【正文】 意一點(diǎn)的位移為 ? 定義轉(zhuǎn)動的角速度矢量為 ? 因此，剛體上任意一點(diǎn)的速度為； 旋轉(zhuǎn)的角速度及剛體點(diǎn)速度 dd q??r e rddtq?ω eddt? ? ?rv ω r? 無限小角度的旋轉(zhuǎn)可以用矢量表示，因而角速度也是矢量。為本體坐標(biāo)系原點(diǎn)則又有 ? 因?yàn)?P點(diǎn)的任意性，可知 w = w39。 039。 39。 0pOOO P O O O POP? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?vv ωvv ω v ω ωω ω? 剛體做一般運(yùn)動時，本體坐標(biāo)中有一點(diǎn) C的速度為 0： ? 這一點(diǎn)我們叫它轉(zhuǎn)動瞬心。 ? 利用滾動接觸點(diǎn)找轉(zhuǎn)動瞬心。 ? 由于不同時刻有不同的點(diǎn)成為轉(zhuǎn)動瞬心，轉(zhuǎn)動瞬心在本體坐標(biāo)系中也留下了軌跡，稱為本體極跡。 兩部分。 寫成矩陣的表達(dá)式 ? 可知慣量張量的矩陣表達(dá)為（離散和連續(xù)情況）： 角動量和慣量張量的矩陣表示 1 0 0[ ( ) 0 1 0 ( ) ]0 0 1x i xy i i i i i i i yiz i zILxL m y x y zLzwww? ????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??L ωrr2 2 2 22 2 2 22 2 2 2i i i i i ii i i i i i ii Vi i i i i iy z x y x z y z x y x zI m x y x z y z dV x y x z y zx z y z x y x z y z x yr? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? 剛體的動能為： ? 也可表示為等效質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)的動能和圍繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的動能兩部分。 ? 慣量張量對角項(xiàng)總為正（ ≥0），稱為相應(yīng)的軸的轉(zhuǎn)動慣量，非對角項(xiàng)稱為慣量積，對于對稱情況，慣量積為 0。只在特殊情況下兩者平行： ? 滿足這種條件的軸的方向稱為主軸方向，這個條件也等價于求方程的非零解，因此，要求線性方程組的系數(shù)行列式為 0： ? 行列式為 0的條件得到了關(guān)于 l 的一元三次方程，有 3個解，都是非負(fù)的實(shí)數(shù)： 慣量張量的主軸 I l? ? ?L ω ω( I ) 0 | I | 0IIll? ? ? ? ? ?ω22( I ) 0 0ITI llw??? ? ? ? ? ? ? ??ω ωω ωω ω? 同時， l 也是慣量張量矩陣的本征值，非 0解 w 的方向向量即為該本征值對應(yīng)的本征向量。 ? 旋轉(zhuǎn)矩陣 R滿足正交歸一的條件，其逆矩陣即為自身的轉(zhuǎn)置。 轉(zhuǎn)動慣量 2 2 2 222( ) ( ) ( ( ) )[ ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ]2 ( ) ( )x x i i i i i x i c i xi i ii c x c x i x i xic c x i i x x x c x xiI m y z m mmI m I I I?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???r e r r er e r e r e r er e r e221 ()z z x yI m L LN??轉(zhuǎn)動慣量的計算 長方體a*b*c 圓柱體 pa2*H 橢球體4pa*b*c/3 球殼 4p(a3b3)/3 22()12m bc? 22()12m ac? 22()12m ab?22ma22()4 12ahm ?22()4 12ahm ?22()5m bc? 22()5m ac? 22()5m ab?553325m a bab??553325m a bab??553325m a bab??第 27次課 作業(yè)： ， ， ， ? 定義任意方向的轉(zhuǎn)動慣量 I 使得剛體繞該方向軸線轉(zhuǎn)動時，動能為 ? 