【正文】 依據(jù)是：其圖象在零點(diǎn) 附近是連續(xù)不斷的，且該零點(diǎn)為變號零點(diǎn)．因此，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點(diǎn)適用，對函數(shù)的不變號零點(diǎn)不適用． [活學(xué)活用 ] 已知函數(shù) f(x)的圖象如圖，其中零點(diǎn)的個數(shù)與可以用二分法求解的個數(shù)分別為( ) A． 4,4 B． 3,4 C． 5,4 D． 4,3 解析：選 D 圖象與 x 軸有 4個交點(diǎn)，所以零點(diǎn)的個數(shù)為 4；左右函數(shù)值異號的零點(diǎn)有3個，所以用二分法求解的個數(shù)為 3，故選 D. 用二分法求函數(shù)的零點(diǎn) [例 2] 求函數(shù) f(x)＝ x2－ 5的負(fù)零點(diǎn)． (精確度 ) [解 ] 由于 f(－ 2)＝－ 10， f(－ 3)＝ 40， 故取區(qū)間 (－ 3，－ 2)作為計算的初始區(qū)間， 用二分法逐次計算，列表如下： 區(qū)間 中點(diǎn)的值 中點(diǎn)函數(shù)近似值 (－ 3，－ 2) － (－ ，－ 2) － 5 (－ ，－ 2) － － 4 (－ ，－ ) － － 8 (－ ，－ 5) － 75 － 1 由于 |－ － (－ 5)|＝ 5， 所以函數(shù)的一個近似負(fù)零點(diǎn)可?。?. [類題通法 ] 利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)應(yīng)關(guān)注三點(diǎn) (1)要選好計算的初始區(qū)間，這個區(qū)間既要包含函數(shù)的零點(diǎn)，又要使其長度盡量?。? (2)用列表法往往能比較清晰地表達(dá)函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間． (3)根據(jù)給定的精確度，及時檢驗所得區(qū)間長度是否達(dá)到要求，以決定是停止計算還是繼續(xù)計算． [活學(xué)活用 ] 證明函數(shù) f(x)＝ 2x＋ 3x－ 6在區(qū)間 [1,2]內(nèi)有唯一零點(diǎn)，并求出這個零 點(diǎn) (精確度 )． 解：由于 f(1)＝－ 10， f(2)＝ 40，又函數(shù) f(x)在 [1,2]內(nèi)是增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間[1,2]內(nèi)有唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為 x0，則 x0∈ [1,2]．下面用二分法求解 . (a， b) (a， b) 的中點(diǎn) f(a) f(b) f(a＋ b2 ) (1,2) f(1)0 f(2)0 f()0 (1,) f(1)0 f()0 f()0 (1,) f(1)0 f()0 f()0 (,) 5 f()0 f()0 f( 5)0 因為 | 5－ |＝ 5，所以函數(shù) f(x)＝ 2x＋ 3x－ 6的精確度為 似零點(diǎn)可取為 . 用二分法求方程的近似解 [例 3] 用二分法求方程 2x3＋ 3x－ 3＝ 0的一個正實數(shù)近似解 (精確度 )． [解 ] 令 f(x)＝ 2x3＋ 3x－ 3， 經(jīng)計算， f(0)＝－ 30， f(1)＝ 20， f(0) f(c)0，則令 b＝ c(此時零點(diǎn) x0∈ (a， c))； (3)若 f(c) f(b)0的函數(shù) y＝ f(x)，通過不斷地把函數(shù) f(x) 的 零點(diǎn) 所在的區(qū)間 一分為二 ，使區(qū)間的兩個 端點(diǎn) 逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法 (bisection)． 2．用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟 給定精確度 ε ，用二分法求函數(shù) f(x)零點(diǎn)近似值的步驟如下： 第一步，確定區(qū)間 [a， b]，驗證 f(a) f(b)，如果其中一個條件不成立，那么就不能使用該定理． [活學(xué)活用 ] 函數(shù) f(x)＝????? x2＋ 2x－ 3， x≤0－ 2＋ ln x， x0 的零點(diǎn)個數(shù)為 ( ) A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 解析：選 C 當(dāng) x≤0 時，令 x2＋ 2x－ 3＝ 0，解得 x＝－ 3； 當(dāng) x0時，令－ 2＋ ln x＝ 0，解得 x＝ e2， 所以函數(shù) f(x)＝????? x2＋ 2x－ 3， x≤0－ 2＋ ln x， x0 有 2個零點(diǎn)． [隨堂即時演練 ] 1．下列圖象表示的函數(shù)中沒有零點(diǎn)的是 ( ) 解析：選 A 觀察圖象可知 A中圖象表示的函數(shù)沒有零點(diǎn)． 2．函數(shù) f(x)＝ ex＋ x－ 2的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是 ( ) A． (－ 2，－ 1) B． (－ 1,0) C． (0,1) D． (1,2) 解析：選 C 因為函數(shù) f(x)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，又 f(－ 2)＝ e－ 2－ 40， f(－1)＝ e－ 1－ 30， f(0)＝－ 10， f(1)＝ e－ 10， f(2)＝ e20，所以 f(0) f(b)0，則函數(shù) f(x)在區(qū)間 (a， b)上有且僅有一個零點(diǎn)，如圖所示． [活學(xué)活用 ] 判斷函數(shù) f(x)＝ x－ 3＋ ln x的零點(diǎn)個數(shù)． 