清華微積分高等數(shù)學(xué)課件第八講微分中值定理-全文預(yù)覽
【正文】 xxxf使知于是根據(jù)介值定理又知.0)(, 202 ??? xfxx 使同理可證.,),(0)(21 xxxf兩個實根上至少有在因此 ?????2022/2/13 51 .),(0)()2(個實根上僅有兩在證明 ?????xf.,0)(321321xxxxxxxf???且有三個實根假設(shè).0)(,0)(),(),(,3221??????????ffxxxx使得存在根據(jù)羅爾定理這與題設(shè)矛盾！得使存在再用羅爾定理.0)(),(,????????f.),(0)(,個實根上僅有兩在因此 ?????xf。0)(,0)(( ???????? bfafbfaf 或者直觀觀察可以啟發(fā)思路 )(),( bfaf在第一種情形 , 都不是最小值 0)()( ,],[)(]2[ ???? bfafbaxf 并且可導(dǎo)在設(shè)例0)( ),( ??? ?? fba 使得存在所以最小值一定在區(qū)間內(nèi)部達(dá)到 ba)(af)(bfyxa b)(af)(bfyx2022/2/13 34 .0)(,0)( ???? bfaf不妨設(shè). )( 0)( 不是區(qū)間上的最小值也又可以推出利用條件 bfbf ??. ),( 達(dá)到內(nèi)部某個點于是最小值在 ?ba.0)(),(: ???? ?? fba由費爾馬定理推出可知即由 0)()(lim,0)( ??????? axafxfafax)()(, afxfax ?有充分近時距當(dāng)不是區(qū)間上的最小值 )( af?[證 ] 2022/2/13 35 證明思路直觀分析 [例 3] 0)(,),0(.0)(l i m,0)0(,),0(),0[????????????????? fxfffCfx則存在并且可導(dǎo)在設(shè)內(nèi)部達(dá)到最大或最小值必然在 ),0()( ??xfxyo2022/2/13 36 [證 ] 0)(),0( ??? xf如果在 結(jié)論自然成立不恒等于零在不妨假設(shè) ),0()( ??xf0)(),0( 00 ?????? xfx 使得 0)( 0 ?xf不妨設(shè)0)(lim ???? xfx)()(, 0101 xfxfxxxx ??????根據(jù)連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理 使得存在 ,],0[ 1x??}0|)(m a x {)( 1xxxff ????0??并且 }0|)(m a x {)( ????? xxff ?是駐點所以內(nèi)部在由于 ?? ,),0( ?? 0)( ??? ?f2022/2/13 37 證明恒等式例 4)1(2ar c c osar c s i n ??? xxx ?)1(01111)(22??????? xxxxf則)1(a r c c o sa r c s i n)( ??? xxxxf令知理的推論于是由拉格朗日中值定 1)1()()( ?? xccxf 為常數(shù)20ar c c os0ar c s i n)0( ????f又[證 ] 2022/2/13 38 時有當(dāng)又 1, ??x21ar c c os1ar c s i n)1(????f于是得到)1(2ar c c osar c s i n ??? xxx ?)1(2ar c c osar c s i n ??? xxx ?故2)1ar c c os ()1ar c s i n ()1( ???????f44 2022/2/13 39 221a r c t a na r c t a n1,05aababbabba????????? 有不等式時證明當(dāng)例],[a r c t a n)( baxxxf ??令且可微內(nèi)在開區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間滿足條件：顯然,),()2(。],[)1()(?bababaxf)()()()(bafabafbf????????三、拉格朗日 (Lagrange )定理 2022/2/13 20 怎樣證明拉格朗日定理 ？ 拉格朗日定理若添加條件 :
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