【正文】 98解析 若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 ,則 Δ=(3)242m=0,即 m=? . 98解題關(guān)鍵 本題考查了根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)的值 .掌握一元二次方程根與判別 式的關(guān)系是解題關(guān)鍵 . 8.(2022北京 ,14,3分 )關(guān)于 x的一元二次方程 ax2+bx+? =0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 ,寫出一組滿足條 件的實(shí)數(shù) a,b的值 :a= ,b= . 14答案 1。實(shí)際解題過程中 ,用以上三種方 法不好解時(shí) ,再選用公式法 .在解一元二次方程時(shí)要根據(jù)一元二次方程的特點(diǎn) ,選擇適合的解法 . 考點(diǎn) 2 一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系 1.(2022河南 ,7,3分 )下列一元二次方程中 ,有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的是 ? ( ) +6x+9=0 =x +3=2x D.(x1)2+1=0 答案 B 選項(xiàng) A,Δ=0,方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根 。 (2)如果該養(yǎng)殖戶第 3年的 ? 為 ,求可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率 x. ????養(yǎng) 殖 成 本解析 (1)(1+x)2.? (4分 ) (2)根據(jù)題意得 4+(1+x)2=, 解這個(gè)方程得 x1=,x2=(不合題意 ,舍去 ).=10%. 答 :可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率是 10%.? (8分 ) 9.(2022重慶 ,23,10分 )為豐富居民業(yè)余生活 ,某居民區(qū)組建籌委會(huì) ,該籌委會(huì)動(dòng)員居民自愿集資 建立一個(gè)書刊閱覽室 .經(jīng)預(yù)算 ,一共需要籌資 30 000元 ,其中一部分用于購(gòu)買書桌、書架等設(shè)施 , 另一部分用于購(gòu)買書刊 . (1)籌委會(huì)計(jì)劃 ,購(gòu)買書刊的資金不少于購(gòu)買書桌、書架等設(shè)施資金的 3倍 ,問最多用多少資金 購(gòu)買書桌、書架等設(shè)施 ? (2)經(jīng)初步統(tǒng)計(jì) ,有 200戶居民自愿參與集資 ,那么平均每戶需集資 150元 .鎮(zhèn)政府了解情況后 ,贈(zèng) 送了一批閱覽室設(shè)施和書籍 ,這樣 ,只需參與戶共集資 20 000元 .經(jīng)籌委會(huì)進(jìn)一步宣傳 ,自愿參與 的戶數(shù)在 200戶的基礎(chǔ)上增加了 a%(其中 a0),則每戶平均集資的資金在 150元的基礎(chǔ)上減少了 ? a%,求 a的值 . 109解析 (1)設(shè)用于購(gòu)買書桌、書架等設(shè)施的資金為 x元 ,由題意 ,得 30 000x≥ 3x,? (3分 ) 解得 ,x≤ 7 500. 答 :最多花 7 500元資金購(gòu)買書桌、書架等設(shè)施 .? (5分 ) (2)由題意 ,得 200(1+a%) ② 花卉的平均每盆利潤(rùn)始終不變 . 小明計(jì)劃第二期培植盆景與花卉共 100盆 ,設(shè)培植的盆景比第一期增加 x盆 ,第二期盆景與花卉 售完后的利潤(rùn)分別為 W1,W2(單位 :元 ). (1)用含 x的代數(shù)式分別表示 W1,W2。 (3)當(dāng) x=4時(shí) ,解方程①得 m=? . 綜上 ,m的值為 1或 5或 ? . 13138.(2022四川綿陽(yáng) ,14,3分 )關(guān)于 x的分式方程 ? ? =? 的解是 . 2 1x ? 1 1x ? 11 x?答案 x=2 解析 ∵ ? ? =? , ∴ ? ? =? , ∴ 2(x+1)(x1)=(x+1), ∴ 2x+2x+1=x1, ∴ 2x=4,∴ x=2. 檢驗(yàn) :當(dāng) x=2時(shí) ,(x+1)(x1)≠ 0, ∴ x=2是原分式方程的根 . 2 1x ? 1 1x ? 11 x?2 1x ? 1 1x ? 1 1x ?9.(2022四川成都 ,22,4分 )已知關(guān)于 x的分式方程 ? ? =1的解為負(fù)數(shù) ,則 k的取值范圍是 . 1xkx ?? 1kx ?答案 k? ,且 k≠ 1 12解析 解分式方程得 x=12k,由題意知 x0,且 (x+1) (2)寫出一個(gè)滿足條件的 m的值 ,并求此時(shí)方程的根 . 解析 (1)依題意 ,得 Δ=(2m+1)24(m21)=4m+50, 解得 m? . (2)答案不唯一 .如 :m=1. 此時(shí)方程為 x2+3x=0. 解得 x1=3,x2=0. 54考點(diǎn) 3 分式方程的求解及應(yīng)用 1.