12--微分中值定理(已修改)
2025-08-05 03:38 本頁面
【正文】 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 1 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 第五節(jié) 微分中值定理 一、羅爾定理 二、拉格朗日中值定理 主要內(nèi)容： 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 2 一、羅爾定理 首先 , 讓我們來觀察這樣一個幾何事實 . 如圖所示 : ( ) 0 .f ?? ? 我們看到在曲線弧的最高點 或最低點處 ( ) ( ) ,f a f b? C的橫坐標為 則有 ,?? ?? ?( ) ,y f x x a b??AB連續(xù)曲線弧 是函數(shù) 的圖形 , 如果 C曲線有水平切線 . 若記點 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 3 則 : 0( ) 0 .fx? ?00( ) ( ) 0 ,f x x f x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?00 ,f x f x f x f x??或 證 不妨設(shè) 時 , 有 ? ?0x U x?引理（費馬引理） 設(shè)函數(shù) 在點 的某鄰域 ()fx0x ? ?0Ux? ?0Ux0x xyo? ?y f x?? ?0fx0x ? ?0x U x?內(nèi)有定義并在 處可導(dǎo) , 若對任意的 有 ? ?00 ,x x U x? ? ?? ? ? ?0f x f x? 故當 有 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 4 00( ) ( ) 0。f x x f xx? ? ? ??00( ) ( ) 0。f x x f xx? ? ? ??0000 0( ) ( )( ) ( ) l im 0 ,xf x x f xf x f xx?? ??? ? ??? ? ? ??當 時 , 0x??當 時 , 0x??由函數(shù) 在點 處的可導(dǎo)性及極限的保號性 , 得 0x()fx上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 5 由此得到 0( ) 0 .fx? ?? 注 通常稱導(dǎo)數(shù)為零的點為函數(shù)的 駐點 . 0000 0( ) ( )( ) ( ) l im 0 ,xf x x f xf x f xx?? ??? ? ??? ? ? ?? 該引理說明 : 可導(dǎo)函數(shù)的極值點為駐點 . 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 6 ( ) 0 .f ?? ?( ) 0 .f ?? ?? ? ? ? ,f a f b?最小值
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