【正文】 x－ 1x－ 1的零點個數(shù)為 2. [答案 ] C (2)[解 ] 法一： ∵ f(0)＝ 1＋ 0－ 2＝－ 10， f(2)＝ 4＋ lg 3－ 20， ∴ f(x)在 (0,2)上必定存在零點， 又 f(x)＝ 2x＋ lg(x＋ 1)－ 2在 (0，＋ ∞) 上為增函數(shù)， 故 f(x)有且只有一個零點． 法二：在同一坐標(biāo)系下作出 h(x)＝ 2－ 2x 和 g(x)＝ lg(x＋ 1)的草圖．由圖象知 g(x)＝ lg(x＋ 1)的圖象和 h(x)＝ 2－ 2x 的圖象有且只有一個交點， 即 f(x)＝ 2x＋ lg(x＋ 1)－ 2有且只有一個零點． [類題通法 ] 判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法 判斷函數(shù)零點的個數(shù)主要有以下幾種方法： 法一：直接求出函數(shù)的零點進(jìn)行判斷； 法二：結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行判斷； 法三：借助函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．若函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a， b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且在區(qū)間 (a， b)上單調(diào)，滿足 f(a) f(2)0，說明函數(shù) f(x)＝ x－ 3＋ ln x在區(qū)間 (2,3)內(nèi)有零點． 又 f(x)＝ x－ 3＋ ln x在 (0，＋ ∞) 上是增函數(shù)，所以原函數(shù)只有一個零點． [典例 ] 函數(shù) f(x)＝ x＋ 1x的零點個數(shù)為 ( ) A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 [解析 ] 函數(shù) f(x)的定義域為 {x|x≠0} ，當(dāng) x0時， f(x)0；當(dāng) x0 時， f(x)0，所以函數(shù)沒有零點，故選 A. [答案 ] A [易錯防范 ] 1．函數(shù)的定義域決定了函數(shù)的一切性質(zhì)，分析函數(shù)的有關(guān)問題時必須先求出定義域，通過作圖，可知函數(shù) f(x)＝ x＋ 1x的圖象不是連續(xù)的．若忽視該特征，易由 f(－ 1)0， f(1)0，得出錯誤的答案 B. 2．零點存在性定理成立的條件有兩個：一是函數(shù) y＝ f(x)在區(qū)間 [a， b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；二是 f(a) f(1)0，故函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是 (0,1)． 3．已知函數(shù) f(x)＝ x2－ ax－ b 的兩個零點是 2 和 3，則函數(shù) g(x)＝ bx2－ ax－ 1 的零點是 ________． 解析：由題意知，方程 x2－ ax－ b＝ 0的兩根為 3， ∴????? 2＋ 3＝ a，23 ＝－ b， 即 a＝ 5， b＝－ 6， ∴ 方程 bx2－ ax－ 1＝－ 6x2－ 5x－ 1＝ 0的根為－ 1－ 13，即為函數(shù) g(x)的零點． 答案：－ 12，－ 13 4．方程 ln x＝ 8－ 2x的實數(shù)根 x∈ (k， k＋ 1)， k∈ Z，則 k＝ ________. 解析：令 f(x)＝ ln x＋ 2x－ 8，則 f(x)在 (0，＋ ∞) 上單調(diào)遞增． ∵ f(3)＝ ln 3－ 20， f(4)＝ ln 40， ∴ 零點在 (3,4)上， ∴ k＝ 3. 答案： 3 5．求函數(shù) f(x)＝ log2x－ x＋ 2的零點的個數(shù)． 解：令 f(x)＝ 0，即 log2x－ x＋ 2＝ 0， 即 log2x＝ x－ 2. 令 y1＝ log2x， y2＝ x－ 2. 畫出兩個函數(shù)的大致圖象，如圖所示． 有兩個不同的交點． 所以函數(shù) f(x)＝ log2x－ x＋ 2有兩個零點． [課時達(dá)標(biāo)檢測 ] 一、選擇題 1．已知函數(shù) f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的 x， f(x)對應(yīng)值表 x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) － － － 由表可知函數(shù) f(x)存在零點的區(qū)間有 ( ) A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個 解析：選 D ∵ f(2)f(3)0， f(3)f(4)0， f(4)f(5)0， f(6)f(7)0， ∴ 共有 4個零點． 2．