(2022安徽 ,5,4分 )方程 ? =3的解是 ? ( ) ? B.? 211xx ??45 45答案 D 去分母得 ,2x+1=3x3,∴ x=4,經(jīng)檢驗(yàn) ,x=4是原方程的根 ,故選 D. 評(píng)析 本題考查了分式方程的解法 ,不要忘記檢驗(yàn) ,屬容易題 . 2.(2022河北 ,12,2分 )在求 3x的倒數(shù)的值時(shí) ,嘉淇同學(xué)誤將 3x看成了 8x,她求得的值比正確答案小 ,所列關(guān)系式成立的是 ? ( ) A.? =? 5 B.? =? +5 C.? =8x5 D.? =8x+5 13 x 18 x 13 x 18 x13 x 13 x答案 B 3x的倒數(shù)是 ? ,而嘉淇同學(xué)求的是 ? ,因?yàn)樗蟮玫闹当?? 小 5,所以可得 ? +5= ? . 13 x 18 x 13 x 18 x13 x3.(2022天津 ,8,3分 )分式方程 ? =? 的解為 ? ( ) =0 =3 =5 =9 2 3x ? 3x答案 D 去分母得 2x=3x9,移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得 x=9,經(jīng)檢驗(yàn) ,x=9是分式方程的解 .故選 D. 4.(2022貴州遵義 ,7,3分 )若 x=3是分式方程 ? ? =0的根 ,則 a的值是 ? ( ) 2a x? 1 2x ?答案 A 將 x=3代入分式方程得 ? 1=0,解得 a= A. 23a ?5.(2022廣西南寧 ,12,3分 )對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù) a,b,我們規(guī)定符號(hào) max{a,b}表示 a,b中較大的 數(shù) ,如 :max{2,4}= ,方程 max{x,x}=? 的解為 ? ( ) ? ? ? 或 1+? +? 或 1 21xx?2 22 2 2答案 D (1)當(dāng) xx,即 x0時(shí) ,max{x,x}=x, ? =x,解這個(gè)方程可得 x=1177。 =0不符合一元二次方程的定義 ,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤 。x2=? =? =? =? . ba caba22ba??????ca22ba??????22bx a???????2244b aca?2ba2 42b a ca?2 42b b aca? ? ?2 42b b aca? ? ?222( 4 )( 4 )4b b ac b b aca? ? ? ?? ? ?222( 4 )4b b aca??244 aca ca2ba22ba???????224ba 244 aca ca綜上 ,證得 x1x2=? . ca解析 ∵ ax2+bx+c=0(a≠ 0), ∴ x2+? x=? , ∴ x2+? x+? =? +? , ∴ ? =? , ∵ 4a20,∴ 當(dāng) b24ac≥ 0時(shí) ,方程有實(shí)數(shù)根 . ∴ x+? =177。3 解析 根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得 x1+x2=4,x1x2=m,又 ∵ x1+x2x1x2=1,∴ 4m=1,∴ m= 3. 8.(2022淮安 ,14,3分 )關(guān)于 x的一元二次方程 x2x+k+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ,則 k的取值范圍 是 . 答案 k? 34解析 由題意 ,得 Δ0,即 (1)24(k+1)0,解得 k? . 349.(2022南通 ,16,3分 )設(shè)一元二次方程 x23x1=0的兩根分別是 x1,x2,則 x1+x2(? 3x2)= . 22x答案 3 解析 由條件得 ? 3x2=1,x1+x2=3.∴ 原式 =x1+x2=3. 22x10.(2022泰州 ,18,8分 )已知 :關(guān)于 x的方程 x2+2mx+m21=0. (1)不解方程 ,判斷方程根的情況 。當(dāng) Δ=0時(shí) ,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 。 (2)當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí) ,該商店每天銷售利潤(rùn)為 1 200元 ? 解析 (1)若降價(jià) 3元 ,則平均每天銷售數(shù)量為 20+23=26件 .故答案為 26. (2)設(shè)每件商品降價(jià) x元時(shí) ,該商店每天銷售利潤(rùn)為 1 200元 . 根據(jù)題意 ,得 (40x)(20+2x)=1 200,整理 ,得 x230x+200=0,解得 x1=10,x2=20. ∵ 要求每件盈利不少于 25元 ,∴ x=10. 答 :每件商品降價(jià) 10元時(shí) ,該商店每天銷售利潤(rùn)為 1 200元 . 思路分析 (1)根據(jù)銷售單價(jià)每降低 1元 ,平均每天可多售出 2件 ,可得若降價(jià) 3元 ,則平均每天可 多售出 23=6件 ,即平均每天銷售數(shù)量為 20+6=26件 。 