【正文】 相關(guān)系數(shù)僅反映線性相關(guān) 。例如 Y = X 2 顯然 Y與 X是關(guān)系密切的 ,但是由相關(guān)系數(shù)得出的是不相關(guān)的結(jié)論。所以 用相關(guān)系數(shù)度量相關(guān)性時(shí) ,超出了線性范圍就會(huì)出現(xiàn)誤導(dǎo) 。 11 ??? r2021年 6月 16日 /下午 9時(shí) 24分 《 統(tǒng)計(jì)學(xué)教程 》 第 9章 相關(guān)與回歸分析 相關(guān)關(guān)系 例 根據(jù)例 。 表 A證券價(jià)格 要求 計(jì)算 A證券價(jià)格與該證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)的相關(guān)系數(shù) 。 解 采用式 （ ） ， 可得 A證券價(jià)格與該證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)的相關(guān)系數(shù)為 ?r月份 證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)/% A證券價(jià)格/元1 1849 2 1854 3 1870 4 1855 5 1830 6 1820 7 1805 8 1801 9 1798 10 1830 11 1845 12 1865 2021年 6月 16日 /下午 9時(shí) 24分 《 統(tǒng)計(jì)學(xué)教程 》 第 9章 相關(guān)與回歸分析 相關(guān)關(guān)系 3． 相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) 相關(guān)系數(shù)是 總體相關(guān)系數(shù) 真值 的樣本統(tǒng)計(jì)量 。 因此 ， 相關(guān)系數(shù)只是總體相關(guān)系數(shù)的在一定樣本分布下的 估計(jì)值 ， 尤其是當(dāng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)的樣本容量較小時(shí) ， 相關(guān)系數(shù)的數(shù)值的變異增大 。 所以 ， 必須 對(duì)不同樣本容量情況下計(jì)算出來(lái)的相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)顯著性進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn) 。 相關(guān)系數(shù)的抽樣分布 ， 服從于自由度為 n2的 t分布 。 一般采用 T檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn) ， 有 （ ） ? ?2~1 22 ????? ntrnrT2021年 6月 16日 /下午 9時(shí) 24分 《 統(tǒng)計(jì)學(xué)教程 》 第 9章 相關(guān)與回歸分析 相關(guān)關(guān)系 例 根據(jù)例 n=12， 和 A證券價(jià)格與該證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)的相關(guān)系數(shù) r=。 要求 在顯著性水平為 ， 對(duì)該相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn) 。 解 采用式 （ ） 對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn) 。 （ 1） 提出假設(shè) （ 2） 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值 （ 3） 進(jìn)行統(tǒng)計(jì)判斷 由于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值大于 t分布的臨界值 ， 所以拒絕原假設(shè) ， 認(rèn)為 A證券價(jià)格與該證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)之間存在顯著的相關(guān)關(guān)系 。 00 ??：H 01 ??：H 21287 2 ?? ???T第 9章 相關(guān)與回歸分析 一元線性回歸 《 統(tǒng)計(jì)學(xué)教程 》 2021年 6月 16日 /下午 9時(shí) 24分 《 統(tǒng)計(jì)學(xué)教程 》 第 9章 相關(guān)與回歸分析 一元線性回歸 1． 理論模型 從回歸模型的一般形式，式（ ）出發(fā)，一元線性回歸模型可以表述為 （ ） 回歸模型 （ Regression Model） 是指 因變量依賴自變量和隨機(jī)誤差項(xiàng)取值的方程 。 因變量的取值由兩個(gè)部分構(gòu)成 。 一部分反映了 自變量的變動(dòng)引起的線性變化 ；另一部分為剩余變動(dòng) ， 反映了不能為自變量和因變量之間的線性關(guān)系所解釋的 其它剩余的變異 。 在理論上 ， 回歸分析總是假定一元線性回歸模型 ， 即式 （ ） 具有統(tǒng)計(jì)顯著性 ， 有效地解釋了因變量的變動(dòng) ， 剩余變動(dòng)為不可觀測(cè)的隨機(jī)誤差 。 因此 ， 稱式 （ ） 為一元線性回歸理論模型 。 ??? ??? xy 102021年 6月 16日 /下午 9時(shí) 24分 《 統(tǒng)計(jì)學(xué)教程 》 第 9章 相關(guān)與回歸分析 一元線性回歸 關(guān)于隨機(jī)誤差 ， 線性回歸理論模型具有以下三項(xiàng)假定 。 （ 1） 0均值 。 剩余變動(dòng) 為不可觀測(cè)的 隨機(jī)誤差 ， 其 數(shù)學(xué)期望為 0。 （ 2） 方差齊性 。 對(duì)于所有的自變量 x， 隨機(jī)誤差的方差相同 。 （ 3） 獨(dú)立性 。 各項(xiàng)隨機(jī)誤差之間 ， 以及 各項(xiàng)隨機(jī)誤差與對(duì)應(yīng)的自變量之間均不相關(guān) ， 即有 ? ? 0?jiE ?? nji ,2,1, ?? ji?? ? 0?iixE ?2021年 6月 16日 /下午 9時(shí) 24分 《 統(tǒng)計(jì)學(xué)教程 》 第 9章 相關(guān)與回歸分析 一元線性回歸 2． 回歸方程 根據(jù)回歸理論模型中對(duì)隨機(jī)誤差的三項(xiàng)假定 ， 有 因此 有變量的數(shù)學(xué)期望為自變量的線性函數(shù) 。 回歸方程 （ Regression Equation） 是指 因變量 y的數(shù)學(xué)期望依賴自變量 x取值的方程 。 有一元線性回歸方程為 （ ） 一元線性回歸方程在直角坐標(biāo)系中為一條直線 ， 所以也稱為直線回歸方程 。 ? ?20~ ?? ，N? ? xyE 10 ?? ??2021年 6月 16日 /下午 9時(shí) 24分 《 統(tǒng)計(jì)學(xué)教程 》 第 9章 相關(guān)與回歸分析 一元線性回歸 3． 估計(jì)的回歸方程 由回歸方程中可知 ， 當(dāng)回歸系數(shù)確定之后 ， 可以利用式 （ ） 計(jì)算出 因變量在給定自變量數(shù)值時(shí)的數(shù)學(xué)期望 。 在 回歸方程中的回歸系數(shù)和隨機(jī)誤差的方差均為未知 ， 需要利用樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)估計(jì) 。 當(dāng)根據(jù)樣本推斷出回歸方程中的回歸系數(shù)的估計(jì)量時(shí) ， 就得到了由樣本推斷出來(lái)的估計(jì)的回歸方程 。 估計(jì)的回歸方程 （ Estimated Regression Equation） 是指根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的估計(jì)量構(gòu)成的回歸方程 。 估計(jì)的一元線性回歸方程為 （ ） 當(dāng)估計(jì)的一元線性回歸方程式 （ ） 中的自變量給定某一具體數(shù)值時(shí) ， 因變量的對(duì)應(yīng)的取值 ， 也就隨之確定下來(lái)了 。 xy 10 ??? ?? ??2021年 6月 16日 /下午 9時(shí) 24分 《 統(tǒng)計(jì)學(xué)教程 》 第 9章 相關(guān)與回歸分析 一元線性回歸 一元線性回歸方程的最小二乘估計(jì) 最小二乘估計(jì) （ Least Square Estimation） 是指 估計(jì)量使因變量的觀察值與其估計(jì)值的離差平方和最小的方法 。 這里介紹的是 普通最小二乘估計(jì) （ Ordinary Least Square Estimation, OLSE） 。 根據(jù)回歸方程和最小二乘估計(jì)定義 ， 一元線性回歸方程關(guān)于 回歸系數(shù)估計(jì)量的解為非負(fù)二次函數(shù) ， 必然存在最小值 。 因而 ， 可以得出求解一元線性回歸方程回歸系數(shù)估計(jì)量的正規(guī)方程組 ，并利用離差平方和的形式 ， 可寫(xiě)為 （ ） 由式 （ ） 計(jì)算得到的就是一元線性回歸方程回歸系數(shù)的 普通最小二乘估計(jì) （ OLSE） 估計(jì)量 。 ????????xyLLxxxy101??????2021年 6月 16日 /下午 9時(shí) 24分 67891011121314151780 1800 1820 1840 1860 1880證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù) / %A 證券價(jià)格 /元《 統(tǒng)計(jì)學(xué)教程 》 第 9章 相關(guān)與回歸分析 一元線性回歸 例 根據(jù)例 中某證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)與該市場(chǎng) A證券價(jià)格數(shù)據(jù) 。 要求 以 A證券價(jià)格為因變量 ， 證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)為自變量 ， 構(gòu)造一元線性回歸模型 ， 并采用普通最小二乘估計(jì)方法進(jìn)行估計(jì) 。 解 運(yùn)用式 （ ） ， 有估計(jì)的回歸方程為 圖 ，該證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)與該市場(chǎng) A證券價(jià)格的一元回歸方程直線與實(shí)際觀察值的擬合示意圖。 xy 0 8 0 1 8 6 ???xy 0 8 0 1 8 6 ???2021年 6月 16日 /下午 9時(shí) 24分 《 統(tǒng)計(jì)學(xué)教程 》 第 9章 相關(guān)與回歸分析 一元線性回歸 一元線性回歸方程的擬合優(yōu)度 將 回歸直線與觀察值的距離 作為 評(píng)價(jià)回歸方程擬合精度的測(cè)度 ， 稱為擬合優(yōu)度 （ Goodness of Fit） 。 1． 判定系數(shù) 在回歸分析中 ， 將 因變量的觀察值之間的變異稱為的總離差 ， 反映了因變量的觀察值與其均值的離差的距離；并將 總離差分解為自變量能夠解釋的部分 ， 和自變量不能解釋的兩個(gè)部分 。 為了避免離差的正負(fù)相抵 ， 采用離差平方和的形式 ， 來(lái)度量因變量的總離差 ， 并對(duì)其進(jìn)行分解 。 將因變量的個(gè)觀察值與其均值的離差平方和稱為因變量的 總離差平方和 （ Total Deviation Sum of Squares） ， 記為 SST， 實(shí)際上這 一總離差平方和就是變量的離差平方和 Lyy。 有 （ ） ? ?yyniiT LyySS ??? ??