【正文】 0400 20 40 60 80 100廣告費 （萬元）銷售收入（百萬元）167。 72 簡單線性相關與回歸分析 121 一、相關系數(shù)及其檢驗 (一 )相關系數(shù)的定義 ：在線性條件下說明兩個變量之間相關關系密切程度的統(tǒng)計分析指標，簡稱相關系數(shù)。 ? 若相關系數(shù)是根據(jù)總體全部數(shù)據(jù)計算的 ，稱為總體相關系數(shù) ， 記為 ? ? 若是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的 ， 則稱為樣本相關系數(shù) ， 記為 r 122 總體相關系數(shù)的定義式是： ρ ＝)()(),(YV a rXV a rYXCo v （ ） 式中， Cov （ X ， Y ）是變量 X 和 Y 的協(xié)方差； V a r ( X ) 和 V a r ( Y ) 分別為變量 X 和 Y 的方差。 總體相關系數(shù)是反映兩變量之間線性相關程度的一種特征值， 表現(xiàn)為一個常數(shù)。 123 樣本相關系數(shù)的定義公式是： ? ? ??? ???22)()())((YYXXYYXXrtttt （ 7 . 2 ） 上式中， X 和 Y 分別是 Ｘ 和 Ｙ 的樣本平均數(shù)。 樣本相關系數(shù)是根據(jù)樣本觀測值計算的，抽取的樣本不同， 其具體的數(shù)值也會有所差異。 容易證明，樣本相關系數(shù)是總體相關系數(shù)的一致估計量。 124 YXXYr ???2?式中：nYYXXXY))((2?? ??? ，是變量 X 和 Y 的協(xié)方差。 nXXX? ??2)（?，是變量 X 的標準差。 nYYY? ??2)(?，是變量 Y 的標準差。 樣本相關系數(shù)的定義公式實質(zhì) 125 (二 )相關系數(shù)的特點 的取值介于－１與１之間， r 的取值范圍是 [1,1] ，０＜ |ｒ |＜１，即 Ｘ 與 Ｙ 的樣本觀測值之間存在著一定的線性關系，當 ｒ ＞０時，Ｘ與Ｙ為正相關，當 ｒ ＜０時， Ｘ 與 Ｙ 為負相關。 |ｒ |的數(shù)值愈接近于 1，表示 x與 y直線相關程度愈高；反之， |ｒ |的數(shù)值愈接近于 0，表示 x與 y直線相關程度愈低。通常判斷的標準是 : |ｒ |＜ 稱為微弱相關， ≤ |ｒ |＜ ， ≤ |ｒ |＜ ， ≤ |ｒ |＜1稱為高度相關或強相關。 126 |ｒ |=1，則表明 Ｘ 與 Ｙ 完全線性相關，當 ｒ =1時，稱為完全正相關， 而 ｒ =1時，稱為完全負相關。 是對變量之間線性相關關系的度量。 ｒ =0只是表明兩個變量之間不存在線性關系，它并不意味著 Ｘ 與 Ｙ 之間不存在其他類型的關系。 127 相關關系的測度 （相關系數(shù)取值及其意義） + 0 + 完全負相關 無線性相關 完全正相關 負相關程度增加 r 正相關程度增加 128 ? ? ??? ???2)(2)())((YYXXYYXXr ? ? ? ????? YXnXYYYXX 1))((? ? ???? 2)(12)( 2 XnXXX? ? ???? 2)(12)( 2 ynYYY計算相關系數(shù)的 “ 積差法” (三 )相關系數(shù)的計算 YYLXXLXYLr ? )()( YXXYnXYL ??????2)(2 XXnXXL ????2)(2 YYnYYL ????129 編 號 人口增長量（千人） X 年 需 求 量（十噸） Y X2 Y2 XY 1 274 162 7 5 0 7 6 26244 44388 2 180 120 3 2 4 0 0 14400 21600 3 375 223 140625 49729 83625 4 205 131 4 2 0 2 5 17161 26855 5 86 67 7 3 9 6 4489 5762 6 265 169 7 0 2 2 5 28561 44785 7 98 81 9 6 0 4 6561 7938 8 330 192 108900 36864 63360 9 195 116 3 8 0 2 5 13456 22620 10 53 55 2 8 0 9 3025 2915 11 430 252 184900 63504 108360 12 372 234 138384 54756 87048 13 236 144 5 5 6 9 6 20736 33984 14 157 103 2 4 6 4 9 10609 16171 15 370 212 136900 44944 78440 合計 3 6 2 6 2 2 6 1 1 0 6 7 6 1 4 395039 647851 例：下表是有關 15個地區(qū)某種食物需求量和地區(qū)人口增加量的資料。 130 編 號 人口增長量（千人）X 年 需 求 量（十噸） Y 2X 2Y XY 合計 3 626 2261 10 6 7614 39 5 039 64 7 851 ? ???? yxxynL xy? 2 2 6 13 6 2 66 4 7 8 5 115 ????1 5 1 9 3 7 9?2 8 6 6 3 3 4? 236 2610 67 61 415 ???? ??? 22 )( xxnL xx22 26 13 95 0 3915 ???? ??? 22 )( yynL yy 8 1 3 4 6 4?8 1 3 4 6 42 8 6 6 3 3 41 5 1 9 3 7 9??yyxxxyLLLr??? 9 9 5 ?131 計算公式還可以有： YXnYnXnXY????????? ? ??? ???22 )()())((YYXXYYXXrnYYXXnYYXX/])()([/)])(([22? ? ??? ???YXYXXY?????nYYnXXnYYXX?????????2)(2)())((132 （四）相關系數(shù)的顯著性檢驗 ? 系 ? t 檢驗 ? ? 提出假設： H0： ? ? ? ； H1： ? ? 0 )2(~122???? ntrnrt? 計算檢驗的統(tǒng)計量： ? 確定顯著性水平 ?，并作出決策 ? 若 ?t?t???，拒絕 H0 ? 若 ?t?t???，接受 H0 133 相關系數(shù)的顯著性檢驗 （實例） ? ? 對前例計算的相關系數(shù)進行顯著性檢(??) 1. 提出假設： H0： ? ? ? ； H1： ? ? 0 2. 計算檢驗的統(tǒng)計量 9 9 5 2159 9 5 2?????t3. 根據(jù)顯著性水平 ?＝ ，查 t分布表得 t?