【正文】 ] , ( ) ( ) ,f g a b f x g x x若 在 上可積 且 ??證 ( ) ( ) ( ) 0 , [ , ] ,F x g x f x x a b? ? ? ?設 則() Δ .iiTf x J J? ? ? ?? ],[ 1 iii xx ??? ?,d)(d)(d)(0 ??? ??? bababa xxfxxgxxF( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???[ , ],ab 則返回 后頁 前頁 若 f 在 [a, b] 上可積 ,則 | f |在 [a, b] 上 也 性質(zhì) 6 ( ) d ( ) d .bbaaf x x f x x???證 [ , ] , 0,f a b ???因 為 在 上 可 積,T? 使 得. ( ) ( ) ( ) ( ) ,fiiTx f x f x f x f x? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? 由1su p { ( ) ( ) , [ , ] }fi i if x f x x x x x? ?? ?? ? ??? ? ?1su p { ( ) ( ) , [ , ] } .fi i if x f x x x x x ??? ?? ? ??? ? ? ?( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???即 可積 ,且 返回 后頁 前頁 Δ Δ , [ , ]f fi i i iTx x f a b? ? ?故 即 在 上 可 積 .????( ) ( ) ( ) ,f x f x f x且由于 得到? ? ?( ) d ( ) d ( ) d ,b b ba a af x x f x x f x x? ? ?? ? ?因此證得 ( ) d ( ) d .bbaaf x x f x x???注 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) ,f x g x f x g x??由 但一般不能推得 ( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x??? ( ) ( ) [ , ]f x g x a b但若 和 在上連續(xù)，則可得到嚴格不等式 ( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???返回 后頁 前頁 例 1 ( ) ( ) [ , ] , ( ) ( ) ,f x g x a b f x g x?設 和 在 上 連 續(xù)0 0 0[ , ] , [ , ] , ( ) ( ) ,x a b x a b f x g x且存在 使 則? ? ?( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???證 00( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0 ,g x f x g x f x且 不妨設? ? ? ?00( , ) [ , ] ,x x x a b??當時? ? ? ?001( ) ( ) [ ( ) ( ) ] .2g x f x g x f x? ? ?由連續(xù)函數(shù)的局部保號性質(zhì) , 0,???0 ( , ) .x a b?由此推得 返回 后頁 前頁 ?? [ ( ) ( ) ] dba g x f x x???? ? ? ???000[ ( ) ( ) ] d [ ( ) ( ) ] dxxaxg x f x x g x f x x?? ????? 0 [ ( ) ( ) ] dbx g x f x x??????00[ ( ) ( ) ] dxx g x f x x?? 00( ) ( ) 22g x f x ???( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???00[ ( ) ( ) ] 0 ,g x f x ?? ? ?即 返回 后頁 前頁 ???( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x此結(jié)論 , 由本章總練習題 10證明 . , [ , ]f g a b由 在 上可注 3 ( ) ( ) , [ , ] ,f x g x x a b??若積,可得注 2 ,fg例 1 中 條 件 與 的 連 續(xù) 性 可 減 弱 為 :[ , ] , ( ) ( ) , [ , ] ,f g a b f x g x x a b??和 在 上 可 積 且0 0 0[ , ] , ( ) ( ) ,f g x a b f x g x??存 在 和 的 連 續(xù) 點 使( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???則返回 后頁 前頁 二、積分中值定理 定理 ( 積分第一中值定理 ) [ , ] , [ , ] ,f a b a b? ?若 在 上 連 續(xù) 則 存 在 使( ) d ( ) ( ) .ba f x x f b a???? 證 由于 f 在 [a, b] 上連續(xù)，因此存在最大值 M 和 ( ) d ( ) dbbaam b a m x f x x? ? ???( ) , [ , ] ,m f x M x a b? ? ? 因 此最小值 m. 由于 d ( ) ,ba M x M b a? ? ??返回 后頁 前頁 1 ( ) d .bam f x x Mba??? ?1( ) ( ) d .baf f x xba? ? ? ?1( , ) , ( ) ( ) d ,bax a b f x f x xba? ? ? ? ?注 1 ( , )ab? 還 可 以 在內(nèi)取到 ,事實上若 由連續(xù)函數(shù)的介值性定理， [ , ] ,ab??? 使則由連續(xù)函數(shù)的介值定理 , 必恒有 即返回 后頁 前頁 ( ) ( ) d , ( , ) .baf x f t t x a b???或 恒 有( ) ( ) d , ( , ) ,baf x f t t x a b???1 1 1( ) d ( ) d db b ba a af x x f t t xb a b a b a??? ??? ? ???? ? ?1 ( ) d , 。ba f x xba? ? ? 矛 盾因此 11 ( ) d ( ) d , .bbaaf x x f x xb a b a或 矛 盾?????返回 后頁 前頁 注 2 積分第一中值定理的幾何意義如下圖所示 : ? xyO a b()f ?返回 后頁 前頁 ( ) [ , ]y f x a b圖中 在 上的曲邊梯形的面積, 等于?1( ) ( ) dbaf f x xba? ? ? ?定理 ( 推廣的積分第一中值定理） , [ , ] , ( ) [ , ]f g a b g x a b若 在 上 連 續(xù) 且 在 上 不 變 號 ,? ? ???[ , ] , ( ) ( ) d ( ) ( ) d .bbaaa b f x g x x f g x x??則 使[ , ] , ( )a b f ?以 為底 為高的矩形面積. 而( ) [ , ]f x a b可理解為 在 上所有函數(shù)值的平均值, 這是 有 限 個 數(shù) 的 算 術(shù) 平 均 值 的 推 廣 .返回 后頁 前頁 證 ( ) 0 , [ , ] . , ( )g x x a b m M f x不妨設 若 分別是??( ) ( ) ( ) ( ) , [ , ] .m g x f x g x M g x x a b? ? ?0 ( ) d ( ) ( ) d ( ) d