清華微積分高等數(shù)學(xué)課件第八講微分中值定理(已修改)
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【正文】 2022/2/13 1 作業(yè) P88 習(xí)題 5(1). 7. 8(2)(4). 9(1). 10(3). P122 綜合題 : 4. 5. 復(fù)習(xí) ： P80—— 88 預(yù)習(xí) ： P89—— 95 2022/2/13 2 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài) 局部性態(tài) — 未定型極限 函數(shù)的局部近似 整體性態(tài) — 在某個(gè)區(qū)間上 函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值 函數(shù)的凸性、漸近性、圖形 2022/2/13 3 微分中值定理，包括： 羅爾定理、拉格朗中值定理、 柯西中值定理、泰勒中值定理 微分中值定理是微分學(xué)的理論基礎(chǔ)。是 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的理論依據(jù)。 微分中值定理的共同特點(diǎn)是： 在一定的條件下，可以斷定在所給區(qū)間 內(nèi)至少有一點(diǎn)，使所研究的函數(shù)在該點(diǎn)具有 某種微分性質(zhì)。 2022/2/13 4 第八講 微分中值定理 一、費(fèi)爾馬 ( Fermat )定理 二、羅爾 ( Rolle )定理 三、拉格朗日 (Lagrange )定理 四、柯西 (Cauchy )定理 2022/2/13 5 ).()())()(()()(),(.)()(0000000或極小值點(diǎn)的極大值點(diǎn)為并稱或極小值取得極大值在則稱函數(shù)或有若定義有的某鄰域在點(diǎn)設(shè)函數(shù)fxxfxfxfxfxfxNxxNxxf????一、費(fèi)爾馬 ( Fermat )定理 （一）極值的定義： 2022/2/13 6 0x 1xxyo)( xfy ?極大值)( 0xf極小值)( 1xf)( 極大值點(diǎn) )( 極小值點(diǎn)極值的研究是微積分產(chǎn)生的主要?jiǎng)恿χ? 2022/2/13 7 0)(,)(,)(000?? xfxxfxxf則必有可導(dǎo)在點(diǎn)并且取得極值在點(diǎn)設(shè)函數(shù)（二）費(fèi)爾馬定理 (極值必要條件 ) ..0)(]2[00駐點(diǎn)這種點(diǎn)稱為的一個(gè)極值點(diǎn)函數(shù)不一定是的點(diǎn)滿足注意fxxf ??.0)(]1[ 0必要條件是可導(dǎo)函數(shù)取得極值的注意 ?? xf2022/2/13 8 xyo3xy ?0)0(3 2????yxy不是極值點(diǎn)0?x駐點(diǎn)未必是極值點(diǎn)！2022/2/13 9 [證 ] )0)(0)(:( 00 ???? xfxf 且只須證明.)( 0 處取得極大值在點(diǎn)不妨設(shè) xxf)()( 0xfxf ?有內(nèi)的鄰域在點(diǎn)即 ,),( 000 ?? ?? xxx000 )()()(xxxfxfxxf?????考察0)()(000 ?????xxxfxfxx0)()(000 ?????xxxfxfxx2022/2/13 10 并且有都存在和所以存在因?yàn)?)()(,)( 000 xfxfxf ?? ???0)()(l i m)()(00000?????????? xxxfxfxfxfxx0)()(l i m)()(00000?????????? xxxfxfxfxfxx0)( 0 ??? xf2022/2/13 11 微分中值定理的引入 .,.,平行的切線與弦在點(diǎn)使得曲線上至少存在一點(diǎn)那麼切線有連續(xù)不斷且其上各點(diǎn)都平面曲線ABCABCABAB( ( ( AB切線平行于弦CAB2022/2/13 12 xyC軸切線平行于 xo a b?A B0)( ?? ?f2022/2/13 13 xoAB切線平行于弦CAB)()()( ?fabafbf ????ya b?2022/2/13 14 xoAB切線平行于弦CAB)()()()()()(??gfagbgafbf?????y)(ag
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