【正文】 ?? ? ?????e e e e e e ee e e e e e ee e ee e ee e e? 旋轉(zhuǎn)的次序是不可交換的，例如同樣是做以 x為軸轉(zhuǎn) 90176。 ， 再 以 y為軸轉(zhuǎn) 90176。 ， z軸的方向指向 y，但如果次序相反，則 z軸最終指向 x，可見結(jié)果不同。同樣，如果旋轉(zhuǎn)用 4元數(shù)表示，這意味著 4元數(shù)相乘不滿足交換率。如果旋轉(zhuǎn)用矩陣表示，這等價(jià)于矩陣相乘也不滿足交換率。 有限角旋轉(zhuǎn)的不可交換性 y x y x z z ? 但無限小角度的旋轉(zhuǎn)次序是可交換的。分析一下4元數(shù)相乘，不滿足交換率的項(xiàng)是叉乘項(xiàng) ? 當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角是一階無窮小的 2dq時(shí)候， q=1+edq，兩次連續(xù)進(jìn)行時(shí)，叉乘項(xiàng)是二階小量，可被忽略。 ? 因此，無窮小角度旋轉(zhuǎn)是可交換的，且能表示為轉(zhuǎn)軸方向的大小為 dq的矢量，并滿足合成法則。 無窮小角度旋轉(zhuǎn)的可交換性 1 1 1 2 2 21 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2,()q n v q n vq q n n n v n v v v v v? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 2 2 2 1 1 1 2 21 ( )1 2 ( )q q e d e d d d e e d d e ee d e d q q d dq q q q q qq q q q? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?ee? 無限小角度的旋轉(zhuǎn)可以用矢量 edq表示，剛體上任意一點(diǎn)的位移為 ? 定義轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度矢量為 ? 因此，剛體上任意一點(diǎn)的速度為； 旋轉(zhuǎn)的角速度及剛體點(diǎn)速度 dd q??r e rddtq?ω eddt? ? ?rv ω r? 無限小角度的旋轉(zhuǎn)可以用矢量表示，因而角速度也是矢量。對(duì)于歐拉角隨時(shí)間變化產(chǎn)生的角速度為： 歐拉角角速度的矩陣變換 ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 3 )( , ) ( , ) [ ] ( , ) [ ] [ ]c os si n 0 1 0 0 0 0si n c os 0 ( 0 c os si n 0 0 ) 00 0 1 0 si n c os 0c os si n 0sz x z z x zR R Rjy q j y q yy y qy y q qq q j yyy? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ?????ω θ ψe e e e e e0 si n si n c osi n c os 0 si n 0 si n c os si n0 0 1 c os c osq j q y q yy y j q j q y q yj q y j q y? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? 同樣，也可以直接計(jì)算： ? 角速度使得 4元數(shù)隨時(shí)間產(chǎn)生變化： ? 其中， w0是空間坐標(biāo)的 4元數(shù)矢量，而 w是本體坐標(biāo)的角速度 4元數(shù)矢量。 角速度引起的歐拉角和 4元數(shù)變化 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 )( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )( 3 ) ( 3 ) ( 3( sin c o s )( c o s sin ) sin ( sin c o s ) ( c o s )( c o s sin sin ) ( sin c o s sin ) ( c o s )z x z y z x zx y x y zx y zj q y j q q q yq y y j q y y j q yq y j q y j q y q y j q y? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?ω e e e e e e ee e e e ee e e)*0000( 1 / 2 )( ) ( ) 1 1 1l im l im ( )2 2 2ttt q qq t t q tq q q q q qttw w w w? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???第 26次課 作業(yè)： ， ， ， ? 旋轉(zhuǎn)的角加速度定義為 ? 剛體上任意一點(diǎn)的速度為 ? 因此，剛體上任意點(diǎn)的加速度由角加速度和向心（軸）加速度引起。 旋轉(zhuǎn)的角加速度及剛體點(diǎn)加速度 ddt? ωε2()()d d ddt dt dtw ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?vra ω r ε r ωε r ω ω r ε rr? 本體坐標(biāo)原點(diǎn) O移動(dòng)時(shí)剛體上任意一點(diǎn) P的速度為： ? 若以剛體上另一點(diǎn) O39。為本體坐標(biāo)系原點(diǎn)則又有 ? 因?yàn)?P點(diǎn)的任意性，可知 w = w39。，即角速度與本體坐標(biāo)的原點(diǎn)選擇無關(guān)。 一般運(yùn)動(dòng)時(shí)剛體點(diǎn)的速度 0p OP? ? ?vv ω0 39。 00 39。 039。39。 39。 39。 39。 39。( 39。 ) 39。 0pOOO P O O O POP? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?vv ωvv ω v ω ωω ω? 剛體做一般運(yùn)動(dòng)時(shí)，本體坐標(biāo)中有一點(diǎn) C的速度為 0： ? 這一點(diǎn)我們叫它轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。若以這一點(diǎn)為本體坐標(biāo)系的原點(diǎn)，剛體在這一瞬間圍繞這點(diǎn)做純轉(zhuǎn)動(dòng)。這時(shí)剛體上的任意一點(diǎn) P的速度為 ? 而過 C點(diǎn)且沿著 w 方向軸線上，各點(diǎn)速度都為 0，我們稱這個(gè)軸線為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸。 轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心和瞬軸 0 0c OC? ? ? ?vv ωpc C P C P? ? ? ? ?vv ω ω? 轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心可以直接求解： ? 利用剛體上任意兩點(diǎn) P、 Q的速度方向均分別與CP、 CQ垂直的性質(zhì)，可以做垂線獲得交點(diǎn)，即為瞬心 C點(diǎn)。 ? 利用滾動(dòng)接觸點(diǎn)找轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。