全國(guó)自考0020高等數(shù)學(xué)（一）微積分串講講義-全文預(yù)覽
【正文】 積分牛頓(Newton)－萊布尼茨(Leibniz)公式 例50 正弦曲線的一段y=sin xπ)與x軸所圍平面圖形的面積為（ ） 知識(shí)點(diǎn)：定積分的幾何意義解： 例51 知識(shí)點(diǎn)： 被積函數(shù)含有絕對(duì)值的定積分解： 由定積分的區(qū)間可加性，原積分． 在區(qū)間上，從而； 在區(qū)間上，從而． 原積分．注： 對(duì)于含有絕對(duì)值的定積分，應(yīng)利用積分的區(qū)間可加性脫掉絕對(duì)值號(hào)。例47 (1) (2) (3) （4）知識(shí)點(diǎn)：不定積分的第一換元積分法（湊微分法）解：(1) 。 2）求唯一駐點(diǎn)。解 ．令，得駐點(diǎn)．由于，比較可知，在上的最大值為，最小值為。例41．求函數(shù)y=xln(1+x)的極值.知識(shí)點(diǎn)： 函數(shù)的極值，駐點(diǎn)（導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)）連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)求函數(shù)的極值的步驟： 先求出駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)（可疑的極值點(diǎn)），再利用第一充分條件，第二充分條件判斷可疑點(diǎn)是否為極值點(diǎn)．第一充分條件 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，在去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)， (1)、當(dāng) 則為的極大值(2)、當(dāng) 則為的極小值第二充分條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù)， 且， 則(1)、當(dāng)時(shí)， 函數(shù)在處取得極大值；(2)、當(dāng)時(shí)， 函數(shù)在處取得極小值。故為單調(diào)遞增區(qū)間，為單調(diào)增區(qū)間。，其中p表示商品價(jià)格，D為需求量，a、b為正常數(shù)，則需求量對(duì)價(jià)格的彈性（ ?。〢. B. C. D. 解：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)形態(tài)方面的應(yīng)用理論基礎(chǔ)：微分中值定理函數(shù)的凹凸性，單調(diào)性， 極值最值例37 函數(shù)在區(qū)間是否滿足羅爾定理的條件，若滿足，求出使的點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)：、羅爾定理 若函數(shù)滿足： (1) 在閉區(qū)間連續(xù)；(2) 在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo) (3) ，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函數(shù)滿足： (1) 在閉區(qū)間連續(xù)；(2) 在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo) 則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使解： 在連續(xù)且可導(dǎo)，又．故在滿足羅爾定理的條件．由于．令，得，即點(diǎn)．例38 .函數(shù)在區(qū)間(1,1)內(nèi)（ ?。?005年1月 知識(shí)點(diǎn)： 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)， 在上可導(dǎo)，(1)、若在內(nèi)， 則在上單調(diào)增加；(2)、若在內(nèi)， 則在上單調(diào)減少。解：2）例2 求下列函數(shù)的微分 知識(shí)點(diǎn):求微分解：（1）因?yàn)? 所以 （2）設(shè)：，則。 一、有關(guān)定義的題型例21設(shè)f ′(0)=1，求 知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義 解: 例22．設(shè)=, 討論該函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性知識(shí)點(diǎn)： 函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)在點(diǎn)處連續(xù)既左連續(xù)又右連續(xù).函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等分段函數(shù)在分段點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)可用導(dǎo)數(shù)的左右極限來(lái)得到。解：因?yàn)樵邳c(diǎn)0處連續(xù)，所以 例17．函數(shù) 的間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 【 】(A) 0個(gè) (B) 1個(gè) (C) 2個(gè) (D) 3個(gè)知識(shí)點(diǎn)： 判斷初等函數(shù)的間斷點(diǎn)如果在點(diǎn)不連續(xù)，則稱是的間斷點(diǎn)． ● 若下列三種情況之一成立，則是的間斷點(diǎn)： i．無(wú)定義 (是無(wú)定義的孤立點(diǎn)) ii．不存在 iii．有定義，存在，但． ● 若是含有分母的初等函數(shù)，則分母的零點(diǎn)是間斷點(diǎn)．● 若是分段函數(shù)，則分段的分界點(diǎn)是可疑的間斷點(diǎn)．解：將函數(shù)的分母做因式分解，則有．分母的零點(diǎn)就是函數(shù)的間斷點(diǎn)．可以看到分母的零點(diǎn)為，應(yīng)選擇C．注： 對(duì)函數(shù)做因式分解是判斷函數(shù)零點(diǎn)的常用方法．例18．解： 因?yàn)?，所以為曲線的水平漸近線，為曲線的水平豎直漸近線。(2) 求 解：例11. 知識(shí)點(diǎn)：重要極限 解： (4) 例12．求極限（1） （2）知識(shí)點(diǎn)：利用等價(jià)無(wú)窮小代換求函數(shù)極限。求函數(shù)的漸進(jìn)線。例求函數(shù)的反函數(shù). 知識(shí)點(diǎn)：反函數(shù)求反函數(shù)的步驟是：先從函數(shù)中解出，再置換與，就得反函數(shù)。 B． 故f (x)=在（1，0）上為無(wú)界函數(shù)。運(yùn)算及有限次的復(fù)合得到的函數(shù)稱為初等函數(shù)。求反函數(shù)。求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)， 隱含數(shù)求導(dǎo)，參數(shù)方程求導(dǎo)；討論函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性，求曲線的拐點(diǎn)；求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值；實(shí)際問(wèn)題求最值。求函數(shù)的漸進(jìn)線。求復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式。每個(gè)知識(shí)點(diǎn)要做相應(yīng)的練習(xí)題。復(fù)習(xí)要求：不報(bào)僥幸心理， 復(fù)習(xí)要涉及每個(gè)知識(shí)點(diǎn)。求反函數(shù)。函數(shù)的連續(xù)與間斷。每年必有的考點(diǎn)第三部分 導(dǎo)數(shù)微分及其應(yīng)用 常見(jiàn)考試題型：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；討論分段函數(shù)分段點(diǎn)的連續(xù)性與可導(dǎo)性。判斷函數(shù)的有界性、周期性、單調(diào)性、奇偶性。解 要使根式函數(shù)有意義必須滿足，要使成立， 只有，即.注：我們所求定義域的函數(shù)一般都是初等函數(shù)，而初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)，經(jīng)過(guò)有限次的＋－247。解：A，故f (x)=在[0，1]上為有界函數(shù)。若對(duì)于任何，恒有成立，則稱是偶函數(shù)．奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖形關(guān)于y 軸對(duì)稱分析：因?yàn)槭嵌x在對(duì)稱區(qū)間上，根據(jù)定義，只需證明：（1）（2）只證（1）： 偶函數(shù)。函數(shù)的連續(xù)與間斷。典型例題求極限方法總結(jié)：利用極限四則運(yùn)算、
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