【正文】 = ,x=400是原方程的解且符合題意 . 答 :每張門票的原定票價為 400元 .? (5分 ) (2)設平均每次降價的百分率為 y. 由題意得 400(1y)2= y1==10%,y2=(不合題意 ,舍去 ). 答 :平均每次降價 10%.? (10分 ) 6 0 0 0x 4 8 0 080x ?解題關鍵 本題考查了分式方程與一元二次方程 ,第 (2)問正確理解“平均每次降價的百分 率”是解題關鍵 . 10.(2022揚州 ,24,10分 )某漆器廠接到制作 480件漆器的訂單 ,為了盡快完成任務 ,該廠實際每天 制作的件數比原來每天多 50%,結果提前 10天完成任務 .原來每天制作多少件 ? 解析 設原來每天制作 x件 ,由題意得方程 ? ? =10,? (6分 ) ∴ x=16, 經檢驗 ,x=16是原方程的解 . 答 :原來每天制作 16件 .? (10分 ) 480x 480(1 50% ) x?B組 2022— 2022年全國中考題組 考點 1 一元二次方程的解法及應用 1.(2022新疆烏魯木齊 ,9,4分 )賓館有 50間房供游客居住 .當每間房每天定價為 180元時 ,賓館會 住滿 。當每間房每天的定價每增加 10元時 ,就會空閑一間房 .如果有游客居住 ,賓館需對居住的 每間房每天支出 20元的費用 .當房價定為多少元時 ,賓館當天的利潤為 10 890元 ?設房價定為 x 元 ,則有 ? ( ) A.(180+x20)? =10 890 B.(x20)? =10 890 ? 5020=10 890 D.(x+180)? 5020=10 890 50 10x??????? 18050 10x ????????18050 10x ???????? 5010x???????答案 B 當房價定為 x元時 ,空閑的房間有 ? 個 ,所以有游客居住的房間有 ? 個 ,則賓館當天的利潤為 ? (x20)元 ,故 B正確 . 18010x ? 18050 10x ????????18050 10x ????????思路分析 先求出房價定為 x元時有游客居住的房間數 ,而每間房的利潤就是房價減去支出的 20元 ,從而得出賓館當天的利潤并列出等式 . 2.(2022甘肅蘭州 ,10,4分 )王叔叔從市場上買了一塊長 80 cm,寬 70 cm的矩形鐵皮 ,準備制作一 個工具箱 .如圖 ,他將矩形鐵皮的四個角各剪掉一個邊長為 x cm的正方形后 ,剩余的部分剛好能 圍成一個底面積為 3 000 cm2的無蓋長方體工具箱 .根據題意可列方程為 ? ( ) ? A.(80x)(70x)=3 000 704x2=3 000 C.(802x)(702x)=3 000 704x2(70+80)x=3 000 答案 C 長方體工具箱的底面是一個長為 (802x)cm,寬為 (702x)cm的矩形 ,由題意可得方程 (802x)(702x)=3 000. 思路分析 用含 x的代數式分別表示出長方體底面的長和寬 ,然后根據“面積 =長 寬”列方程 . 解題關鍵 本題考查了一元二次方程的實際應用 ,解題的關鍵是找出題目中的相等關系 . 3.(2022天津 ,8,3分 )方程 x2+x12=0的兩個根為 ? ( ) =2,x2=6 =6,x2=2 =3,x2=4 =4,x2=3 答案 D ∵ a=1,b=1,c=12,∴ b24ac=1+48=490,∴ x=? =? ,∴ x1=4,x2= D. 1 4921??? 172??4.(2022重慶 ,8,4分 )一元二次方程 x22x=0的根是 ? ( ) =0,x2=2 =1,x2=2 =1,x2=2 =0,x2=2 答案 D x22x=0,x(x2)=0,解得 x1=0,x2=2,故選 D. 5.(2022甘肅蘭州 ,6,4分 )一元二次方程 x28x1=0配方后可變形為 ? ( ) A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x4)2=17 D.(x4)2=15 答案 C 變形得 x28x=1,x28x+16=1+16,(x4)2=17,故選 C. 6.