當(dāng)剛體與空間靜止的物體接觸并在其上做純滾動(dòng)時(shí)，接觸點(diǎn)即為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。 轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的尋找 0200/ ( )P OCO C O Cw? ? ? ?? ? ? ?vv ωω v ω,ppC P C P? ? ? ?v ω v? 各個(gè)時(shí)刻的轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心在空間坐標(biāo)中留下的軌跡稱為空間極跡。極跡，類似南北極點(diǎn)留下的軌跡。 ? 由于不同時(shí)刻有不同的點(diǎn)成為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心，轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心在本體坐標(biāo)系中也留下了軌跡，稱為本體極跡。 ? 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)可以看作是本體極跡在空間極跡軌道上做純滾動(dòng)的過程。 空間極跡和本體極跡 ? 將剛體看成質(zhì)點(diǎn)系，其動(dòng)量為（帶撇為質(zhì)心系）： ? 即剛體的總動(dòng)量等價(jià)于全部質(zhì)量集中在質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。而剛體的角動(dòng)量為： ? 剛體的角動(dòng)量等效于質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量，以及圍繞質(zhì)心的角動(dòng)量 L39。 兩部分。 剛體的動(dòng)量和角動(dòng)量 ( ) ( )()i i i c i i c iiic c i i i cimmMm??? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ????L r v r r v ω rr v r ω r L L()()i i i c iiic i i c i i ciimmM m M m M?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?????p v v ω rv ω rv ω rv? 質(zhì)心系中圍繞質(zhì)心的角動(dòng)量 L39。 可表示為： ? 這里定義了慣量張量（其中 I是單位張量）： ? 慣量張量這里寫為并矢形式，它也有矩陣形式。 剛體的角動(dòng)量和慣量張量 [ ( ) ( ) ][ ( ) I ]i i i i iii i i i iimmI? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???L r r ω rr ωr r r r ω ω[ ( ) I ]I , I Ii i i i iix x y y z zIm ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? r r r re e e e e e a a a? 角動(dòng)量 L39。 寫成矩陣的表達(dá)式 ? 可知慣量張量的矩陣表達(dá)為（離散和連續(xù)情況）： 角動(dòng)量和慣量張量的矩陣表示 1 0 0[ ( ) 0 1 0 ( ) ]0 0 1x i xy i i i i i i i yiz i zILxL m y x y zLzwww? ????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??L ωrr2 2 2 22 2 2 22 2 2 2i i i i i ii i i i i i ii Vi i i i i iy z x y x z y z x y x zI m x y x z y z dV x y x z y zx z y z x y x z y z x yr? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? 剛體的動(dòng)能為： ? 也可表示為等效質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能和圍繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的動(dòng)能兩部分。 剛體的動(dòng)能 222222211()2211( ) ( )2211( ) [ ( ) ]221 1 1 12 2 2 2i i i c iiic i c i i iiic i i c i i iiiccT m mM m mM m mM M I?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???????vv ω rvv ω r ω rv r v ω ω r ω rv ω Lv ω ω? 慣量張量是對(duì)稱的矩陣。 ? 在本體坐標(biāo)系中計(jì)算慣量張量，其分量保持不變。 ? 慣量張量給出了剛體的力學(xué)性質(zhì)，用于計(jì)算角動(dòng)量和動(dòng)能十分便利。 ? 慣量張量對(duì)角項(xiàng)總為正（ ≥0），稱為相應(yīng)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，非對(duì)角項(xiàng)稱為慣量積，對(duì)于對(duì)稱情況，慣量積為 0。 ? 由于動(dòng)能的非負(fù)性質(zhì)，慣量張量也是非負(fù)的二次型矩陣。特別地，當(dāng)慣量張量只有對(duì)角項(xiàng)不為 0時(shí)， 3個(gè)對(duì)角項(xiàng)都必須是非負(fù)的。 慣量張量的一些性質(zhì) ? 一般情況下，角動(dòng)量 L 的方向并不與角速度 w方向平行。只在特殊情況下兩者平行： ? 滿足這種條件的軸的方向稱為主軸方向，這個(gè)條件也等價(jià)于求方程的非零解，因此，要求線性方程組的系數(shù)行列式為 0： ? 行列式為 0的條件得到了關(guān)于 l 的一元三次方程，有 3個(gè)解，都是非負(fù)的實(shí)數(shù)： 慣量張量的主軸 I l? ? ?L ω ω( I ) 0 | I | 0IIll? ? ? ? ? ?ω22( I ) 0 0ITI llw??? ? ? ? ? ? ? ??ω ωω ωω ω? 同時(shí)， l 也是慣量張量矩陣的本征值，非 0解 w 的方向向量即為該本征值對(duì)應(yīng)的本征向量。由于慣量張量是對(duì)稱的，不同的本征值對(duì)應(yīng)的本征向量彼此垂直： ? 相同的本征值時(shí)（重根），它們的本征向量的線性組合也是本征向量，可在它們線性組合構(gòu)成的平面內(nèi)找到兩個(gè)相垂直的本征向量。 慣量張量的本征值和本征向量 1 2 1 2 2 2 1 21 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 21 2 1 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ),0T T TT T T T T TTII I Illllll??? ? ? ?? ? ?ω ω ω ω ω ωω ω ω ω ω ω ω ω ω ωω ω1 2 1 2( ) ( )I a b a bl? ? ?ω ω ω ω? 以 3個(gè)相互垂直的本征向量方向?yàn)檩S向建立本體直角坐標(biāo)系，即本征向量