一元二次方程、分式方程 中考數(shù)學(xué) (江蘇專用 ) 考點(diǎn) 1 一元二次方程的解法及應(yīng)用 A組 20222022年江蘇中考題組 五年中考 1.(2022無錫 ,7,3分 )某商店今年 1月份的銷售額是 2萬元 ,3月份的銷售額是 ,從 1月份到 3 月份 ,該店銷售額平均每月的增長(zhǎng)率是 ? ( ) % % % % 答案 C 設(shè)該店銷售額平均每月的增長(zhǎng)率為 x,則 2月份的銷售額為 2(1+x)萬元 ,3月份的銷售 額為 2(1+x)2萬元 , 由題意可得 2(1+x)2=, 解得 x1==50%,x2=(不合題意 ,舍去 ). ∴ 該店銷售額平均每月的增長(zhǎng)率為 50%. 2.(2022揚(yáng)州 ,12,3分 )若 m是方程 2x23x1=0的一個(gè)根 ,則 6m29m+2 015的值為 . 答案 2 018 解析 由題意可知 2m23m1=0, ∴ 2m23m=1 ∴ 原式 =3(2m23m)+2 015=2 018. 故答案為 2 018. 3.(2022南通 ,14,3分 )某廠一月份生產(chǎn)某機(jī)器 100臺(tái) ,計(jì)劃三月份生產(chǎn) 160臺(tái) .設(shè)二、三月份每月 的平均增長(zhǎng)率為 x,根據(jù)題意列出的方程是 . 答案 100(1+x)2=160 解析 二、三月份每月平均增長(zhǎng)率為 x, 則 100(1+x)2=160. 故答案為 100(1+x)2=160. 4.(2022鹽城 ,23,10分 )一商店銷售某種商品 ,平均每天可售出 20件 ,每件盈利 40元 .為了擴(kuò)大銷 售、增加盈利 ,該店采取了降價(jià)措施 ,在每件盈利不少于 25元的前提下 ,經(jīng)過一段時(shí)間銷售 ,發(fā) 現(xiàn)銷售單價(jià)每降低 1元 ,平均每天可多售出 2件 . (1)若降價(jià) 3元 ,則平均每天銷售數(shù)量為 件 。選項(xiàng) C的根為 x1=1,x2=2,故選 C. 3.(2022揚(yáng)州 ,16,3分 )關(guān)于 x的方程 mx22x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ,那么 m的取值范圍是 . 答案 m? 且 m≠ 0 13解析 ∵ 一元二次方程 mx22x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 , ∴ Δ0且 m≠ 0, ∴ 412m0且 m≠ 0, ∴ m? 且 m≠ 0, 故答案為 m? 且 m≠ 0. 1313主要考點(diǎn) 本題考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠ 0,a,b,c為常數(shù) )根的判別式 Δ= Δ 0時(shí) ,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 。2) 解析 ∵ 關(guān)于 x的方程 x2mx6=0的兩根之和為 x1+x2=1, ∴ m=1,則原方程為 x2x6=0,解得 x1=2,x2=3(或 x1=3,x2=2). 思路分析 由根與系數(shù)的關(guān)系可得出 m的值 ,代入一元二次方程 ,解之即可得出結(jié)論 . 解題關(guān)鍵 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系 ,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到 m=1是解題的關(guān)鍵 . 5.(2022鹽城 ,13,3分 )若方程 x24x+1=0的兩根是 x1,x2,則 x1(1+x2)+x2的值為 . 答案 5 解析 根據(jù)題意得 x1+x2=4,x1x2=1, 所以 x1(1+x2)+x2=x1+x1x2+x2 =x1+x2+x1x2 =4+1=5. 6.(2022連云港 ,12,3分 )已知關(guān)于 x的方程 x22x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 ,則 m的值是 . 答案 1 解析 ∵ 關(guān)于 x的方程 x22x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 , ∴ Δ=(2)24m=44m=0, 解得 m=1. 解題關(guān)鍵 本題考查了一元二次方程根的判別式 ,牢記“當(dāng) Δ=0時(shí) ,一元二次方程有兩個(gè)相等 的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵 . 7.(2022南京 ,12,2分 )設(shè) x1,x2是方程 x24x+m=0的兩個(gè)根 ,且 x1+x2x1x2=1,則 x1+x2= ,m= . 答案 4。當(dāng)每間房每天的定價(jià)每增加 10元時(shí) ,就會(huì)空閑一間房 .如果有游客居住 ,賓館需對(duì)居住的 每間房每天支出 20元的費(fèi)用 .當(dāng)房?jī)r(jià)定為多少元時(shí) ,賓館當(dāng)天的利潤(rùn)為 10 890元 ?設(shè)房?jī)r(jià)定為 x