(2022天津 ,10,3分 )已知一個表面積為 12 dm2的正方體 ,則這個正方體的棱長為 ? ( ) dm B.? dm C.? dm dm 2 6答案 B 設這個正方體的棱長為 x dm,由已知得 6x2=12,解得 x=? (負值舍去 ),故這個正方體 的棱長是 ? B. 227.(2022安徽 ,6,4分 )我省 2022年的快遞業(yè)務量為 ,受益于電子商務發(fā)展和法治環(huán)境改善 等多重因素 ,快遞業(yè)迅猛發(fā)展 ,2022年增速位居全國第一 .若 2022年的快遞業(yè)務量達到 , 設 2022年與 2022年這兩年的年平均增長率為 x,則下列方程正確的是 ? ( ) (1+x)= (1+2x)= (1+x)2= (1+x)+(1+x)2= 答案 C 2022年的業(yè)務量為 ,則 2022年的業(yè)務量為 (1+x)億件 ,2022年的業(yè)務量為 (1+x)2億件 ,故選 C. 8.(2022湖北黃岡 ,12,3分 )一個三角形的兩邊長分別為 3和 6,第三邊長是方程 x210x+21=0的根 , 則三角形的周長為 . 答案 16 解析 ∵ x210x+21=(x3)(x7)=0, ∴ x1=3,x2=7, ∵ 3+3=6,∴ 3不能作為該三角形的第三邊長 , ∴ 三角形的第三邊長為 7, ∴ 三角形的周長為 3+6+7=16. 9.(2022內蒙古呼和浩特 ,23,7分 )已知關于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠ 0)有兩個實數根 x1,x2, 請你用配方法探索有實數根的條件 ,并推導出求根公式 ,證明 x1x2=? . ca解析 ∵ ax2+bx+c=0(a≠ 0), ∴ x2+? x=? , ∴ x2+? x+? =? +? , ∴ ? =? , ∵ 4a20,∴ 當 b24ac≥ 0時 ,方程有實數根 . ∴ x+? =177。? . 當 b24ac0時 ,x1=? ,x2=? , x1x2=? =? =? =? 。 當 b24ac=0時 ,x1=x2=? ,x1x2=? =? =? =? . ba caba22ba??????ca22ba??????22bx a???????2244b aca?2ba2 42b a ca?2 42b b aca? ? ?2 42b b aca? ? ?222( 4 )( 4 )4b b ac b b aca? ? ? ?? ? ?222( 4 )4b b aca??244 aca ca2ba22ba???????224ba 244 aca ca綜上 ,證得 x1x2=? . ca解題關鍵 正確解決本題的關鍵是要通過求根公式進行驗證 ,同時要具有計算含字母系數的 方程的能力 . 思路分析 本題需要借助配方法解含字母系數的一元二次方程 ,同時借助求根公式驗證推導 是否正確 . 10.(2022遼寧沈陽 ,21,10分 )某公司今年銷售一種產品 ,1月份獲得利潤 20萬元 ,由于產品暢銷 ,利 潤逐月增加 ,3月份的利潤比 2月份的利潤增加 ,假設該產品利潤每月的增長率相同 ,求 這個增長率 . 解析 設這個增長率為 x. 依題意得 20(1+x)220(1+x)=, 解得 x1=,x2=(不合題意 ,舍去 ).=20%. 答 :這個增長率為 20%. 考點 2 一元二次方程根的判別式、根與系數的關系 1.(2022甘肅蘭州 ,6,4分 )如果一元二次方程 2x2+3x+m=0有兩個相等的實數根 ,那么實數 m的取 值范圍為 ? ( ) ? ? =? =? 98 89 98 89答案 C 因為一元二次方程 2x2+3x+m=0有兩個相等的實數根 ,所以 b24ac=98m=0,解得 m=? , 故選 C. 98思路分析 一元二次方程有兩個相等的實數根 ,則判別式 Δ=0,列出關于 m的方程 ,解方程即可 . 方法規(guī)律 對于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠ 0),當 b24ac0時 ,一元二次方程有兩個不相等的 實數根 。當 b24ac=0時 ,一元二次方程有兩個相等的實數根 。當 b24ac0時 ,一元二次方程沒有實 數根 . 