【正文】 2 3( , , ) , , Tx x x xR y R y y R yz z z zw w w??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?ωω ω,TTTI R I R II R I R I R I R? ? ? ?? ? ???? ? ?L ω L ω ω? 慣量張量的對角項是轉(zhuǎn)動慣量，特別是取本征向量坐標(biāo)系時，慣量張量只有對角項的轉(zhuǎn)動慣量不為零。由于慣量張量是對稱的，不同的本征值對應(yīng)的本征向量彼此垂直： ? 相同的本征值時（重根），它們的本征向量的線性組合也是本征向量，可在它們線性組合構(gòu)成的平面內(nèi)找到兩個相垂直的本征向量。 ? 由于動能的非負(fù)性質(zhì)，慣量張量也是非負(fù)的二次型矩陣。 剛體的動能 222222211()2211( ) ( )2211( ) [ ( ) ]221 1 1 12 2 2 2i i i c iiic i c i i iiic i i c i i iiiccT m mM m mM m mM M I?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???????vv ω rvv ω r ω rv r v ω ω r ω rv ω Lv ω ω? 慣量張量是對稱的矩陣。 剛體的動量和角動量 ( ) ( )()i i i c i i c iiic c i i i cimmMm??? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ????L r v r r v ω rr v r ω r L L()()i i i c iiic i i c i i ciimmM m M m M?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?????p v v ω rv ω rv ω rv? 質(zhì)心系中圍繞質(zhì)心的角動量 L39。 ? 剛體的轉(zhuǎn)動可以看作是本體極跡在空間極跡軌道上做純滾動的過程。當(dāng)剛體與空間靜止的物體接觸并在其上做純滾動時，接觸點即為轉(zhuǎn)動瞬心。若以這一點為本體坐標(biāo)系的原點，剛體在這一瞬間圍繞這點做純轉(zhuǎn)動。 39。39。即角速度與本體坐標(biāo)的原點選擇無關(guān)。對于歐拉角隨時間變化產(chǎn)生的角速度為： 歐拉角角速度的矩陣變換 ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 3 )( , ) ( , ) [ ] ( , ) [ ] [ ]c os si n 0 1 0 0 0 0si n c os 0 ( 0 c os si n 0 0 ) 00 0 1 0 si n c os 0c os si n 0sz x z z x zR R Rjy q j y q yy y qy y q qq q j yyy? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ?????ω θ ψe e e e e e0 si n si n c osi n c os 0 si n 0 si n c os si n0 0 1 c os c osq j q y q yy y j q j q y q yj q y j q y? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? 同樣，也可以直接計算： ? 角速度使得 4元數(shù)隨時間產(chǎn)生變化： ? 其中， w0是空間坐標(biāo)的 4元數(shù)矢量，而 w是本體坐標(biāo)的角速度 4元數(shù)矢量。 有限角旋轉(zhuǎn)的不可交換性 y x y x z z ? 但無限小角度的旋轉(zhuǎn)次序是可交換的。 ， 再 以 y為軸轉(zhuǎn) 90176。最后沿著 z軸旋轉(zhuǎn) y角。 因初始時的 |R|=1，需舍棄負(fù)根。 ? 剛體上本體坐標(biāo)為 (x,y,z)的任意一點當(dāng)前空間位置為 [r’] = x[ex] + y[ey] + z[ez] = [R][r] 這給出旋轉(zhuǎn)前后剛體上任一點（在原坐標(biāo)系中的）坐標(biāo)的變換。則矩陣 R是旋轉(zhuǎn)的變換矩陣。 旋轉(zhuǎn)的復(fù)合 1 1 1 1 2 2 2 2* * * * *1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1* * * * *2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2c o s s in , c o s s in , ( ) ( ), ( ) ( ) 1q e q er q r q r q r q q q r q q q q r q qq q q q q q q q q q q q q q qq q q q? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 以 z軸為轉(zhuǎn)軸，進(jìn)行一次轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動 q之后剛體上任意一點的空間坐標(biāo)變?yōu)? ? 變換矩陣為 ? 同樣我們可以獲得繞 x軸或繞 y軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣。 四元數(shù)表示旋轉(zhuǎn) **** * *, , 1c os si n , c os si n , 1( 2 si n ) 2 si n ( )2 si n [ c os ( ) si n ]si n 2 ( c os 2 1 ) [ ( ) ]c os 2 ( ( ) ) si n 2 ( )x y zr x i y j zk e e i e j e k e eq e q e q qr q r q r q e r q r e r qr e r e r er e r r r e er r e e e r r e eq q q qqqq q qqqqq? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 兩次旋轉(zhuǎn)連續(xù)進(jìn)行可以復(fù)合為一次 ? 連續(xù)多次的旋轉(zhuǎn)最后都能用一次旋轉(zhuǎn)替代，這與歐拉定理是一致的。由于矢量叉乘規(guī)則，因此 4元數(shù)的乘法也同樣不滿足交換律。 第 24次課 ? 