【正文】 8 8 1959 9 1960 10 350 1961 11 1962 12 1963 13 375 1964 14 1965 15 1966 16 1967 17 1968 18 1969 19 1970 20 年份 序號(hào) t 可支配收入 Xt 消費(fèi) Yt XtX t YtY t XtY t 1951 1 1952 2 1953 3 230 52900 58098 1954 4 1955 5 1956 6 1957 7 1958 8 1959 9 1960 10 350 122500 105755 113820 1961 11 112359 1962 12 126096 136820 1963 13 375 140625 151725 1964 14 1965 15 204801 1966 16 238699 1967 17 1968 18 316765 1969 19 364749 1970 20 422323 合計(jì) 3471559 2888129 3166305 平均 173578 返回 167。 相關(guān)系數(shù)與相關(guān)程度 ? 如果 |ρ|=1， 表明 (Y , X )之間是完全線性相關(guān) ， 完全線性相關(guān) ， 是一種精確的線性函數(shù)關(guān)系； ? 如果 |ρ|=0， 表明 (Y , X )之間沒有關(guān)系或者線性無(wú)關(guān)； ? 如果 0|ρ|1， (Y , X )是一種線性統(tǒng)計(jì)關(guān)系 ， 線性統(tǒng)計(jì)關(guān)系 ， 是最常見的相關(guān)關(guān)系； 0ρ1是正的 線性相關(guān)； 1ρ0是負(fù)的 線性相關(guān) 。 ? |ρ|值越大 ， 則 線性關(guān)比較系密切 ， 反之 ， 則線性關(guān)系不密切 。 ? 同理 ， |γ|=1， 表示樣本 (Y t ,X t)為完全線性相關(guān)； γ=1， 表示 (Y t, X t)為完全正線性相關(guān) ， 樣本的所有點(diǎn) (Y t, X t)都在一條直線上； γ=1， 表示 (Y t, X t)為完全負(fù)線性相關(guān) ， 樣本的所有點(diǎn) (Y t ,X t)也都在一條直線上； ? γ=0， 表示樣本點(diǎn) (Y t ,X t)在散點(diǎn)圖上的分布是雜亂無(wú)章的 ， (Y t,X t)之間無(wú)相關(guān)關(guān)系； ? 0|γ|1， 表示 (Y t ,X t)之間存在線性相關(guān)關(guān)系 ， 其樣本點(diǎn) (Y t, X t)大致地分布在某條直線左右 。 ? 當(dāng) |γ|比較小時(shí) ， 樣本點(diǎn)離該直線比較分散 ， 而當(dāng) |γ|比較大 （ 接近于 1） 時(shí) ， 樣本點(diǎn)就靠近該直線 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 相關(guān)分析 返回 167。 相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn) ? 檢驗(yàn)樣本相關(guān)系數(shù) γ， 實(shí)質(zhì)上是用樣本相關(guān)系數(shù) γ， 檢驗(yàn)總體相關(guān)系數(shù) ρ是否為 0， 如果 ρ=0， 則兩變量 Y, X 之間 ， 線性關(guān)系微弱；若 ρ≠0， 則兩變量 Y, X 之間 ， 線性關(guān)系顯著 。 ? 由 γ的分布理論 ， 可以證明：如果變量 Y, X是正態(tài)變量 ， 當(dāng) ρ=0， 則與 γ有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量 ? () ? 與 γ有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量 ? () ? 根據(jù)這一定理 ， 可以檢驗(yàn) ρ是否為 0（ 總體兩變量之間直線相關(guān)關(guān)系是否為不顯著 ） 。 各種不同的統(tǒng)計(jì)量 ， 構(gòu)成不同的檢驗(yàn)方法 。 因此 ， γ的檢驗(yàn)方法 ， 有 t統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn) 、 F統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)和 γ的查表檢驗(yàn) 。 γ的查表檢驗(yàn) ， 是 t檢驗(yàn)或者 F檢驗(yàn)方法的結(jié)果 。 三種方法的檢驗(yàn)結(jié)論相同 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 相關(guān)分析 ).2(~.1 22 ????? ntrnrt).2,1(~.1 2222 ?????? nFrnrtF ? 167。 相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn) ? t統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn) ? ⑴ 作統(tǒng)計(jì)假設(shè) ? 零假設(shè) H0： ρ=0， 備擇假設(shè) H1： ρ≠0。 ? ⑵ 計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù) γ的 t值 ? ， ? ⑶ 選擇顯著性水平 ?， 取小概率 ?=1%或者 ?=5%。 根據(jù) ?和自由度 n2，求 t分布的臨界值 t?/2， 若 |t|≦ t?/2， 接受 H0， 表示 Y, X之間相關(guān)不顯著；若 |t|t?