ?[ ] , [ , ]f a , b a b若 在 上有界 則對 的分割由 167。 2, 其中返回 后頁 前頁 i i iMm? ??1[ ] .i if x , x是 在 上的振幅? ?1su p | ( ) ( ) | , [ , ] ,iif x f x x x x x?? ?? ? ??? ? ?,)()()(1 1? ?? ?????niniiiiii xxmMTsTS ?? ?其中 返回 后頁 前頁 上和的幾何意義 : 曲邊梯形“外接”矩形 下和的幾何意義 : 曲邊梯形“內(nèi)接”矩形 面積之和 . 面積之和 . x y O a b()y f x?x y O ()y f x?a b返回 后頁 前頁 11( ) su p ( ) Δ [ , ] , 1 , 2, , ,ni i i i iiS T f x x x i n?? ????? ? ??????11( ) i n f ( ) Δ [ , ] , 1 , 2, , .ni i i i iis T f x x x i n?? ??? ? ??11() Δ Δ ( ) ,nni i i iiif x M x S T???????11( ) ( ) Δ [ , ] , 1 , 2, ,ni i i i iiS T f x x x i n??即 是 ???? ???????01:, nT a x x x b? ? ? ? ?對固定分割 有性質(zhì) 1 ,2,1,)(],[ 1 niMfxx iiiii ????? ? ??證 返回 后頁 前頁 ? ?10, su p ( ) [ , ] ,i i iM f x x x x? ?? ? ? ?由于 因此1 [ , ] ,i i ixx? ??? 使于是???? ???niiiniii xabMxf11)()( ?? ?????? ???niiniii xabxM11?? ?.)( ??? TS( ) .iifM ba?? ?? ?.的一個上界返回 后頁 前頁 :類似可證所以證得11( ) su p ( ) Δ [ , ] , 1 , 2, , .ni i i i iiS T f x x x i n?? ????? ? ??????11( ) i n f ( ) Δ [ , ] , 1 , 2, , .ni i i i iis T f x x x i n?? ????? ? ??????返回 后頁 前頁 ( ) ( ) ( ) ( ) | | | | ,S T S T S T M m p T?? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) | | | | .s T s T s T M m p T?? ? ? ?1 Δ kTT設(shè) 中 新 加 入 的 那 個 分 點 落 在 的 某 小 區(qū) 間, Δ , Δ Δ .k k k內(nèi) 它 把 分 為 兩 小 區(qū) 間 記 為 與 此 時? ??,的分割 則,. pT 39。 T?所 得 到 的 分 割T 39。 T p設(shè) 為分割 添加 個新分點后所得到性質(zhì) 2 0, iT T T i?為方便起見 記 為添加 個新分點后證 返回 后頁 前頁 01( ) ( )S T S T?1Δ ( Δ Δ Δ )ni i i i k k k ki i kM x M x M x M x??? ? ?? ??? ? ? ???( Δ Δ )( Δ Δ )k k k k k k kM x x M x M x? ?? ? ? ?? ??? ? ? ?() Δ () Δ .k k k k k kM M x M M x? ? ?? ??? ? ? ?由于 ( ) ,k k km M M M M? ??? ? ?或故有010 ( ) ( ) ( ) Δ ( ) | | | | .kS T S T M m x M m T? ? ? ? ? ?返回 后頁 前頁 同理有10 ( ) ( ) ( ) | | | | .i i iS T S T M m T?? ? ? ?因此證得00 ( ) ( )pS T S T??110[ ( ) ( ) ]piiiS T S T??????10( ) || ||piiM m T???? ?( ) | | | | .M m p T??類 似 可 證( ) ( ) ( ) ( ) | | | | .s T s T s T M m p T?? ? ? ?返回 后頁 前頁 ,TT? ??表示把 與 的所有分點合并得到的分割 則( ) ( ) , ( ) ( ) ,S T S T s T s T???? ( ) ( ) ( ) ( ) .s T s T S T S T? ??? ? ?,T T T T T? ?? ? ????若 與 為任意兩個分割性質(zhì) 3 , ( ) ( ) .T T s T S T? ??
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