【正文】 一元線性回歸分析 ? 167。 多元線性回歸模型的檢驗 ? 167。 一元線性回歸分析 XXe LXXnSS200)(11 ?????圖 7－ 7 回歸預測的置信區(qū)間 Y X ? ?+ t?/2 (n2)Se ? t?/2 (n2)Se X0 0 返回 167。 Se0。 Se0 ≤ Y0 ≤ ?0 + t?/2 (n2) 一元線性回歸模型的預測 ? Y0的區(qū)間估計： ? 由 ()、 ()式可知 ， 在高斯假定條件下 ， e0服從于標準正態(tài)分布 ， 即 ? e0 ~N (0， Var(e0)) () ? 由于 Var(e0)中的 ?2是未知的 ， 通常用其無偏估計量 S2來代替 。 一元線性回歸模型的預測 ? 設 X0給定時 Y的真值為 Y0， 有 ? Y0= ?1+ ?2X0 +u0 , () ? 則有 ? () ? 式中 ， e0是預測的殘差 。 ? 在以上造成預測誤差的原因中 ， ⑶ 、 ⑷ 、 兩項不屬于回歸方程本身的問題 ， 而且也難以事先予以估計和控制 。 這一誤差 ， 可以用回歸系數的最小二乘估計量的方差 來評價 。 ?0與所要預測的 Y的真值之間 ， 必然存在一定的誤差 。 當給出 X0屬于樣本內的數值時 ，利用 ()式計算 ?0稱為內插檢驗或者事后預測 。 ? Ch7 相關與回歸分析 ? 167。 拒絕 H0 ，存在負自相關 2 4 不拒絕 H0 dL dU 4dL 4dU 167。 ? ⑶ 選擇顯著性水平 ?， 取 ?=1%或者 ?=5%。 一元線性回歸分析 不確定區(qū)域→ 不確定區(qū)域→ 圖 7－ 5 DurbinWaston 統(tǒng)計 f(d) d 拒絕 H0 ，存在正自相關 0 H0： ρ e=0, H1： ρ e≠0。 一元線性回歸分析 ??????? nttnttteeeee1221? ??)1(2)?1(2 eed ?? ???? 167。 誤差項 ｕ t的自相關檢驗 ? 定義樣本的一階自相關系數 γe為 ? () ? 它是 ρe的一個估計式 。 該方法對檢驗是否存在一階自相關 ， 尤其有效 。 ? 符號檢驗的具體方法參見第六章 。 一元線性回歸分析 正序列相關 負序列相關 0 0 圖 7－ 4 正序列相關與負序列相關 0 ｕ t,ｅ t t 0 ｕ t,ｅ t ｕ t1,ｅ t1 ｕ t,ｅ t ｕ t,ｅ t ｕ t1,ｅ t1 t 正序列相關 負序列相關 167。ts 。 為此 ， 可以針對式 ()編制 ｅ t對時點 t的散布圖；或者針對式 ()編制 ｅ t對 ｅ t1散布圖 。 一元線性回歸分析 167。 () ? 其中 1ρe1， 則具有這種自回歸關系的誤差項相關 ， 簡稱一階自相關 。 ?t ~N(0, ??2)。 誤差項 ｕ t的自相關檢驗 ? 自相關或稱序列相關： ? 如果誤差項之間存在相關關系 ， ? Cov(ｕ t,ｕ s)=E (ｕ tｕ s ) ≠0。 ? 對一元線性回歸模型 ， 利用 ()， 有 ? () ? 可以證明：檢驗 H0： ?2=0等價于 檢驗 H0： ρ=0， 如果檢驗認為 ?2≠0， 就意味著 ρ≠0， 即認為 X對 Y的解釋作用是真實的 。 一元線性回歸分析 21 ?,? ??21 ?,? ??).,(~?).,(~? 2?222?11 21 ?? ?????? NNXXnttXXntLXXV a rLXnXXXnV a r212222?221222212?)()?()1())(1()?(21??????????????????????????21 ?? , ?? SS21 ?? , ?? ??).2(~.?).2(~.?2211 ?22??11? ?????? ntStntSt???????? 167。 但一般來說 ， ?2是未知的 ， 需要用其無偏估計量 S2去代替 。 ? Ch7 相關與回歸分析 ? 167。 在一元線性回歸模型中 ， 由于只有一個解釋變量 X， 對?2=0的 t檢驗 ， 和對整個回歸方程的 F檢驗 ， 是等價的 。 ? Ch7 相關與回歸分析 ? 167。 可決系數開平方根后 γ的符號 ， 由回歸變差 LXY決定 ， 它們兩者同號 。 一元線性回歸分析 SSRSSELYYeYYLYYnttnttnttYY???????? ????????121212 )?()(YYYY LS SRLS SE ???1YYnttYYYY LeLSSELSSR ??????? 122 11?? 167。 一元線性回歸分析 167。 ? 一級檢驗 ， 又稱為統(tǒng)計學檢驗 ， 它是利用統(tǒng)計學的抽樣理論 ， 來檢驗回歸方程的可靠性 ， 具體可分為擬合程度評價和顯著性檢驗 。 ? Ch7 相關與回歸分析 ? 167。 ? 解：已知 n=20,?(Y)= , ?(Y2)=2888129, ?(X 一元線性回歸分析 2)??