第三章-微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題解答(已修改)
2025-04-06 06:50 本頁面
【正文】 第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案28167。 微分中值定理1． 填空題（１）函數(shù)在上使拉格朗日中值定理結(jié)論成立的ξ是．（２）設(shè)，則有 3 個實根，分別位于區(qū)間中．2． 選擇題（１）羅爾定理中的三個條件:在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，是在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使成立的（ B ）． A． 必要條件 B．充分條件 C． 充要條件 D． 既非充分也非必要條件（２）下列函數(shù)在上滿足羅爾定理條件的是（ C ）．A. B. C. D. （３）若在內(nèi)可導(dǎo)，且是內(nèi)任意兩點(diǎn)，則至少存在一點(diǎn)，使下式成立（ B ）．A． B． 在之間C． D． 3．證明恒等式：．證明： 令，則，所以為一常數(shù)．設(shè)，又因為，故 ．4．若函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，其中 ，證明:在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得．證明：由于在上連續(xù),在可導(dǎo),且，根據(jù)羅爾定理知，存在， 使． 同理存在，使． 又在上符合羅爾定理的條件，故有，使得．5． 證明方程有且僅有一個實根．證明：設(shè)， 則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理至少存在一個， 使得．另一方面，假設(shè)有，且，使，根據(jù)羅爾定理，存在使，即，這與矛盾．故方程只有一個實根．6． 設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上連續(xù)，且，其中是介于之間的一個實數(shù)． 證明： 存在, 使成立.證明： 由于在內(nèi)可導(dǎo)，從而在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)．又因為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，必存在點(diǎn)，使得． 同理，存在點(diǎn)，使得．因此在上滿足羅爾定理的條件，故存在， 使成立．7. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo). 試證:至少存在一點(diǎn), 使 證明： 只需令，利用柯西中值定理即可證明.8．證明下列不等式（１）當(dāng)時，．證明： 設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，且, 故, 即 ()因此， 當(dāng)時，．（２）當(dāng) 時，．證明：設(shè)，則函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理得條件，有因為，所以，又因為，所以，從而 ．167。 洛畢達(dá)法則1． 填空題（１） （２） 0 （３）= （４）1２．選擇題（１）下列各式運(yùn)用洛必達(dá)法則正確的是（ B ）A． B． C． 不存在D． =（２） 在以下
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