/2， 拒絕 H0， 表示 Y, X之間相關(guān)顯著 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 相關(guān)分析 212rnrt???? 167。 相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn) ? F統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn) ? ⑴ 作統(tǒng)計(jì)假設(shè) ? 零假設(shè) H0： ρ=0， 備擇假設(shè) H1： ρ≠0。 ? ⑵ 計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù) γ的 F值 ? ， ? ⑶ 選擇顯著性水平 ?， 取 ?=1%或者 ?=5%。 根據(jù) ?和自由度 1,n2， 求 F分布的兩個(gè)臨界值 F1?/2(1,n2),F?/2(1,n2) ， 且 F1?/2(1,n2)F?/2(1,n2) 。 若 F1?/2(1,n2)≦ F≦ F?/2(1,n2)， 接受 H0， 表示 Y, X之間相關(guān)不顯著；若 F F?/2(1,n2)或 F F1 ?/2(1,n2)， 拒絕 H0， 表示 Y, X之間相關(guān)顯著 。 ? 說(shuō)明 : F檢驗(yàn)是雙側(cè)檢驗(yàn) ， 有兩個(gè)臨界值 F1?/2(1,n2),F?/2(1,n2)， 且 F1?/2(1,n2)F?/2(1,n2)， 即接受零假設(shè) H0的臨界區(qū)域?yàn)?F1?/2(1,n2)≦ F≦ F?/2(1,n2) ? F≦ F?/2(1,n2)、 1/F≦ 1/F1?/2(1,n2)；由于有 F~F(1,n2)和 1/F~F (n2,1)， 于是可以證明 ， 在 H0成立的條件下 ， F雙側(cè)檢驗(yàn)等價(jià)于兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 F、 1/F的單側(cè)檢驗(yàn) ，兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量中只要有一個(gè)滿足檢驗(yàn)的要求即可 ， 即 F≦ F?/2(1,n2)或者 1/F≦ F1?/2(1, n2) =1/ F?/2(n2, 1)就接受 H0。 通常的做法是檢驗(yàn) F≦ F?/2(1,n2)， 且統(tǒng)一記F≦ F?/2。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 相關(guān)分析 222 12rnrtF ?????? 167。 相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn) ? γ的查表檢驗(yàn) ? γ的查表檢驗(yàn) ， 是 t檢驗(yàn)或者 F檢驗(yàn)方法衍生的結(jié)果 。 不論是 t檢驗(yàn)還是 F檢驗(yàn) ， 其臨界值 t?/ F?/2， 對(duì)自由度 n2（ 樣本容量 =n） 和樣本相關(guān)系數(shù) γ， 都有一個(gè)臨界要求 ， 反算出樣本相關(guān)系數(shù)臨界值 γ?/2， 那么由顯著性水平 ?、 自由度 n2及臨界樣本相關(guān)系數(shù)γ?/2 ， 就可以構(gòu)成一個(gè)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表 。 在給定條件下查驗(yàn)該表 ， 就可以判斷變量 Y, X之間是否線性相關(guān) 。 ? ⑴ 作統(tǒng)計(jì)假設(shè) ? H0： ρ=0， H1： ρ≠0。 ? ⑵ 計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù) γ。 ? ⑶ 選擇顯著性水平 ?， 取 ?=1%或者 ?=5%。 根據(jù) ?和自由度 n2，查相關(guān)系數(shù)表求臨界值 γ?/2， 若 |γ|≦ γ?/2， 接受 H0， 表示 Y, X之間相關(guān)不顯著；若 |γ|γ?/2， 拒絕 H0， 表示 Y, X之間相關(guān)顯著 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 相關(guān)分析 167。 相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn) ? 【 例 73】 利用某國(guó) 19511970年的消費(fèi) Y和可支配收入 X的相關(guān)系數(shù) γ，在 ?=5%時(shí) ， 是否可以認(rèn)為 Y和 X之間存在顯著性的線性相關(guān)關(guān)系 。 ? 解： ⑴ 作統(tǒng)計(jì)假設(shè) ? H0： ρ=0， H1： ρ≠0。 ? ⑵ 計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù) γ的 t值 。 已知 γ=， 求得 t=。 ? ⑶ 選擇顯著性水平 ?， 取 ?=5%。 根據(jù) ?和自由度 n2， 求得 t分布的臨界值 t?/2(n2)= %(202)=。 因?yàn)?|t|=t?/2=， 所以拒絕 H0，表示 Y, X之間相關(guān)顯著 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 相關(guān)分析 返回 167。 等級(jí)相關(guān)系數(shù)及其檢驗(yàn) ? 等級(jí)相關(guān)系數(shù) （ 又稱為順序相關(guān)系數(shù) ） 。 ? 設(shè)有 Xt和 Yt兩個(gè)數(shù)列 ， 依數(shù)量的大小或者品質(zhì)的優(yōu)劣 ， 分為 1,2,3,… ,n1,n個(gè)等級(jí) ， 以 VX,t表示各個(gè) Xt的等級(jí)數(shù) ， 以 VY,t表示各個(gè) Yt的等級(jí)數(shù) ， 則等級(jí)相關(guān)系數(shù) γ s為 ? () ? 