方程 － 221x＝ 0的實數(shù)解的個數(shù)是 ( ) A． 0個 B． 1個 C． 2個 D． 3個 解析：選 B 設(shè) f(x)＝ － 221x，則 f(x)為減函數(shù)，值域為 R，故有 1個． 3．函數(shù) y＝ x2＋ a存在零點，則 a的取值范圍是 ( ) A． a0 B． a≤0 C． a≥0 D． a0 解析：選 B 函數(shù) y＝ x2＋ a存在零點，則 x2＝－ a有解，所以 a≤0. 4．已知 f(x)＝ (x－ a)(x－ b)－ 2，并且 α ， β 是函數(shù) f(x)的兩個零點，則實數(shù) a， b，α ， β 的大小關(guān)系可能是 ( ) A． aα bβ B． aα β b C． α abβ D． α aβ b 解析：選 C ∵ α ， β 是函數(shù) f(x)的兩個零點， ∴ f(α )＝ f(β )＝ 0. 又 f(x)＝ (x－ a)(x－ b)－ 2， ∴ f(a)＝ f(b)＝－ 20. 結(jié)合二次函數(shù) f(x)的圖象，如圖所示， 可知， a， b必在 α ， β 之間，只有 C滿足． 5．已知 x0是函數(shù) f(x)＝ 2x＋ 11－ x的一個零點．若 x1∈ (1， x0)， x2∈ (x0，＋ ∞) ，則 ( ) A． f(x1)0， f(x2)0 B． f(x1)0， f(x2)0 C． f(x1)0， f(x2)0 D． f(x1)0， f(x2)0 解析：選 B 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù) y＝ 2x和函數(shù) y＝ 1x－ 1的圖象，如圖所示，由圖可知函數(shù) y＝ 2x和函數(shù) y＝ 1x－ 1的圖象只有一個交點，即函數(shù) f(x)＝ 2x＋ 11－ x只有一個零點 x0，且 x01. 因為 x1∈ (1， x0)， x2∈ (x0，＋ ∞) ，所以由函數(shù)圖象可知， f(x1)0， f(x2)0. 二、填空題 6．函數(shù) f(x)＝ ln x－ x2＋ 2x＋ 5的零點個數(shù)為 ________． 解析：令 ln x－ x2＋ 2x＋ 5＝ 0得 ln x＝ x2－ 2x－ 5，畫圖可得函數(shù) y＝ ln x與函數(shù) y＝x2－ 2x－ 5的圖象有 2個交點，即函數(shù) f(x)的零點個數(shù)為 2. 答案： 2 7．若 f(x)＝ x＋ b的零點在區(qū)間 (0,1)內(nèi)，則 b的取值范圍為 ________． 解析： ∵ f(x)＝ x＋ b是增函數(shù)，又 f(x)＝ x＋ b的零點 在區(qū)間 (0,1)內(nèi)， ∴????? f ，f ∴ ????? b0，1＋ b0. ∴ － 1b0. 答案： (－ 1,0) 8．若函數(shù) f(x)＝ ax－ x－ a(a0，且 a≠1) 有兩個零點，則實數(shù) a的取值范圍是 ________． 解析：函數(shù) f(x)＝ ax－ x－ a(a0，且 a≠1) 有兩個零點，就是函數(shù) y＝ ax(a0 且 a≠1)與函數(shù) y＝ x＋ a的圖象有兩個交點，由圖象可知當(dāng) 0a1時 兩函數(shù)的圖象只有一個交點，不符合；當(dāng) a1時，因為函數(shù) y＝ ax(a1)的圖象過點 (0,1)，當(dāng)直線 y＝ x＋ a與 y軸的交點 (0，a)在 (0,1)的上方時一定有兩個交點．所以 a1. 答案： (1，＋ ∞) 三、解答題 9．已知函數(shù) f(x)＝ 2x－ x2，問方程 f(x)＝ 0在區(qū)間 [－ 1,0]內(nèi)是否有解，為什么？ 解：因為 f(－ 1)＝ 2－ 1－ (－ 1)2＝－ 120， f(0)＝ 20－ 02＝ 10， 而函數(shù) f(x)＝ 2x－ x2的圖象是連續(xù)曲線，所以 f(x)在區(qū)間 [－ 1,0]內(nèi)有零點，即方程 f(x)＝ 0在區(qū)間 [－ 1,0]內(nèi)有解． 10．已知二次函數(shù) f(x)＝ x2－ 2ax＋ 4，在下列條件下，求實數(shù) a的取值范圍． (1)零點均大于 1； (2)一個零點大于 1，一個零點小于 1； (3)一個零點在 (0,1)內(nèi)，另一個零點在 (6,8)內(nèi)． 解： (1)因為方程 x2－ 2ax＋ 4＝ 0的兩根均大于 1，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與零點存在性定理得????? － 2a 2－ 16≥0 ，f ＝ 5－ 2a0，a1，解得 2≤ a＜ 52. (2)因為方程 x2－ 2ax＋ 4＝ 0的一個根大于 1，一個根小于 1，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與零點存在性定理得 f(1)＝ 5－ 2a0，解得 a52. (3)因為方程 x2－ 2ax＋ 4＝ 0 的一個根在 (0,1)內(nèi)，另一個根在 (6,8)內(nèi)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與零點存在性定理得????? f ＝ 40，f ＝ 5－ 2a0，f ＝ 40－ 12a0，f ＝ 68－ 16a0，解得 103 a174 . 