解：法一：令 f(x)＝ x－ 3＋ ln x＝ 0， 則 ln x＝ 3－ x， 在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù) y＝ ln x與 y＝－ x＋ 3的圖象， 如圖所示： 由圖可知函數(shù) y＝ ln x， y＝－ x＋ 3 的圖象只有一個交點(diǎn)，即函數(shù) f(x)＝ x－ 3＋ ln x 只有一個零點(diǎn)． 法二：因為 f(3)＝ ln 30， f(2)＝－ 1＋ ln 2＝ ln2e0， 所以 f(3) f(10)0. ∴ f(x)＝ lg x－ 9x的零點(diǎn)的大致區(qū)間為 (9,10)． [答案 ] (1)A (2)D [類題通法 ] 確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法 確定函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根所在的區(qū)間時，通常利用零點(diǎn)存在性定理，轉(zhuǎn)化為判斷區(qū)間兩端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值的符號是否相反． [活學(xué)活用 ] 若 x0是方程 ??? ???12 x＝ x13的解，則 x0屬于區(qū)間 ( ) A.??? ???23， 1 B.??? ???12， 23 C.??? ???13， 12 D.??? ???0， 13 解析：選 C 構(gòu)造函數(shù) f(x)＝ ??? ???12 x－ x13，則函數(shù) f(x)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，又f(0)＝ ??? ???12 0－ 00， f??? ???13 ＝ ??? ???12 13－ ??? ???13 130， f??? ???12 ＝ ??? ???12 12－ ??? ???12 130， f??? ???23 ＝ ??? ???12 23－ ??? ???23 130，所以f??? ???13 f(b)0.則可判定函數(shù) y＝ f(x)在區(qū)間 (a， b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，但是不能明確說明有幾個． (3)當(dāng)函數(shù) y＝ f(x)的圖象在 [a， b]上是連續(xù)的曲線，但是不滿足 f(a) f(4)0. [導(dǎo)入新知 ] 函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理 如果函數(shù) y＝ f(x)在區(qū)間 [a， b]上的圖象是 連續(xù)不斷 的一條曲線，并且有 f(a) f(4)的符號． 提示： ∵ f(0)＝ 3， f(2)＝－ 1， f(4)＝ 3， ∴ f(0) 【三維設(shè)計】 2021 高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用學(xué)案 新人教 A 版必修 1 3． 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 函數(shù)的零點(diǎn) [提出問題 ] 如圖為函數(shù) f(x)在 [－ 4,4]上的圖象： 問題 1：根據(jù)函數(shù)的圖象，你能否得出方程 f(x)＝ 0的根的個數(shù)？ 提示：方程 f(x)＝ 0 的根即為函數(shù) f(x)的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖可知，方 程有 3個根，即 x＝－ 3，－ 1,2. 問題 2：你認(rèn)為方程的根與對應(yīng)函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？ 提示：方程的根是使函數(shù)值等于零的自變量值，也就是函數(shù)圖象與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． [導(dǎo)入新知 ] 1．函數(shù)的零點(diǎn) 對于函數(shù) y＝ f(x)，把使 f(x)＝ 0的實數(shù) x叫做函數(shù) y＝ f(x)的零點(diǎn)． 2．方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系 方程 f(x)＝ 0有實根 ?函數(shù) y＝ f(x)的圖象與 x軸有交點(diǎn) ?函數(shù) y＝ f(x)有零點(diǎn)． [化解疑難 ] 函數(shù)零點(diǎn)的本質(zhì) (1)函數(shù)的零點(diǎn)的本質(zhì)是方程 f(x)＝ 0的實數(shù)根，因此，函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，而是一個實數(shù)．例如 函數(shù) f(x)＝ x＋ 1，當(dāng) f(x)＝ x＋ 1＝ 0時，僅有一個實數(shù)根 x＝－ 1，所以函數(shù) f(x)＝ x＋ 1有一個零點(diǎn)－ 1，由此可見函數(shù) f(x)＝ x＋ 1的零點(diǎn)是一個實數(shù)－ 1，而不是一個點(diǎn)． (2)函數(shù)是否有零點(diǎn)是針對方程是否有實數(shù)根而言的，若方程沒有實數(shù)根，則函數(shù)沒有零點(diǎn)． 函數(shù)零點(diǎn)的判斷 [提出問題 ] 函數(shù) f(x)＝ x2－ 4x＋ 3圖象如圖． 問題 1：函數(shù)的零點(diǎn)是什么？ 提示： 1,3. 問題 2：判斷 f(0) f(2)與 f(2) f(2)0， f(2) f(b)0.