(22)(1221121222?????????????????nXYneneesntttnttntt ??? ??????????????????????????????????0)(。 一元線性回歸模型的估計 ? 隨機誤差項的方差估計 ? 數學上可以證明 ， ?2的無偏估計 S2可由下式給出： ? () ? 在一元線性回歸模型中 ， 殘差 ｅ t必須滿足 ?1， ?2最小二乘估計要求所導出的兩個約束條件： ? () ? 因而失去了 2個自由度 ， 所以 ， 殘差 ｅ t的自由度為 n 2。 ? 以上性質 ， 在文獻中被稱為高斯 —馬爾可夫定理 。X t Yt 一元線性回歸模型的估計 ? 【 例 75】 利用某國 19511970年的消費 Y和可支配收入 X數據，建立消費對可支配收入的回歸估計方程。 它的準則是使 ｅ t的平方和最小 ， 即 ? () ? 由極值條件 ， 有聯立方程 ? () ? 整理得正規(guī)方程組 ? () ? Ch7 相關與回歸分析 ? 167。?)(,0)(。 ? 樣本回歸函數是總體回歸函數的近似反映 。 標準的一元線性回歸模型 ? 樣本回歸函數，就是根據樣本資料 (Yt, X t)，對總體回歸函數進行擬合的估計函數。 其最一般的模型及回歸函數為 ? Y= ?1 + ?2X +u , ?X = E ( Y166。 一元線性回歸分析 圖 7－ 3 總體回歸與隨機誤差 Y X ?= ?1+ ?2X. 0 Y= ?1+ ?2X+u u t→ 167。t≠s () ? ⑷ ｕ t的概率分布與 ?1， ?2和 X無關 。 標準的一元線性回歸模型 ? 誤差項 ｕ 的標準假定 ? ⑴ 誤差項的期望值恒為零 ， 即 ? E (ｕ t166。X )是一個關于 X的回歸期望 ， 它從平均意義上表達了 Y與 X的統(tǒng)計規(guī)律性 ， 于是 ， E (Y166。u ~N (0， ?2) () ? 就稱為 一元線性回歸模型 （ 或稱為相關方程 ） 。 多元線性回歸分析 (new) ? 167。 一元線性回歸模型的預測 ? Ch7 相關與回歸分析 ? 167。 標準的一元線性回歸模型 ? 167。 因為 |t s |=t?/2(n2)=， 表示 Y, X之間相關顯著 ， 存在復習時間越長考試成績越高的現象 。 因為 |t|=≦ t?/2(n2)=， 表示Y, X之間相關不顯著 ， 難以判斷復習時間 X與考試成績 Y之間存在顯著的線性關系 。 對于 Xt或者 Yt相同的 ， 取其應得等級的平均數 。 根據以上結果 ， 能否得出復習時間越長考試成績越高的結論 。 相關分析 212ssnt?? ??? 167。 ? 當樣本容量 n≧ 20時 ， 可利用以下的 t統(tǒng)計量 ， 進行 γ s的檢驗 ? () ? 當總體等級相關系數 ρ s =0時 ， 可以證明： t統(tǒng)計量服從自由度為 n2的 t分布 。 相關分析 )1(61)1()(61 212212,???????????nnDnnVVnttnttYtXs ??非參數相關分析。 ? 與相關系數 γ類似 ， γ s的取值范圍為 0≦ |γ s|≦ 1。 相關分析 返回 167。 ? ⑶ 選擇顯著性水平 ?， 取 ?=5%。 相關系數的檢驗 ? 【 例 73】 利用某國 19511970年的消費 Y和可支配收入 X的相關系數 γ，在 ?=5%時 ， 是否可以認為 Y和 X之間存在顯著性的線性相關關系 。 ? ⑶ 選擇顯著性水平 ?， 取 ?=1%或者 ?=5%。 不論是 t檢驗還是 F檢驗 ， 其臨界值 t?/ F?/2， 對自由度 n2（ 樣本容量 =n） 和樣本相關系數 γ， 都有一個臨界要求 ， 反算出樣本相關系數臨界值 γ?/2， 那么由顯著性水平 ?、 自由度 n2及臨界樣本相關系數γ?/2 ， 就可以構成一個相關系數檢驗表 。 通常的做法是檢驗 F≦ F?/2(1,n2)， 且統(tǒng)一記F≦ F?/2。 ? ⑵ 計算樣本相關系數 γ的 F值 ? ， ? ⑶ 選擇顯著性水平 ?， 取 ?=1%或者 ?=5%。 根據 ?和自由度 n2，求 t分布的臨界值 t?/2， 若 |t|≦ t?/2， 接受 H0， 表示 Y, X之間相關不顯著；若 |t|t?/2， 拒絕 H0， 表示 Y, X之間相關顯著 。 ? Ch7 相關與回歸分析 ? 167。 各種不同的統(tǒng)計量 ， 構成不同的檢驗方法 。 ? Ch7 相關與回歸分析 ? 167。 相關系數與相關程度 ? 如果 |ρ|=1， 表明 (Y , X )之間是完全線性相關 ， 完全線性相關 ， 是一種精確的線性函數關系； ? 如果 |ρ|=0， 表明 (Y , X )之間沒有關系或者線性無關； ? 如果 0|ρ|1， (Y , X )是一種線性統(tǒng)計關系 ， 線性統(tǒng)計關系 ， 是最常見的相關關系； 0ρ1是正的 線性相關； 1ρ0是負的 線性相關 。 相關分析 ))((1)()(1)(1)(11121122112??????????