轉(zhuǎn)動慣量 I 與方向有關(guān)，當(dāng)然與角速度大小無關(guān)。 ? 角動量的方向就是橢球面的法線方向。求慣量張量并做對角化。 ? 依對稱性同樣可得 x和 y方向的動力學(xué)方程。又約束轉(zhuǎn)動時沒有力矩做功，剛體的動能守恒。 自由轉(zhuǎn)動的剛體 2 2 21 2 32 2 2 2 2 2 21 2 32x y zx y zI I I TI I I Lw w w? ? ?? ? ?? 從中解出以 wz表示的 wx， wy： ? 可以解析求解，得到關(guān)于第一類不完全橢圓積分的特殊函數(shù)，由于數(shù)學(xué)上繁瑣就不再詳解和討論。 自由轉(zhuǎn)動剛體的幾何圖示 22 c o n s ta n t2TTH O QL L LI T Lw? ? ? ? ? ? ?L ω L? 可以看出，如果有兩個主轉(zhuǎn)動慣量相同，慣量橢球就是軸對稱的，其空間極跡就是一個圓，轉(zhuǎn)軸 OQ繞著角動量 L的方向勻速轉(zhuǎn)動，可以解析求解。 對稱歐拉陀螺 3 1 23 1 1()000( ) 0 , c o n s ta n t, , ( ) /c o s ( ) , s in ( )z x y zx y y x zi t i txyxyI I II I Ii c e ett?w w w ww w w w ww w ww w ? w w ?W W ?? ? ? ?? ? W ? W W ? ?? ? ? ?? W ? ? W ?? 在空間坐標(biāo)系中， 也是常數(shù)，與 z 軸即 L的夾角也是常數(shù)，為 cos1(w39。地球可看作對稱歐拉陀螺，其南北軸線半徑短于赤道面的半徑，因而南北軸的轉(zhuǎn)動慣量較大，比例為 (I3I1)/I1=1/306，而 wz為 1天對應(yīng)的角頻率。 對稱歐拉陀螺的運(yùn)動 000c os( ) sin sin c ossin( ) sin c os sinc os( ) , 0 , , sin2 c osxyzzztttw w ? j q y q yw w ? j q y q yw w j q ywpy ? q j w j qq??W ? ?? ? ? ???? ? ? ?? W ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ????W? ? W ? ? ? ?? 設(shè)想一個沿主軸做定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的剛體，不妨設(shè)沿 x軸，即 w=wex，受到微小擾動而變化。而對于開始是 x軸的轉(zhuǎn)動，可得 ? wy 將是線性增加的，因而總是不穩(wěn)定的。若 I1 I3（相當(dāng)于勻質(zhì)物體 z軸方向尺度大于其他兩個方向尺度），動能減小則 q角增加，這時旋轉(zhuǎn)軸逐漸遠(yuǎn)離 z軸，因而繞 z軸轉(zhuǎn)動是不穩(wěn)定的。對應(yīng)守恒的廣義動量： 拉格朗日陀螺 2 2 21 1 32 2 2 2311( ) c o s2( sin ) ( c o s ) c o s22x y zL I I I m g lIIm g lw w w qq j q j q y q? ? ? ?? ? ? ? ?3221 3 1( c o s ) ,sin ( c o s ) c o s sin c o sLLP I PI I I Pyjyj q yyjj q j q y q j q q??? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 反解可得： ? 守恒的廣義能量積分為： ? 這相當(dāng)于以 q 為廣義坐標(biāo)的質(zhì)量為 I1的質(zhì)點(diǎn)在有效勢中 Veff中運(yùn)動： 拉格朗日陀螺的有效勢 221 3 1c o s c o s, c o ss in s inP P P P PI I Ij y y j yqqj y qqq??? ? ?2221213( c o s )c o s2 sin 2 2H P P P LP P P Im g l EIIj y qj y yj y qqqqq? ? ? ? ??? ? ? ? ?22121( c os ) 1c os ,2 si n 2e ff e ffPPV m gl I V EIjy q qqq? ?? ? ? ?? 如圖所示，若能量為 E39。 q1 q2 p 作業(yè)： ， ， ， 第 29次課 ? 