【正文】 n ????????? ????? ??? 17 nnnn bbbb 211211)211(21121 ?????????? ? ?? ∴ 1)211(limlim ??? ???? nnnn a 解法 2：由 ? ?121112 11 ?????? ?? nnnn aaaa ? ? nnnn aaa 2112111 1 ????????????? nnnnb 212 11211 1 ??????? ???????? ??? ?， ∴ {bn}是等比數(shù)列；且 1)211(limlim ??? ???? nnnn a 【例 5】 已知 ??na 是首項為 1，公差為 d 的等差數(shù)列，其前 n 項和為 nA ， ??nb 是首項為 1，公比為 q(|q|1)的等比數(shù)列，其前 n 項和為 nB ，設(shè) nn BBBBS ????? ...321 ，若 1)(lim ???? nnn SnA ，求 d 和q。 （ 1）寫出數(shù)列 {}an 的通項公式及前 n項和 Sn的公式；（ 2）設(shè)nnn Sab ? ，寫出 bn關(guān)于 x 和 n 的表達(dá)式；（ 3）判斷數(shù)列 {bn}的增減性； （ 4）求 limbnn??。 （ 4）當(dāng) 01limlim1 ??????? nbx nnn時， xxxbxxxxbxnnnnnnnnn111111limlim11limlim11?????????????????時，當(dāng)時，當(dāng) 當(dāng) 時，當(dāng) 時，當(dāng) 時0 1 00 0 11 1 1? ? ?? ?? ?? ??????? ?? ?x bbxx xn nn nlimlim, 19 數(shù)列的綜合應(yīng)用 (1) 一、選擇題 1．等差數(shù)列 ??na 的通項公式為 ? ?nn ana ,32?? 的前 n 項和 Sn 等于 ( A ) (A) 223 2 nn ?? (B) 223 2 nn ?? (C) 223 2 nn ? (D) 223 2 nn ? 2．一個等比數(shù)列的前 n 項和 nnS ???????? 211，則該數(shù)列各項和為（ B ） A．21 B． 1 C．－21 D．任意實數(shù) 3．已知數(shù)列 {an}滿足 an+1=an–an–1（ n≥ 2）， a1=a， a2=b，記 Sn=a1+a2+a3+? +an，則下列結(jié) 論正確的是（ A ） . （ A） a100=–a， S100=2b–a （ B） a100=–b， S100=2b–a （ C） a100=–b， S100=b–a （ D） a100=–a， S100=b–a 4．設(shè)首項為 3，公比為 2 的等比數(shù)列 {an }的前 n 項和為 Sn ，首項為 2，公比為 3 的等比 數(shù)列 {a39。n ，則nn nnn aaSS 39。lim ???? 的值等于 ( C ) （Ａ） 21 （Ｂ） 32 （Ｃ） 23 （Ｄ） 2 5． 在等比數(shù)列 }{na 中，首項 a1 0，則 {}an 是遞增數(shù)列的充要條件是公比 q 滿足 （ C ） A． q 1 B． q 1 C． 0 q 1 D． q 0 6． 設(shè)首項為 3，公比為 2 的等比數(shù)列 {an } 的前 n 項和為 Sn ，首項為 公比為 3 的等 比數(shù)列 {an } 的前 n 項和為 Sn ’ ，則 39。lim nn nnn aa SS ????的值等于： ( C ) （Ａ） 21 （Ｂ） 32 （Ｃ） 23 （Ｄ） 2 7． 已知數(shù)列 }{na 中， ),3,2,1(2,1 11 ????? ? naaa nn ，則這個數(shù)列前 n 項和的極限是（ A） （ A） 2 （ B） 21 （ C） 3 （ D）31 8．等差數(shù)列 ??an 的通項 12 ?? nan ，則由 )(21 Nnn aaab nn ????? …所確定的數(shù)列 ??bn 的前 n 項和是 20 （ C ） A． )1( ?nn B．2 )1( ?nn C．2 )5( ?nn D．2 )7( ?nn 9．已知等比數(shù)列 {an}中，公比 q?R，且 9321 ??? aaa , 3554 ???? aaa ，記 nn aaaS ???? ??21 則 ??nlim Sn等于（ D ） A．17536 B．17548 C． 6 D．427 解 ：由已知可得313)1( 9)1( 323121 ???????????? ??? qqqqa qqa 所以得： )1(427)1(9)1()1(9)1)(1( 13121 ????????????? qaqqaqqqqa 所以4271lim 1 ????? qaS nn 10．已知數(shù)列 ? ? ? ? ?，?，：2 1c o s312c o s310c o s31 2 ?? ?na nn此數(shù)列所有項的和等于（ C ） A． B． C． D． 二、填空題 1． 設(shè)等差數(shù)列 ??na 共有 3n 項，它的前 2n 項之和是 100，后 2n 項之和是 200，則該等差數(shù)列的中間 n 項之和等于 . 75 2．在數(shù)列 ? ? ? ?Nnaaaa nnn ???? ? ?? co s0s in 11 ，中， 該數(shù)列所有項的和為 3 ，則 θ 的值等于 ? ?zkk ?? 32 ?? 3．某工廠原來年總產(chǎn)值為 a，以后連續(xù)兩年平均以 10%遞增，若連續(xù)兩年中第二年產(chǎn)值為 b，則 a 占 b 的百分?jǐn)?shù)是 。????? ?? ?? ? )2(25 )1(5 2 nna nn 5．已知 ??an 、 ??bn 都是公差不為零的等差數(shù)列，且 2lim ??? nnn ba 則n nn nbaaa221lim????? ? 的值為 。 （ 1）求432 , aaa 的值；（ 2）求通項 。