式中 ， n是樣本容量 。 ? 該公式可由兩個(gè)等級(jí)變量的相關(guān)系數(shù) ， 推導(dǎo)而來(lái) 。 ? 與相關(guān)系數(shù) γ類似 ， γ s的取值范圍為 0≦ |γ s|≦ 1。 γ s為正值 ， 存在正的等級(jí)相關(guān)關(guān)系 ， γ s取負(fù)值 ， 存在負(fù)的等級(jí)相關(guān) 。 γ s=1， 表明兩種現(xiàn)象的等級(jí)完全相同 ， 存在完全正相關(guān)； γ s=1， 表明兩種現(xiàn)象的等級(jí)完全相反 ， 存在完全負(fù)相關(guān) 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 相關(guān)分析 )1(61)1()(61 212212,???????????nnDnnVVnttnttYtXs ??非參數(shù)相關(guān)分析。多做定性研究。 167。 等級(jí)相關(guān)系數(shù)及其檢驗(yàn) ? 等級(jí)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn) 。 ? 當(dāng)樣本容量 n≧ 20時(shí) ， 可利用以下的 t統(tǒng)計(jì)量 ， 進(jìn)行 γ s的檢驗(yàn) ? () ? 當(dāng)總體等級(jí)相關(guān)系數(shù) ρ s =0時(shí) ， 可以證明： t統(tǒng)計(jì)量服從自由度為 n2的 t分布 。 在給定顯著性水平 ?下 ， 如果 |t|≦ t?/2(n2)， 接受 H0， 表示 Y, X之間相關(guān)不顯著；若 |t|t?/2(n2)， 拒絕 H0， 表示 Y, X之間相關(guān)顯著 。 ? 同樣也可以參照樣本相關(guān)系數(shù) γ的檢驗(yàn)方法 ， 構(gòu)造新的統(tǒng)計(jì)量 t2去進(jìn)行 F檢驗(yàn) ， 或者直接查相關(guān)系數(shù)表檢驗(yàn) 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 相關(guān)分析 212ssnt?? ??? 167。 等級(jí)相關(guān)系數(shù)及其檢驗(yàn) ? 【 例 74】 某校對(duì)學(xué)生某專業(yè)課程的復(fù)習(xí)時(shí)間和考試成績(jī)進(jìn)行調(diào)查 。 抽查 10同學(xué)的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表 。 計(jì)算復(fù)習(xí)時(shí)間與考試成績(jī)的相關(guān)系數(shù)和等級(jí)相關(guān)系數(shù) 。 根據(jù)以上結(jié)果 ， 能否得出復(fù)習(xí)時(shí)間越長(zhǎng)考試成績(jī)?cè)礁叩慕Y(jié)論 。 ? 解： ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 相關(guān)分析 序號(hào) t 復(fù)習(xí)時(shí)間 考試成績(jī) Dt2=(VX,tVX,t)2 時(shí)間 Xt 排隊(duì)等級(jí) VX,t 成績(jī) Yt 排隊(duì)等級(jí) VX,t 1 3 3 86 3 0 2 4 4 87 4 0 3 1 1 4 1 0 4 2 2 85 2 0 5 5 5 93 6 1 6 8 6 91 5 1 7 10 8 95 8 9 7 94 7 0 9 11 9 95 10 13 10 96 10 0 合計(jì) 55 55 167。 等級(jí)相關(guān)系數(shù)及其檢驗(yàn) ? 解：首先對(duì)復(fù)習(xí)時(shí)間 X與考試成績(jī) Y按從小到大的順序確定等級(jí) 。 對(duì)于 Xt或者 Yt相同的 ， 取其應(yīng)得等級(jí)的平均數(shù) 。 ? 其次 ， 計(jì)算相關(guān)系數(shù) γ。 根據(jù)公式 ， 得 γ=， t=。 在 ?=5%、 自由度 =n2=8條件下 ， 得 t?/2(n2)=。 因?yàn)?|t|=≦ t?/2(n2)=， 表示Y, X之間相關(guān)不顯著 ， 難以判斷復(fù)習(xí)時(shí)間 X與考試成績(jī) Y之間存在顯著的線性關(guān)系 。 ? 最后 ， 計(jì)算等級(jí)相關(guān)系數(shù) γ s。 根據(jù)公式 ， 得 γ s =， t s =。 在?=5%、 自由度 =n2=8條件下 ， 得 t?/2(n2)=。 因?yàn)?|t s |=t?/2(n2)=， 表示 Y, X之間相關(guān)顯著 ， 存在復(fù)習(xí)時(shí)間越長(zhǎng)考試成績(jī)?cè)礁叩默F(xiàn)象 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 相關(guān)分析 返回 167。 一元線性回歸分析 ? 167。 標(biāo)準(zhǔn)的一元線性回歸模型 ? 167。 一元線性回歸模型的估計(jì) ? 167。 一元線性回歸模型的檢驗(yàn) ? 167。 誤差項(xiàng) ｕ t的自相關(guān)檢驗(yàn) ? 167。 一元線性回歸模型的預(yù)測(cè) ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 相關(guān)與回歸的基本概念 ? 167。 相關(guān)分析 ? 167。 一元線性回歸分析 ? 167。 多元線性回歸分析 (new) ? 167。 回歸診斷