對于高速回轉(zhuǎn)情況，當(dāng) q 變小使進(jìn)動速度為 0之時，若 q 繼續(xù) 變小有效勢會迅速增大達(dá)到總能量，q 迅速 達(dá)到極小值 q1 。重力矩與角動量垂直，因而它使角動量回旋而不改變其大小。子彈射出之時，由于槍膛里的來復(fù)線的作用，向前的同時也有高速的旋轉(zhuǎn)。若要使高速旋轉(zhuǎn)的剛體轉(zhuǎn)向，需要在轉(zhuǎn)軸上施加很大的力矩。利用高速旋轉(zhuǎn)剛體的特點(diǎn)，用于導(dǎo)航。 ，圓盤質(zhì)量 20kg，半徑 ，距離軸兩端都是 ，轉(zhuǎn)速12020r/min求軸上所受動反作用力。有限角度轉(zhuǎn)動不是矢量，而無限小角度轉(zhuǎn)動是矢量，符合交換率和矢量合成法則。 剛體力學(xué)總結(jié) ??vr ω? 每個剛體都存在三個相互垂直的主軸方向，以此三個方向建立的本體直角坐標(biāo)系中，剛體的慣量張量矩陣是對角線型的，且數(shù)值不變。高速旋轉(zhuǎn)時，剛體的運(yùn)動具有穩(wěn)定性。量子力學(xué)的結(jié)果有著隨機(jī)性，但幾率分布是確定的。 非線性系統(tǒng)和混沌 ? 1961年冬的一天，美國麻省理工學(xué)院的氣象學(xué)家愛德華 然而經(jīng)過一段重復(fù)后，計算機(jī)卻偏離了上次的結(jié)果。對于一般受迫情況，相圖上出現(xiàn)周期吸引子或極限環(huán)。點(diǎn)重迭一起時，就把相平面卷縮成一個柱面。 ? 受迫阻尼單擺可寫為自治系統(tǒng)： ? 自治系統(tǒng)的動力學(xué)方程不顯含時間 t 的。 龐加勒截面圖 2n?p??qq相 軌 線環(huán) 形 相 空 間q相 軌 線qqq?2n?p? 2 ( 1)n?p??2?p??三 維 相 空 間? 相軌線在龐加勒截面上的交點(diǎn)的集合就稱為龐加勒截面圖。 周期數(shù)增加 (a)雙周期 (b)四周期 (c)混沌 ? 隨著驅(qū)動力增加，單擺運(yùn)動的周期數(shù)成倍增加，最后出現(xiàn)混沌。 混沌與周期性交替出現(xiàn) 三周期的運(yùn)動 ? 隨著外加的受迫力增大，系統(tǒng)由單周期，變?yōu)槎吨芷诘倪\(yùn)動，即出現(xiàn)了倍周期分岔。 混沌系統(tǒng)的吸引子 xx xxv vvt(a)(b) (c) (d)? 圖 (a)中兩條曲線的運(yùn)動完全各異，但它們的龐加勒截面圖 (c)和(d)卻又是完全相同的?；煦缥邮欠蔷€性耗散系統(tǒng)混沌的特征，表明耗散系統(tǒng)演化的歸宿。而真正的隨機(jī)運(yùn)動中，不可能出現(xiàn)這種情況。 ? 在平衡點(diǎn)附近，相軌線的走向?yàn)? 動力學(xué)系統(tǒng)的平衡點(diǎn) 12( , , . . . , ) , 1 , 2 , . . . ,i i nx f x x x i n??( ) 0 , 1 , 2 , . . . ,iix f P i n? ? ?1( ) , 1 , 2 , . . . ,( ) ( )( ) , [ ] [ ] [ ]i i iniii i j i jj jjx x P i nf P f PfPxx?? ? ? ??? ? ???? ? ? ????? 雅可比矩陣為 ? 平衡點(diǎn)的類型由雅可比矩陣的本征值決定。 ? 以二維相空間為例，有橢圓點(diǎn)（本征值為純虛數(shù)），鞍點(diǎn)（兩本征值符號相反），焦點(diǎn)（共軛復(fù)數(shù)，實(shí)部為負(fù)時是穩(wěn)定的，為正就不穩(wěn)定），穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)（兩個正本證值），不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)（兩個負(fù)本征值）。 l10， l20 ? 不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。打斗每方數(shù)量都是 xn ，因而打斗發(fā)生的次數(shù)與 xn 的平方成正比。因?yàn)橥ㄟ^平移（ x=x+a/2b）和比例變換，兩者本質(zhì)相同。如下圖所示。窗口中包含著與整體完全相似的結(jié)構(gòu)。 ? 在整個區(qū)間取值迭代便得出由周期運(yùn)動到倍周期分岔，再進(jìn)入混沌狀態(tài)的整個演化過程。 ? ?的數(shù)值只與系統(tǒng)的某種非線性性質(zhì)有關(guān)，而與各個系統(tǒng)的其他具體細(xì)節(jié)無關(guān)。(x0) f