3． 用二分法求方程的近似解 二分法 [提出問題 ] 在一檔娛樂節(jié)目中，主持人讓選手在規(guī)定時間內(nèi)猜某物品的價格，若猜中了，就把物品獎給選手．某次競猜的物品為價格在 1000 元之內(nèi)的一款手機(jī)，選手開始報價，選手說“800” ，主持人說 “ 高了 ” ；選手說 “400” ，主持人說 “ 低了 ” ． 問題 1：如果是你，你知道接下來該如何競猜嗎？ 提示：應(yīng)猜 400與 800的中間值 600. 問題 2：通過這種方法能猜到具體價格嗎？ 提 示：能． [導(dǎo)入新知 ] 1．二分法的概念 對于在區(qū)間 [a， b]上連續(xù)不斷且 f(a) f(b)0，給定精確度 ε . 第二步，求區(qū)間 (a， b)的 中點 c. 第三步，計算 f(c)： (1)若 f(c)＝ 0，則 c就 是函數(shù)的零點； (2)若 f(a) f(b)0，則令 a＝ c(此時零點 x0∈ (c， b))． 第四步，判斷是否達(dá)到精確度 ε ：即若 |a－ b|ε ，則得到零點近似值 a(或 b)，否則重復(fù)第二至四步． [化解疑難 ] 利用二分法求方程近似解的過程圖示 二分法的概念 [例 1] (1)下列函數(shù)中，必須用二分法求其零點的是 ( ) A． y＝ x＋ 7 B． y＝ 5x－ 1 C． y＝ log3x D． y＝ ??? ???12 x－ x (2)以下每個圖象表示的函數(shù)都有零點，但不能用二分法求函數(shù)零點的是 ( ) [解析 ] (1) A 解方程 x＋ 7＝ 0，得 x＝－ 7 B 解方程 5x－ 1＝ 0，得 x＝ 0 C 解方程 log3x＝ 1，得 x＝ 1 D √ 無法通過 方程 ??? ???12 x－ x＝ 0得到零點 (2)根據(jù)二分法的思想，函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a， b]上的圖象連續(xù)不斷，且 f(a) f(1)0， 所以函數(shù) f(x)在 (0,1)內(nèi)存在零點， 即方程 2x3＋ 3x＝ 3在 (0,1)內(nèi)有解． 取 (0,1)的中點 ，經(jīng)計算 f()0， 又 f(1)0， 所以方程 2x3＋ 3x－ 3＝ 0在 (,1)內(nèi)有解． 如此繼續(xù)下去，得到方程的正實數(shù)根所在的區(qū)間，如表： (a， b) 中點 c f(a) f(b) f??? ???a＋ b2 (0,1) f(0)0 f(1)0 f()0 (,1) f()0 f(1)0 f()0 (,) f()0 f()0 f()0 (,) f()0 f()0 f( 5)0 ( 5,) | 5－ |＝ 5 由于 |－ |＝ ，所以 ． [類題通法 ] 用二分法求方程的近似解應(yīng)明確兩點 (1)根據(jù)函數(shù)的 零點與相應(yīng)方程的解的關(guān)系，求函數(shù)的零點與求相應(yīng)方程的解是等價的．求方程 f(x)＝ 0的近似解，即按照用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟求解． (2)對于求形如 f(x)＝ g(x)的方程的近似解，可以通過移項轉(zhuǎn)化成求形如 F(x)＝ f(x)－ g(x)＝ 0的方程的近似解，然后按照用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟求解． [活學(xué)活用 ] 求方程 lg x＝ 3－ x的近似解 (精確度 )． 解：分別畫函數(shù) y＝ lg x和 y＝ 3－ x的圖象，如圖所示，在兩個函數(shù)圖象的交點處，函數(shù)值相等．因此，這個點的橫坐標(biāo)就是方程 lg x＝ 3－ x的解． 由函數(shù) y＝ lg x與 y＝ 3－ x的圖象可以發(fā)現(xiàn)，方程 lg x＝ 3－ x有唯一解，記為 x1，并且這個解在區(qū)間 (2,3)內(nèi)． 設(shè) f(x)＝ lg x＋ x－ 3，利用計算器計算得： f(2)0， f(3)0?x1∈ (2,3)； f()0， f(3)0?x1∈ (,3)； f()0， f()0?x1∈ (,)； f()0， f()0?x1∈ (,)； f( 5)0， f()0?x1∈ ( 5,)； 因為 － 5＝ 5，所以此方程的近似解可取為 . [典例 ] 用二分法求方程 f(x)＝ 0 在 [0,1]內(nèi)的近似解時，經(jīng)計算， f()0，f()0， f( 5)0，即可得出方程的一個近似解為 ________(精確度 )． [解析 ] 因為 |－ 5|＝ 5，所以區(qū)間 [ 5,]內(nèi)的任何一個值都可作為方程的近似解． [答案 ] (答案不唯一 ) [易錯防范