那么，函數(shù) y＝ f(x)在區(qū)間 (a， b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在 c∈ (a， b)，使得 f(c)＝ 0，這個 c 也就是方程 f(x)＝ 0的根． [化解疑難 ] 對函數(shù)零點(diǎn)存在性的探究 (1)并不是所有的函數(shù)都有零點(diǎn)，如函數(shù) y＝ 1x. (2)當(dāng)函數(shù) y＝ f(x)同時滿足： ① 函數(shù)的圖象在 [a， b]上是連續(xù)曲線； ② f(a) f(b)0時，函數(shù) y＝ f(x)在區(qū)間 (a， b)內(nèi)可能存在零點(diǎn)，也可能不存在零點(diǎn)． 求函數(shù)的零點(diǎn) [例 1] (1)判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn) ，如果存在，請求出． (1)f(x)＝ x＋ 3x ； (2)f(x)＝ x2＋ 2x＋ 4； (3)f(x)＝ 2x－ 3； (4)f(x)＝ 1－ log3x. [解 ] (1)令 x＋ 3x ＝ 0，解得 x＝－ 3，所以函數(shù) f(x)＝ x＋ 3x 的零點(diǎn)是 x＝－ 3. (2)令 x2＋ 2x＋ 4＝ 0，由于 Δ ＝ 22－ 414 ＝－ 120， 所以方程 x2＋ 2x＋ 4＝ 0無實數(shù)根， 所以函數(shù) f(x)＝ x2＋ 2x＋ 4不存在零點(diǎn)． (3)令 2x－ 3＝ 0，解得 x＝ log23. 所以函數(shù) f(x)＝ 2x－ 3的零點(diǎn)是 x＝ log23. (4)令 1－ log3x＝ 0，解得 x＝ 3， 所以函數(shù) f(x)＝ 1－ log3x的零點(diǎn)是 x＝ 3. [類題通法 ] 函數(shù)零點(diǎn)的求法 求函數(shù) f(x)的零點(diǎn)時，通常轉(zhuǎn)化為解方程 f(x)＝ 0，若方程 f(x)＝ 0有實數(shù)根，則函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)，該方程的根就是函數(shù) f(x)的零點(diǎn)；否則，函數(shù) f(x)不存在零點(diǎn)． [活學(xué)活用 ] 判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請求出． (1)f(x)＝－ x2－ 4x－ 4； (2)f(x)＝ x－ x2－ 4x＋x－ 3 ； (3)f(x)＝ 4x＋ 5； (4)f(x)＝ log3(x＋ 1)． 解： (1)令－ x2－ 4x－ 4＝ 0，解得 x＝－ 2，所以函數(shù)的零點(diǎn)為 x＝－ 2. (2)令 x－ x2－ 4x＋x－ 3 ＝ 0，解得 x＝ 1，所以函數(shù)的零點(diǎn)為 x＝ 1. (3)令 4x＋ 5＝ 0，則 4x＝－ 50，即方程 4x＋ 5＝ 0無實數(shù)根，所以函數(shù)不存在零點(diǎn)． (4)令 log3(x＋ 1)＝ 0，解得 x＝ 0，所以函數(shù)的零點(diǎn)為 x＝ 0. 函數(shù)與方程 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間 [例 2] (1)二次函數(shù) f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(x∈ R)的部分對應(yīng)值如下表： x － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 4 y 6 m － 4 － 6 － 6 － 4 n 6 不求 a， b， c的值，判斷方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0的兩根所在的區(qū)間是 ( ) A． (－ 3，－ 1)和 (2,4) B． (－ 3，－ 1)和 (－ 1,1) C． (－ 1,1)和 (1,2) D． (－ ∞ ，－ 3)和 (4，＋ ∞) (2)函數(shù) f(x)＝ lg x－ 9x的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是 ( ) A． (6,7) B． (7,8) C． (8,9) D． (9,10) [解析 ] (1)利用 f(a)f(b)0，則 f(x)＝ 0 在 (a， b)內(nèi)有根來判定． ∵ f(－ 3)＝ 60，f(－ 1)＝－ 40， ∴ 在 (－ 3，－ 1)內(nèi)必有根，又由 f(2)＝－ 40， f(4)＝ 60， ∴ 在 (2,4)內(nèi)必有根．故選 A. (2)∵ f(6)＝ lg 6－ 96＝ lg 6－ 320， f(7)＝ lg 7－ 970， f(8)＝ lg 8－ 980， f(9)＝ lg 9－ 10， f(10)＝ lg 10－ 9100， ∴ f(9) f??? ???12 0，故函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為 ??? ???13， 12 ，即方程 ??? ???12 x＝ x13的解 x0屬于區(qū)間 ??? ???13， 12 . 判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù) [例 3] (1)函數(shù) f(x)＝ ln x－ 1x－ 1的零點(diǎn)的個數(shù)是 ( ) A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 (2)判斷函數(shù) f(x)＝ 2x＋ lg(x＋ 1)－ 2的零 點(diǎn)個數(shù)． (1)在同一坐標(biāo)系中畫出 y＝ ln x 與 y＝ 1x－ 1的圖象，如圖所示，函 數(shù) y＝ ln x與 y＝ 1x－ 1的圖象有兩個交點(diǎn)，所以函數(shù) f(x)＝ ln