1,1,0(111,21)0(nknkfnkfnkfnkfnfnnnnn? （ 1）當(dāng) n 一定，記,1???????nkfank求 ka 的表達(dá)式 )。,1,0(111,2)0(10 nknafakkn ???????? ?????? （ 2）nnnnknafnkfa ?????? ???????????? 11111)1(,1? ， 欲證31)1(41 ?? nf， 只需證明 41113 ??????? ???nn， 只需證明 ,3112 ??????? ??nn ?????? ?? 2221 111)11( nCnCn nn nnnnC 1 ,211 ???? ? nnnnnn nCnCnCn 1111)11( 221 ?????? ? ?????? 22 )1(11 nnn nnnnn ! 12)1( ??? ?? 2112112122 12 12111!1!2111 2????????? ????????????????????nnn ?? .3213 ????????? n 【例 2】 已知函數(shù) f(x)= )1(12 ≥xx ? 24 （ 1）求 f(x)的反函數(shù) f－ 1 (x)的表達(dá)式； （ 2）數(shù)列 ??na 中， a1 =1； an =f－ 1 (an－ 1)(n?N， n≥ 2)，如果 bn = 2na (n?N)，求數(shù)列 ??nb 的通項公式及前 n 項和 Sn； （ 3）如果 g(n)=2Sn－ 17n，求函數(shù) g(x) (x?R)在區(qū)間 [t,t+2] (t?R)上的最小值 h(t)的表達(dá)式。 解：（ 1）證明： 當(dāng) 21 1 ??? aan 時， ，命題成立。 所以 1??kn 時 21??ka 也成立 因此，對任意自然數(shù) n，都有 2?na （ 2）證明： ? ????????? ?????? 11121121 nn nnn aaaaa；由（ 1） an?2 ， 112 11211 ??????? ???? ?nnaa 又 nnn aaa ???? ?102 ， （ 3）證明：由 nn aa ??1 及 3?ka 得 31321 ????? ? kk aaaaa ?? ? ?11123121111143434343431311211112112?????????????????????? ????????????????kkkkkkkkkaaa aaaaaaaaaaaa 由此得aaa kk 3433343 11 ???????????????? ?? ，又；于是 ? ? ak 3lg43lg1 ?? 又 043lg ? ，解得 143lg3lg?? ak 【例 4】 已知數(shù)列 {an}滿足 a1＝ 2，對于任意的 n∈ N，都有 an＞ 0，且 (n＋ 1)a2n ＋ anan＋ 1－ na21n? ＝ 0，又知數(shù)列 {bn}:b1＝ 2n－ 1＋ 1。 ∴ ????????? ????? ?????? .1,1)1(2 )12(1)1(2 )1(4111 n nn nn nna an n ∴ 0?na ， ∴11 ??? nnaann。 26 ∴122332211 aaaaaaaaaannnnn n ????? ????? ? nnnnnn n ???????????? 122332211 ?。 ∴ )321(221 naaaS nn ????????? ?? nnnn ????? 22 )1(2。 ⑶ 12)()12( 22 ????????? nnnnST nnnn 當(dāng) 1?n 時， 0112 2111 ????? ST ， ∴ 11 ST? ； 當(dāng) 2?n 時， 01122 2222 ??????? ST ， ∴ 22 ST? ； 當(dāng) 3?n 時， 02132 2333 ??????? ST ， ∴ 33 ST? ； 當(dāng) 4?n 時， 01142 2444 ??????? ST ， ∴ 44 ST? ； 當(dāng) 5?n 時， 06152 2555 ?????? ST ， ∴ 55 ST? ； 當(dāng) 6?n 時， 027162 2666 ?????? ST ， ∴ 66 ST? 。 即 012 2 ??? nn 。 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ?1 當(dāng) 5?n 時，前面已驗證成立； ?2 假設(shè) )5( ?? kkn 時， 12 2??kk 成立，那么當(dāng) )5(1 ??? kkn 時， 2)1(2222 2221 ???????? kkkkk 25 ??? kk 22 ???k 1)1( 2??? k 。 由以上 ?1 、 ?2 可知，當(dāng) 5?n 時，有 nn ST? ；當(dāng) 1?n 時， 11 ST? ； 當(dāng) 52 ??n 時， nn ST? 。 100 2．已知數(shù)列 ??na ， )(0 Nnan ?? ， 它的前 n 項和記為 Sn，若 ??na 是一個首項為 a 公比為 q(q0)的等比數(shù)列，且 ???????? nnnnn GSNnaaaG lim)(22221 ? . ???????????????)10(1)1(0)1(1limqa qqqaGSnnn 3．在等比數(shù)列 ??an 中，記： nn aaaS ???? ?21 ，若 1212 3423 ???? SaSa ， 則公比 q= 3 4．?dāng)?shù)列 ??an 的前 n 項和為nnnnn sNnaSS ????? lim)(321 則，且的值為 。 2 6．已知等比數(shù)列 ??an 的各項都是正數(shù)， 656080 2 ?? nn SS ， ，且前 n 項中最大的一項為 54， 則 n= 。（ 1）求數(shù)列 }{nb 的通項公式； （ 2）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線 nl 的斜率為 nb ,且與曲線 2xy? 有且僅有一個交點，與 y 29 軸交于點 Dn，記nnnn dnDDd 求),72(||31 1 ??? ?