21-微分中值定理(已修改)
2025-08-05 04:57 本頁面
【正文】 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 1 第 2章 微分中值定理與導數(shù)的應用 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 2 一、 羅爾定理 二、 拉格朗日中值定理 三、 柯西中值定理 四、 小結(jié) 微分中值定理 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 3 若函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 [a, b]上連續(xù)，在開區(qū)間 (a, b)內(nèi) a b1? 2? xoy)( xfy ?ABCD在曲線弧 AB上至少有 一點 C, 曲線在該點處的 切線平行于弦 AB. 可以看到 可導，觀察 f(x) 的圖像 ： 當 f (a) ＝ f (b) 時 : Rolle定理 。 當 f (a) ≠ f (b) 時 : Lagrange中值定理 . 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 4 若函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 [a, b]上連續(xù)，在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導，且在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即 ( ) ( ) ,f a f b?則在開區(qū)間 (a, b)內(nèi)至少存在一點 ,? 使得 ( ) 0 .f ?? ?一、 羅爾定理 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 5 證 上連續(xù)，故在 [ a , b ]上取得最 大值和最小值 . 于是 , 有兩種可能情形： (1) .Mm? f(x) 在區(qū)間 [a, b]上恒為常數(shù)． 因此 (2) .Mm? 由于 ( ) ( )f a f b? ，則 M 和 m 中至少有 一個不等于 ()fa ．不妨設 ()M f a? ， 那么，在開 區(qū)間 ( , )ab 內(nèi)至少有一點 ? ，使 ()fM ? ?． 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 6 因為 ()fx 在 ( , )ab 內(nèi)可導，則 ()f ?? 存在，且 0( ) ( )( ) limxf x ffx?????? ? ?? ??0()li m ,xf x Mx???? ? ???由于 ( ) 0f x M? ? ? ? ?， 則 ( ) 0f ?? ?， ( ) 0f ??? ?, 因此 ( ) 0 .f ?? ?上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 7 注意 1) 當定理條件不全具備時 , 結(jié)論不一定成立 . 例如 x1yox1yo1? x1yo2) 滿足定理中三個條件的函數(shù) f(x), 函數(shù) ()y f x???上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 8 必定有零點，零點的個數(shù)可能有多個． 3) 羅爾定理的幾何意義 ： 函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 [a, b]上滿 足定理條件時 , 在 (a, b)內(nèi)的曲 例 1 驗證羅爾定理對函數(shù) 3( ) 3f x x x??在區(qū)間 [ 3 , 3 ]? 上的正確性． 線弧 f(x)上必存在水平切線． a b1? 2? xyo)( xfy ?C上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 9 解 函數(shù) 3( ) 3f x x x??顯然在 [ 3 , 3 ]? 上連續(xù)， 在 ( 3 , 3 )? 內(nèi)可導，且 ( 3 ) ( 3 ) 0 .ff ? ? ?而 2( ) 3 3 3 ( 1 ) ( 1 )f x x x x? ? ? ? ? ?則在 ( 3 , 3 )? 內(nèi)有兩點 12 1 , 1?? ? ? ?滿足 ( ) 0 .f ?? ?上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 10 例 2 ( ) [ ) , , ( ) = 00()( ) = .f x f xcfcfcc?? ?設 在 0 , + 連 續(xù) 可 導 且 有一 正 根 , 證 明 存 在 , 使分析 利用中值定理證明存在點滿足等式 , 通常的 ( ) ( ) 0 ,c f c f c? ??若 證( ) ( ) 0 .c f c f c? ??方法用 還原法 : 即 : 改寫結(jié)論為 ( ) ( ) 0 ,x f x f x? ??還 原 成 有 根( ( ) ) 0 .x f x ? ?即 有 解 .由 羅 爾 定 理 得 證把等式還原成 x的方程 . 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 11 因此，函數(shù) g(x) 在區(qū)間 [0, a]上滿足羅爾定理的 三個條件，則至少有點 ( 0 , ),ca? 使 ( ) 0 ,gc? ?即 ( ) ( ) 0,c f c f c? ??也即 ()( ) .fcfc c? ??證 令 ( ) ( ) ,g x x f x?則 ()gx 也在 [ 0, )?? 上連續(xù)， 在 ( 0, )?? 內(nèi)可導． 設 g(x) = 0 的正根為 x=a, 則 ( 0 ) ( ) 0 ,g g a??上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 12 ( ) 1 .fc ?設函數(shù) f (x) 在 [ 0, 3 ]上連續(xù) , 在 ( 0, 3 )內(nèi)可導 , 且 ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) 3 , ( 3 ) 1 ,f f f f+ + = =( 0 , 3 ) ,x 206。 使( ) 0 .f x162。 =分析 所給條件可寫為 ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) 1 , ( 3 ) 13f f f f?? ??試證必存在 想到找一點 c , 使 證 因 f (x) 在 [0, 3]上連續(xù) , 所以在 [ 0, 2 ]上連續(xù) , 且在 [ 0, 2
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