設(shè) e為轉(zhuǎn)軸的方向向量。因此當(dāng) x轉(zhuǎn)到 x39。軸上任意一點到 x和 x39。 ? 實際上，由于原點不動，只需要本體坐標(biāo)的 x軸單位向量和 y軸單位向量到達(dá)目標(biāo)位，剛體整個就到達(dá)目標(biāo)位。剛體轉(zhuǎn)動時，其上某一點固定。 ? 平面運(yùn)動。自由度為 3（ 3個平動自由度）。 剛體的運(yùn)動方式 ? 平動。它是隨剛體一起運(yùn)動的。決定第三個點還需要 1個自由度（ 3個自由度，減去它與前這兩點之間的距離固定的 2個約束條件）。 –轉(zhuǎn)動自由度 3。我們研究宏觀世界的物體運(yùn)動時，如果物體的大小不能忽略，用質(zhì)點模型就不夠全面，這時可以使用剛體模型。理論力學(xué)（三） 剛體力學(xué)，非線性系統(tǒng) 剛體的概念和性質(zhì) ? 剛體是一種質(zhì)點系，其中所有質(zhì)點的相對位置一直保持不變。 ? 剛體有形狀，有大小，有質(zhì)量分布。決定了剛體上的一點的位置。決定剛體上的另一點又需要 2個自由度（ 3個自由度，減去這兩點之間的距離固定的約束條件）。 剛體的本體坐標(biāo) ? 本體坐標(biāo)系是固定在剛體上的坐標(biāo)系。 ? 要表示一個剛體的狀態(tài)，首先要用三個空間坐標(biāo)表示本體坐標(biāo)系的原點位置，此外還要能表征本體坐標(biāo)的坐標(biāo)軸方向?？梢杂脛傮w上的一點的運(yùn)動表征整個剛體的運(yùn)動。自由度為 1。 ? 定點轉(zhuǎn)動。 ? 如果能尋找到軸線和旋轉(zhuǎn)的角度，使原始位置的剛體經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)就能到達(dá)指定位置，則歐拉定理即獲得證明。的垂直平分面的交線。 ? 圖中黑的球面三角與紅的球面三角全等。這樣， 描述原點固定的剛體的狀態(tài)就等價于描述一次轉(zhuǎn)動 。不同虛數(shù)相互的乘積（這里用 * 表示）滿足矢量叉乘的規(guī)則： 轉(zhuǎn)動的 4元數(shù)描述 1, , , , ,i i j j k ki j k j k i k i j j i k k j i i k j? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?q n x i y j zk? ? ? ?? 4元數(shù)可以進(jìn)行加減乘運(yùn)算。 ? 對比可知得到的是角度為 2q的旋轉(zhuǎn)。 ? 用 4元數(shù)表示旋轉(zhuǎn)的方法廣泛應(yīng)用于計算機(jī)的 3維繪圖等方面。把 3個單位基矢量的空間坐標(biāo)排為 3列，構(gòu)成矩陣 3x3的矩陣 R =[ [ex] [ey] [ez] ] 。此矩陣的逆矩陣是自身的轉(zhuǎn)置。若存在轉(zhuǎn)軸 X，它在旋轉(zhuǎn)變換 R作用下不變，即說明可以通過一次旋轉(zhuǎn)從初始位置轉(zhuǎn)到最終位置。然后沿 x軸旋轉(zhuǎn) q角。歐拉角經(jīng)過三次沿坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動之后剛體上任意一點的空間坐標(biāo)變?yōu)椋?e右肩標(biāo)是歐拉角旋轉(zhuǎn)的順序） ? 或反過來從空間坐標(biāo)求本體坐標(biāo)： 歐拉角旋轉(zhuǎn)的矩陣表示 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )( 1 )[ , , ] [ ] [ , , ] [ ] [ , , ] ( , ) [ ][ , , ] ( , ) ( , ) [ ][ , , ] ( , ) ( , ) ( , ) [ ][ ] ( ,x y z x y z x y z zx y z x zx y z z x zzRRRR R RRyqyj q yj??? ? ??????r e e e r e e e r e e e e re e e e e re e e e e e rre( 2 ) ( 3 )) ( , ) ( , ) [ ]xzRRqye e r( 3) ( 2 ) ( 1 )[ ] ( , ) ( , ) ( , ) [ ]T T Tz x zR R Ry q j ??r e e e r? 因此 歐拉角旋轉(zhuǎn)的矩陣表示 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )[ ] ( , ) ( , ) ( , ) [ ]c os si n 0 1 0 0 c os si n 0si n c os 0 0 c os si n si n c os 00 0 1 0 si n c os 0 0 1z x zR R Rxyzj q yj j y yj j q q y yqq? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?r e e e r( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )( 1 ) ( 2 ) ( 2 )( 2 ) ( 3 ) ( 3 )( 2 ) ( 3 ) ( 3 )[ , , ] [ , , ] ( , )[ , , ] [ , , ] ( , )si n c osc os si nsi n c osTx y z x y z xTx y z x y z zz y zx x yy x yRRqyqqyyyy??? ? ?????e e e e e e ee e e e e e ee e ee e ee e e? 旋轉(zhuǎn)的次序是不可交換的，例如同樣是做以 x為軸轉(zhuǎn) 90176。如果旋轉(zhuǎn)用矩陣表示，這等價于矩陣相乘也不滿足交換率。 無窮小角度旋轉(zhuǎn)的可交換性 1 1 1 2 2 21 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2,()q n v q n vq q n n n v n v v v v v? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 2 2 2 1 1 1 2 21 ( )1 2 ( )q q e d e d d d e e d d e ee d e d q q d dq q q q q qq q q q? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?ee? 無限小角度的旋轉(zhuǎn)可以用矢量 edq表示，剛體上任