【正文】 b???????????解得 22118114ab? ????? ???所以 2284ab? ?? ??橢圓 E 的方程為 22184xy?? （ 2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,且OA OB? ,設(shè)該圓的切線方程為 y kx m??解方程組 22184xyy kx m?????????得 222( ) 8x kx m? ? ?,即 2 2 2(1 2 ) 4 2 8 0k x k m x m? ? ? ? ?, 則△ = 2 2 2 2 2 21 6 4 ( 1 2 ) ( 2 8 ) 8 ( 8 4 ) 0k m k m k m? ? ? ? ? ? ?,即 228 4 0km? ? ? 12 2212 24122812kmxxkmxxk? ? ? ??? ???? ?? ??,2 2 2 2 2 22 2 21 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2( 2 8 ) 4 8( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2k m k m m ky y k x m k x m k x x k m x x m mk k k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?要使 OA OB? ,需 使 1 2 1 2 0x x y y??,即 2 2 2222 8 8 01 2 1 2m m kkk??????,所以 223 8 8 0mk? ? ?,所以 22 3808mk ???又 228 4 0km? ? ? , 所以 22238mm? ?? ??, 所以 2 83m? , 即 263m? 或263m?? , 因?yàn)橹本€ y kx m??為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線 ,所以圓的半徑為21mr k? ? , 222228381318mmrmk? ? ??? ?, 263r? ,所求的圓為 2283xy??,此時(shí)圓的切線 y kx m??都滿足 263m? 或 263m?? ,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為 263x??與橢圓 22184xy??的兩個(gè)交點(diǎn)為 2 6 2 6( , )33? 或 2 6 2 6( , )33??滿足 OA OB? ,綜上 , 存在圓心在原點(diǎn)的圓 2283xy??，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,且OA OB? . 因?yàn)?2 2212 24122812kmxxkmxxk? ? ? ??? ???? ?? ??, 所以 2 2 22 2 21 2 1 2 1 2 2 2 2 24 2 8 8 ( 8 4 )( ) ( ) 4 ( ) 41 2 1 2 ( 1 2 )k m m k mx x x x x x k k k? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?, ? ? 2222 2 2 21 2 1 2 1 2 228 ( 8 4 )| | ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 2 )kmA B x x y y k x x k k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 24 2 4 23 2 4 5 1 3 2 [ 1 ]3 4 4 1 3 4 4 1k k kk k k k??? ? ? ?? ? ? ?, ①當(dāng) 0k? 時(shí)2232 1| | [1 ]13 44AB k k?? ?? 因?yàn)?2214 4 8k k? ? ?所以2 2110 1844k k????, 所以2 232 32 1[1 ] 12133 44k k? ? ???, 所以 4 6 | | 2 33 AB??當(dāng)且僅當(dāng) 22k?? 時(shí)取 ”=”. ② 當(dāng) 0k? 時(shí) , 46||3AB? . ③ 當(dāng) AB 的斜率不存在時(shí) , 兩個(gè)交點(diǎn)為 2 6 2 6( , )33? 或 2 6 2 6( , )33??, 所以此時(shí) 46||3AB? , 綜上 , |AB |的取值范圍為 4 6 | | 2 33 AB??即 : 4| | [ 6 , 2 3 ]3AB ? 【命題立意】 :本題屬于探究是否存在的問題 ,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定 ,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法 ,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系 . 5.（ 2020 廣東卷 理 ） 已知曲線 2:C y x? 與直線 : 2 0l x y???交于兩點(diǎn) ( , )AAAx y 和( , )BBB x y ，且 ABxx? ．