【正文】 ,m22am+2=0,n22an+2=0,則 (m1)2+(n1)2的最小值是 ? ( ) 答案 A 由題意知 m,n可看作一元二次方程 x22ax+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ,所以 m+n=2a,mn=2. 則 (m1)2+(n1)2=m2+n22(m+n)+2 =(m+n)22(mn+m+n)+2 =4a24a2=4? 3. 因?yàn)?a≥ 2,所以當(dāng) a=2時(shí) ,4? 3有最小值 6, 即 (m1)2+(n1)2的最小值是 A. 212a???????212a???????7.(2022甘肅蘭州 ,6,4分 )一元二次方程 x28x1=0配方后可變形為 ? ( ) A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x4)2=17 D.(x4)2=15 答案 C 變形得 x28x=1,x28x+16=1+16,(x4)2=17,故選 C. 8.(2022湖南長(zhǎng)沙 ,14,3分 )若關(guān)于 x的一元二次方程 x24xm=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ,則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 . 答案 m4 解析 ∵ 一元二次方程 x24xm=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ,∴ Δ0,即 b24ac=(4)241(m)=16+4 m0,解得 m4. 9.(2022貴州遵義 ,15,4分 )2022年 1月 20日遵義市政府工作報(bào)告公布 :2022年全市生產(chǎn)總值約為 1 585億元 ,經(jīng)過連續(xù)兩年增長(zhǎng)后 ,預(yù)計(jì) 2022年將達(dá)到 2 180億元 .設(shè)平均每年增長(zhǎng)的百分率為 x,可 列方程為 . 答案 1 585(1+x)2=2 180 解析 平均每年增長(zhǎng)的百分率為 x,則 2022年全市生產(chǎn)總值為 1 585(1+x)億元 ,2022年全市生產(chǎn) 總值為 1 585(1+x)(1+x)=1 585(1+x)2億元 ,所以可列方程為 1 585(1+x)2=2 180. 10.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,23,7分 )已知關(guān)于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠ 0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1, x2,請(qǐng)你用配方法探索有實(shí)數(shù)根的條件 ,并推導(dǎo)出求根公式 ,證明 x1x2=? . ca解析 ∵ ax2+bx+c=0(a≠ 0), ∴ x2+? x=? , ∴ x2+? x+? =? +? , ∴ ? =? , ∵ 4a20,∴ 當(dāng) b24ac≥ 0時(shí) ,方程有實(shí)數(shù)根 . ∴ x+? =177。? . 當(dāng) b24ac0時(shí) ,x1=? ,x2=? , x1x2=? =? =? =? 。 當(dāng) b24ac=0時(shí) ,x1=x2=? , x1x2=? =? =? =? . ba caba22ba??????ca22ba??????22bx a???????2244b aca?2ba2 42b a ca?2 42b b aca? ? ?2 42b b aca? ? ?222( 4 )( 4 )4b b ac b b aca? ? ? ?? ? ?222( 4 )4b b aca??244 aca ca2ba22ba???????224ba 244 aca ca綜上 ,證得 x1x2=? . ca思路分析 本題需要借助配方法解含字母系數(shù)的一元二次方程 ,同時(shí)借助求根公式驗(yàn)證推導(dǎo) 是否正確 . 解題關(guān)鍵 正確解決本題的關(guān)鍵是要通過求根公式進(jìn)行驗(yàn)證 ,同時(shí)要具有計(jì)算含字母系數(shù)的 方程的能力 . 11.(2022北京 ,21,5分 )關(guān)于 x的一元二次方程 x2(k+3)x+2k+2=0. (1)求證 :方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 。 (2)若方程有一個(gè)根小于 1,求 k的取值范圍 . 解析 (1)證明 :依題意 ,得 Δ=[(k+3)]24(2k+2)=(k1)2. ∵ (k1)2≥ 0, ∴ 方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 . (2)由求根公式 ,得 x=? , ∴ x1=2,x2=k+1. ∵ 方程有一個(gè)根小于 1,∴ k+11,∴ k0, 即 k的取值范圍是 k0. [ ( 3)] ( 1)2kk?? ? ? ?12.