高考圓錐曲線典型例題必考-在線瀏覽
2025-06-04 12:54本頁(yè)面
【正文】 )與( ， ).23 223 23 223所以，符合條件的 h 的值為 或 .3 2【變式訓(xùn)練 3】據(jù)題意設(shè)|AF 1|＝x，則| AB|＝x ，| BF1|＝ 由雙曲線定義有|AF 1|－|AF 2|＝2a，|BF 1|－|BF 2|＝2a?(| AF1|＋ |BF1|)－(|AF 2|＋|BF 2|)＝( ＋1) x－x＝4a，即 x＝2 a＝| AF1|.2 29故在 Rt△AF1F2 中可求得|AF 2|＝ ＝ .|F1F2|2－ |AF1|2 4c2－ 8a2又由定義可得|AF 2|＝|AF 1|－2a＝2 a－2a，即 ＝2 －2a，兩邊平方整理得 c2＝a 2(5－2 )? ＝e 2＝5－2 ，.2 4c2－ 8a2 2 2c2a2 2 拋物線典例精析題型一 拋物線定義的運(yùn)用【例 1】根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)拋物線過(guò)點(diǎn) P(2，－4)；(2)拋物線焦點(diǎn) F 在 x 軸上，直線 y＝－3 與拋物線交于點(diǎn) A，| AF|＝5.【解析】(1)y 2＝8x 或 x2＝－y.(2) 方程為 y2＝177。18 x.【變式訓(xùn)練 1】已知 P 是拋物線 y2＝2x 上的一點(diǎn)，另一點(diǎn) A(a,0) (a＞0) 滿足| PA|＝d，試求 d 的最小值.【解析】d min＝ .2a－ 1題型二 直線與拋物線位置討論 【例 2】(2022 湖北)已知一條曲線 C 在 y 軸右側(cè)，C 上每一點(diǎn)到點(diǎn) F(1,0)的距離減去它到 y 軸距離的差都是 1.(1)求曲線 C 的方程；(2)是否存在正數(shù) m，對(duì) 于過(guò)點(diǎn) M(m,0)且與曲線 C 有兩個(gè)交點(diǎn) A，B 的任一直線，都有 FBA?＜0？若存在，求出 m 的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 .【解析】(1)y 2＝4x( x＞0).(2)3－2 ＜m＜ 3＋2 .2 2由此可知，存在正數(shù) m，對(duì)于過(guò)點(diǎn) M(m,0)且與曲線 C 有兩個(gè)交點(diǎn) A，B 的任一直線，都有 FA B＝0？若存在，求 k 的值；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】【點(diǎn)撥】直線與拋 物線的位置關(guān)系，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；有關(guān)拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意弦是否過(guò)焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須使用弦長(zhǎng)公式.【變式訓(xùn)練 3】已知 P 是拋物線 y2＝2x 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作圓( x－3) 2＋y 2＝1 的切線，切點(diǎn)分別為 M、 N，則|MN |的最小值是 .【解析】 .455總結(jié)提高，焦點(diǎn) F 不在準(zhǔn)線 l 上，這是一個(gè)重要的隱含條件，若 F 在 l 上，則拋物線退化為一條直線.：(1)頂點(diǎn)、焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上； (2)準(zhǔn)線垂直于對(duì)稱軸；(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 p；(4) 過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦( 通徑)長(zhǎng)為 2p.，若由已知條件可知曲線的類型，可采用待定系數(shù)法.，只要與橢圓、雙曲線加以對(duì)照， 1，所以拋物線的焦點(diǎn)有很多重要性質(zhì)，而且應(yīng)用廣泛，例如：已知過(guò)拋物線 y2＝2px( p＞0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B 兩點(diǎn)，設(shè) A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，則有下列性質(zhì)：|AB| ＝x 1＋x 2＋p 或| AB|＝ (α 為 AB 的傾斜角) ，2psin2αy1y2＝－p 2，x 1x2＝ 等.p24練習(xí)1.【2022 高考全國(guó)卷理 8】已知 FF 2 為雙曲線 C：x178。=2 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在 C 上，|PF 1|=|2PF2|，則 cos∠F 1PF2=(A) （B） (C) (D) 【答案】C435452.【2022 高考安徽理 9】過(guò)拋物線 的焦點(diǎn) 的直線交拋物線于 兩點(diǎn)，點(diǎn) 是原點(diǎn)，若2yx?F,ABO，則 的面積為（ ）3AF?O? 【答案】C()2()B2()C32()D2【例 3】證明：如圖，設(shè) A(x1,2x )，B(x 2,2x )，把 y＝kx＋2 代入 y＝2x 2，得 2x2－kx－2＝0， 21 211由韋達(dá)定理得 x1＋x 2＝ ，x 1x2＝－1，所以 xN＝x M＝ ＝ ，所以點(diǎn) N 的坐標(biāo)為( ， ).k2 x1＋ x22 k4 k4 k28設(shè)拋物線在點(diǎn) N 處的切線 l 的方程為 y－ ＝m(x－ )，將 y＝2x 2 代入上式，得 2x2－mx ＋ － ＝0，k28 k4 mk4 k28因?yàn)橹本€ l 與拋物線 C 相切，所以 Δ＝m 2－8( － )＝m 2－2mk＋k 2＝(m－k) 2＝ 0，所以 m＝k，即 l∥AB.mk4 k28(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù) k，使 A|x1－x 2|＝ ＝ ，解得 k＝177。2，使 NA AF＝2 B.12(1)求橢圓 C 的離心率；(2)如果|AB|＝ ，求橢圓 C 的方程.154 【解析】(1)e＝ ＝ .(2) ＋ ＝1.ca 23 x29 y25【點(diǎn)撥】本題考查直線與圓錐曲線相交及相交弦的弦長(zhǎng)問(wèn)題，以及用待定系數(shù)法求橢圓方程.【變式訓(xùn)練 2】橢圓 ax2＋ by2＝1 與直線 y＝1－x 交于 A，B 兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線段 AB 中點(diǎn)的直線的斜率為 ，則 的值為 .【 解析】 ＝ ＝ .32 ab ab y0x0 32題型三 對(duì)稱問(wèn)題 【例 3】在拋物線 y2＝4x 上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線 l：y＝kx ＋3 對(duì)稱，求 k 的取值范圍.【解析】故 k 的取值范圍為(－1,0).【點(diǎn)撥】(1)( x1，y 1)、B( x2，y 2)關(guān)于直線 l 對(duì)稱，則滿足直線 l 與 AB垂 直，且線段 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足 l 的方程；(2)對(duì)于圓錐曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于某一直線對(duì)稱，求有關(guān)參數(shù)的范圍問(wèn)題，利用對(duì)稱條件求出過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程，利用判別式大于零建立不等式求解；或者用參數(shù)表示弦中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)在曲線內(nèi)部的條件建立不等式求參數(shù)的取值范圍.【變式訓(xùn)練 3】已知拋物線 y＝－x 2＋3 上存在關(guān)于 x＋y＝0 對(duì)稱的兩點(diǎn) A，B，則| AB|等于( ) 2【解析】設(shè) AB 方程：y
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