定積分的概念存在條件與性質(zhì)-文庫吧
2025-07-21 05:27 本頁面
【正文】 實例，一個是幾何學(xué)中的面積問題， 一個是物理學(xué)中的路程問題，盡管它們的實際意 義完全不同，但是從抽象的數(shù)量關(guān)系來看，它們 的分析結(jié)構(gòu)形式完全一樣 ， 都是 函數(shù)在區(qū)間上具 有特殊結(jié)構(gòu)的和式的極限 ，對于這種和式的極限， 可以抽象出新的數(shù)學(xué)概念 — 定積分 . 1 ． 定義 設(shè) 函數(shù) f 定義在 區(qū)間 ] ,[ ba 上，任取一組分點： ], ,[ 1 iii xx ????,11210 bxxxxxxxa nnii ?????????? ?? ??把 ] ,[ ba 分成 n 個小區(qū)間 ] ,[ 1 ii xx ? ) 2, 1, ( ni ?? ， ? ? , m a x 1 ini xd ?? ??令, ,)( 11??????? iiiniii xxxxf 其中作和式 ? 定積分的定義 . )( lim d )( 10 ??????niiidbaxξfxxf如果不論],[ ba怎樣分法及如何 i?選取， 0?d當(dāng) 時， 和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù) ],[ )( baxf 在 上的 定積分，記作? ba xxf d)( ，即 被積函數(shù) 被積表達式 積分區(qū)間],[ ba積分上限 積分下限 積分變量 積分和 變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程 S 是速度函數(shù) )( tvv ? 在時間區(qū)間 ],[ ba 上的定積分： ?? ba ttvS d)( . 曲邊梯形的面積 A 是曲邊函數(shù) )( xfy ? 在區(qū)間 ],[ ba 上的定積分： ?? ba xxfA d)( . 若定積分 ? ba xxf d)( 存在，則稱 )( xf 在 ] ,[ ba 上 可積 . （ 1 ） 定 積分 ? ba xxf d)(僅與被積函數(shù) )( xf 和 積分區(qū)間 ],[ ba 有關(guān)，而與 區(qū)間 ],[ ba 的分法與點i?的取法無關(guān) . （ 2 ）定義中 0?d ，不能改為“ ??n ” . （ 3 ）定積分的值與積分變量無關(guān)，即 ??? ?? bababa uufttfxxf d)(d)(d)(（ 4 ）規(guī)定：當(dāng) ba ? 時， ?? ?? abba xxfxxf d)(d)( ； 當(dāng) ba ? 時， 0d)( ?? aa xxf. 2. 定積分定義的剖析 1 ． ],[)( baCxf ? ，且 0)( ?xf ，則 ? ba xxf d)(表示 以 )( xfy ? 為曲邊的曲邊梯形面積 A . xyo)( xfy ?a b?? ba xxfA d)(三、定積分的幾何意義 3 ．若],[)( baCxf ?, 且)( xf有正有負時，則?baxxf d)( 等于由連續(xù)曲線)( xfy ?，直線 ax ? ， bx ?軸及 x所 圍成的幾
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