記曲線 C 在點(diǎn) A 和點(diǎn) B 之間那一段 L 與線段 AB 所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為 D ．設(shè)點(diǎn) (, )Pst 是 L 上的任一點(diǎn)，且點(diǎn) P 與點(diǎn) A 和點(diǎn) B 均不重合． （ 1） 若點(diǎn) Q 是線段 AB 的中點(diǎn)，試求線段 PQ 的中點(diǎn) M 的軌跡方程； （ 2） 若 曲線 2 2 2 51: 2 4 025G x a x y y a? ? ? ? ? ?與 D 有公共點(diǎn)，試求 a 的最小值． 解 （ 1）聯(lián)立 2xy? 與 2??xy 得 2,1 ??? BA xx ，則 AB 中點(diǎn) )25,21(Q ， 設(shè) 線段 PQ 的中點(diǎn) M 坐標(biāo)為 ),( yx ，則 225,221 tysx ???? ，即 252,212 ???? ytxs ，又點(diǎn) P 在曲線 C 上， ∴ 2)212(252 ??? xy化簡可得8112 ??? xxy，又 點(diǎn) P 是 L 上的任一點(diǎn)， 且 不 與點(diǎn) A 和點(diǎn) B 重合 ，則 22121 ???? x，即4541 ??? x， ∴ 中點(diǎn) M 的軌跡方程 為8112 ??? xxy（4541 ??? x） . （ 2）曲線 2 2 2 51: 2 4 025G x a x y y a? ? ? ? ? ?， 即圓 E ： 2549)2()( 22 ???? yax ，其圓心坐標(biāo)為 )2,(aE ，半徑 57?r 由圖可知，當(dāng) 20 ??a 時(shí)，曲線 2 2 2 51: 2 4 025G x a x y y a? ? ? ? ? ?與點(diǎn) D 有公共點(diǎn)； 當(dāng) 0?a 時(shí)，要使曲線 2 2 2 51: 2 4 025G x a x y y a? ? ? ? ? ?與點(diǎn) D 有公共點(diǎn)，只需圓心 E 到直線 : 2 0l x y???的距離572||2 |22| ????? aad，得 05 27 ??? a ，則 a 的最小值為 527? . 6. （ 2020 安 徽 卷 理 ） 點(diǎn) 00( , )Px y 在橢圓 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?上，00c o s , si n , 0 .2x a y b ?? ? ?? ? ? ?直線 2l 與直線 001 22:1xyl x yab??垂直， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 OP 的傾斜角為 ? ，直線 2l 的傾斜角為 ? . （ I）證明 : 點(diǎn) P 是橢圓 221xyab??與直線 1l 的唯一交點(diǎn)； （ II）證明 : tan , tan , tan? ? ?構(gòu)成等比數(shù)列 . 解析 ： 本小題主要考查直線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程，直線和曲線的幾何性質(zhì)，等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識。本小題滿分 13 分。 （方法三）在第一象限內(nèi)，由 221xyab??可得 2 2 2 200,bby a x y a xaa? ? ? ? 橢圓在點(diǎn) P 處的切線斜率 2000 222 00( ) ,b x b xk y x aya a x?? ? ? ? ?? 切線方程為 2 0002 0 ( ) ,bxy x x yay? ? ? ?即221x x y yab??。 根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)， P 是橢圓與直線 1l 的唯一交點(diǎn)。 7.（ 2020江西卷 理 ） 已知點(diǎn) 1 0 0( , )P x y 為雙曲線 2218xybb??（ b為正常數(shù)）上任一點(diǎn) , 2F 為雙曲線的右焦點(diǎn) ,過 1P 作右準(zhǔn)線的垂線 ,垂足為 A ,連接 2FA并延長交 y 軸于 2P . (1) 求線段 1P 2P 的中點(diǎn) P 的軌跡 E 的方程 。 （Ⅰ）當(dāng) 2pa? 時(shí)，求證： 1AM ⊥ 1AN ； （Ⅱ）記 1AMM? 、 11AMN? 、 1ANN? 的面積分別為 1S 、 2S 、 3S ，是否存在 ? ，使得對任意的 0a? ，都有 22 1 2S SS?? 成立。 解 依題意，可設(shè)直線 MN 的方程為 1 1 2 2, ( , ) , ( , )x m y a M x y N x y?? ， 則有 12( , ), ( , )M a y N a y?? 由2 2x my ay px???? ?? ，消去 x 可得 2 2 2 0y mpy ap? ? ? 從而有 121222y y mpy y ap???? ??? ① 于是 21