2.(2022福建福州 ,12,3分 )下列選項中 ,能使關于 x的一元二次方程 ax24x+c=0一定有實數根的是 ? ( ) 0 =0 0 =0 答案 D 若一元二次方程 ax24x+c=0有實數根 , 則 Δ=(4)24ac=164ac≥ 0,且 a≠ 0. ∴ ac≤ 4,且 a≠ 0. a0,則當 a=1,c=5時 ,ac=54,故此選項錯誤 。 =0不符合一元二次方程的定義 ,故此選項錯誤 。 c0,則當 a=1,c=5時 ,ac=54,故此選項錯誤 。 c=0,則 ac=0≤ 4,故此選項正確 .故選 D. 易錯警示 一元二次方程的根的情況可根據一元二次方程根的判別式進行判別 ,不能盲目求 解 . 3.(2022河北 ,12,2分 )若關于 x的方程 x2+2x+a=0不存在 實數根 ,則 a的取值范圍是 ? ( ) 1 1 ≤ 1 ≥ 1 答案 B 由題意知 Δ=44a0,∴ a1,故選 B. 4.(2022甘肅蘭州 ,10,4分 )一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠ 0)有兩個不相等的實數根 .下列選項中 正確的是 ? ( ) =0 0 0 ≥ 0 答案 B ∵ 一元二次方程有兩個不相等的實數根 , ∴ Δ=b24ac B. 5.(2022江西 ,11,3分 )一元二次方程 x24x+2=0的兩根為 x1,x2,則 ? 4x1+2x1x2的值為 . 21x答案 2 解析 ∵ 一元二次方程 x24x+2=0的兩根為 x x2, ∴ ? 4x1=2,x1x2=2, ∴ ? 4x1+2x1x2=2+22=2. 21x21x6.(2022河南 ,11,3分 )若關于 x的一元二次方程 x2+3xk=0有兩個不相等的實數根 ,則 k的取值范圍 是 . 答案 k? 94解析 根據題意得 Δ=b24ac=9+4k0,所以 k? . 947.(2022北京 ,20,5分 )關于 x的一元二次方程 ax2+bx+1=0. (1)當 b=a+2時 ,利用根的判別式判斷方程根的情況 。 (2)若方程有兩個相等的實數根 ,寫出一組滿足條件的 a,b的值 ,并求此時方程的根 . 解析 (1)依題意 ,得 Δ=(a+2)24a=a2+40. 故方程有兩個不相等的實數根 . (2)由題意可知 ,a≠ 0,Δ=b24a=0. 答案不唯一 ,如 :當 b=2,a=1時 ,方程為 x2+2x+1=0, ∴ (x+1)2=0, ∴ x1=x2=1. 8.(2022北京 ,20,5分 )關于 x的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m21=0有兩個不相等的實數根 . (1)求 m的取值范圍 。 (2)寫出一個滿足條件的 m的值 ,并求此時方程的根 . 解析 (1)依題意 ,得 Δ=(2m+1)24(m21)=4m+50, 解得 m? . (2)答案不唯一 .如 :m=1. 此時方程為 x2+3x=0. 解得 x1=3,x2=0. 54考點 3 分式方程的求解及應用 1.(2022安徽 ,5,4分 )方程 ? =3的解是 ? ( ) ? B.? 211xx ??45 45答案 D 去分母得 ,2x+1=3x3,∴ x=4,經檢驗 ,x=4是原方程的根 ,故選 D. 評析 本題考查了分式方程的解法 ,不要忘記檢驗 ,屬容易題 . 2.(2022河北 ,12,2分 )在求 3x的倒數的值時 ,嘉淇同學誤將 3x看成了 8x,她求得的值比正確答案小 ,所列關系式成立的是 ? ( ) A.? =? 5 B.? =? +5 C.? =8x5 D.? =8x+5 13 x 18 x 13 x 18 x13 x 13 x答案 B 3x的倒數是 ? ,而嘉淇同學求的是 ? ,因為她求得的值比 ? 小 5,所以可得 ? +5= ? . 13 x 18 x 13 x 18 x13 x3.(2022天津 ,8,3分 )分式方程 ? =? 的解為 ? ( ) =0 =3 =5 =9 2 3x ? 3x答案 D 去分母得 2x=3x9,移項、合并同類項得 x=9,經檢驗 ,x=9是分式方程的解 .故選 D