(2022北京 ,20,5分 )關(guān)于 x的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m21=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 . (1)求 m的取值范圍 。 (2)寫出一個(gè)滿足條件的 m的值 ,并求此時(shí)方程的根 . 解析 (1)依題意 ,得 Δ=(2m+1)24(m21)=4m+50, 解得 m? . (2)答案不唯一 .如 :m=1. 此時(shí)方程為 x2+3x=0. 解得 x1=3,x2=0. 54考點(diǎn)一 一元一次方程 C組 教師專用題組 1.(2022湖北武漢 ,9,3分 )將正整數(shù) 1至 2 018按一定規(guī)律排列如下表 : 平移表中帶陰影的方框 ,方框中三個(gè)數(shù)的和可能是 ? ( ) 019 018 016 013 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 …… 答案 D 設(shè)方框中間的數(shù)為 x,則另外兩個(gè)數(shù)分別為 x x+1,這三個(gè)數(shù)之和為 (x1)+x+(x+1)= 3x. 四個(gè)選項(xiàng)中 ,2 018不是 3的倍數(shù) ,舍去 。令 3x=2 019,解得 x=673,但 673=848+1,陰影方框中間的數(shù) 不可能出現(xiàn)在最左側(cè) ,∴ 2 019不符合題意 ,舍去 。令 3x=2 016,解得 x=672,但 672=848,陰影方框 中間的數(shù)不可能出現(xiàn)在最右側(cè) ,∴ 2 016不符合題意 ,舍去 。令 3x=2 013,解得 x=671,∵ 671=838+ 7,可以通過平移陰影方框得到 ,∴ 方框中三個(gè)數(shù)的和可能為 2 D. 思路分析 先通過方框中三個(gè)數(shù)的和為 3的整數(shù)倍 ,排除 B,再依次確定 A、 C、 D是否符合要 求 . 方法指導(dǎo) 規(guī)律猜想型問題的解決策略 :(1)關(guān)于數(shù)的規(guī)律探索 :掌握常見的幾類數(shù)的排列規(guī) 律 。(2)關(guān)于等式的規(guī)律探索 :用含字母的代數(shù)式來歸納 ,注意字母往往還具有反映等式序號(hào)的 作用 。(3)關(guān)于圖形的規(guī)律探索 :觀察已知圖形 ,找出圖形的變化規(guī)律即可 . 2.(2022廣西南寧 ,10,3分 )超市店慶促銷 ,某種書包原價(jià)每個(gè) x元 ,第一次降價(jià)打“八折” ,第二次 降價(jià)每個(gè)又減 10元 ,經(jīng)兩次降價(jià)后售價(jià)為 90元 ,則得到方程 ? ( ) =90 =90 =10 =90 答案 A 每個(gè)書包原價(jià)是 x元 ,則第一次打八折后的價(jià)格是 ,第二次降價(jià) 10元后的價(jià)格 是 ()元 ,則可得方程 = A. 3.(2022黑龍江哈爾濱 ,17,3分 )美術(shù)館舉辦的一次畫展中 ,展出的油畫作品和國(guó)畫作品共有 100 幅 ,其中油畫作品數(shù)量是國(guó)畫作品數(shù)量的 2倍多 7幅 ,則展出的油畫作品有 幅 . 答案 69 解析 設(shè)展出的油畫作品有 x幅 ,由題意得 ? (x7)+x=100,解得 x= 69幅 . 124.(2022安徽 ,16,8分 )《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題 ,原文如下 : 今有百鹿入城 ,家取一鹿 ,不盡 ,又三家共一鹿 ,適盡 .問 :城中家?guī)缀?? 大意為 : 今有 100頭鹿進(jìn)城 ,每家取一頭鹿 ,沒有取完 ,剩下的鹿每 3家共取一頭 ,恰好取完 .問 :城中有多少 戶人家 ? 請(qǐng)解答上述問題 . 解析 設(shè)城中有 x戶人家 ,根據(jù)題意得 , x+? =100,解得 x=75. 答 :城中有 75戶人家 .? (8分 ) 3x5.(2022湖北武漢 ,17,8分 )解方程 4x3=2(x1). 解析 去括號(hào) ,得 4x3=2x2, 移項(xiàng) ,得 4x2x=32, 合并同類項(xiàng) ,得 2x=1, 系數(shù)化為 1,得 x=? . 12方法規(guī)律 解一元一次方程的一般步驟 :去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為 1. 6.(2022湖北武漢 ,17,8分 )解方程 5x+2=3(x+2). 解析 5x+2=3x+6,? (3分 ) 2x=4,? (6分 ) x=2.? (8分 ) 1.(2022安徽 ,7,4分 )若關(guān)于 x的一元二次方程 x(x+1)+ax=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 ,則實(shí)數(shù) a的值為 ? ( ) 2 1 考點(diǎn)二 一元二次方程