【正文】 ] 1．由于 f()0， f()0，故在區(qū)間 (,)內(nèi)也存在零點，但 |－|，所以不符合精確度 ，解決本題時極易忽視此條件而導(dǎo)致解題錯誤． 2．利用二分法求方程的根，在計算到第幾步時，區(qū)間 (an， bn)的長度應(yīng)小于精確度． [活學(xué)活用 ] 用二分法求函數(shù) f(x)＝ 3x－ x－ 4的一個零點，其參考數(shù) 據(jù)如下： f( 0)＝ f( 5)＝ f( 0)＝ f( 5)＝ f( 2)＝－ f( 0)＝－ 根據(jù)此數(shù)據(jù)，可得方程 3x－ x－ 4＝ 0的一個近似解 (精確度 )為 ________． 解析：由表中數(shù)據(jù)可知： f( 5) f(1)0，故可以取區(qū)間 [－ 2,1] 作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐次計算． A. 3．已知二次函數(shù) f(x)＝ x2－ x－ 6在區(qū)間 [1,4]上的圖象是一條連續(xù)的曲線，且 f(1)＝－ 60， f(4)＝ 60，由零點存在性定理可知函數(shù)在 [1,4]內(nèi)有零點，用二分法求解時，取 (1,4)的中點 a，則 f(a)＝ ________. 解析：顯然 (1,4)的中點為 ，則 f(a)＝ f()＝ － － 6＝－ . 答案：－ 4．用二分法求方程 x3－ 2x－ 5＝ 0在區(qū)間 [2,3]內(nèi)的實數(shù)根時，取區(qū)間中點 x0＝ ，那么下一個有根區(qū)間是 ________． 解析： ∵ f(2)0， f()0， ∴ 下一個有根區(qū)間是 (2,)． 答案： (2,) 5．求方程 x2＝ 2x＋ 1的一個近似解 (精確度 )． 解：設(shè) f(x)＝ x2－ 2x－ 1. ∵ f(2)＝－ 10， f(3)＝ 20. ∴ 在區(qū)間 (2,3)內(nèi)，方程 x2－ 2x－ 1＝ 0有一 解，記為 x0. 取 2與 3的平均數(shù) ， ∵ f()＝ 0， ∴ 2x0； 再取 2與 ， ∵ f()＝－ 50， ∴ x0； 如此繼續(xù)下去，有 f()0， f()0?x0∈ (,)； f()0， f( 5)0?x0∈ (, 5)． ∵ |－ 5|＝ 5， ∴ 方程 x2＝ 2x＋ 1的一個精確度為 . [課時 達標檢測 ] 一、選擇題 1．下列關(guān)于函數(shù) f(x)， x∈ [a， b]的命題中，正確的是 ( ) A．若 x0∈ [a， b]且滿足 f(x0)＝ 0，則 x0是 f(x)的一個零點 B．若 x0是 f(x)在 [a， b]上的零點，則可以用二分法求 x0的近似值 C．函數(shù) f(x)的零點是方程 f(x)＝ 0的根，但 f(x)＝ 0的根不一定是函數(shù) f(x)的零點 D．用二分法求方程的根時，得到的都是近似解 解析：選 A 使用 “ 二分法 ” 必須滿足 “ 二分法 ” 的使用條件 B 不正確； f(x)＝ 0的根也一定是函數(shù) f(x)的零點， C 不正確；用二分法求方程的根時， 得到的也可能是精確解， D不正確，只有 A正確． 2．用二分法求圖象是連續(xù)不斷的函數(shù) f(x)在 x∈ (1,2)內(nèi)零點近似值的過程中得到f(1)0， f()0， f()0，則函數(shù)的零點落在區(qū)間 ( ) A． (1,) B． (,) C． (,2) D．不能確定 解析：選 B 因為 f()0， f()0，所以 f() f()0，故 f(x)的一個零點 x0∈ (0,)，利用二分法，則第二次應(yīng)計算 f??? ???0＋ ＝ f()． 4．若函數(shù) f(x)＝ x3＋ x2－ 2x－ 2的一個零點 (正數(shù) )附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下表： f(1)＝－ 2 f()＝ f()≈ － f()≈ － f( 5)≈ f( 25)≈ － 那么方程 x3＋ x2－ 2x－ 2＝ 0的一個近似解 (精確度 )為 ( ) A． B． C． D． 5 解析：選 D 由參考數(shù)據(jù)知， f( 25)≈ － ， f( 5)≈ ，即 f( 25) f(12)0. 二、填空題 6．某方程有一無理根在區(qū)間 D＝ (1,3)內(nèi)，若用二分法求此根的近似值，將 D 等分________次后，所得近似值可精確到 . 解析：由 3－ 12n ，得 2n－ 110， ∴ n－ 1≥4 ，即 n≥5. 答案： 5 7．在 26枚嶄新的金幣中，有一枚外表與真金幣完全相同的假幣 (質(zhì)量小一點 )，現(xiàn)在只有一臺天平，則應(yīng)用二分法的思想，最多稱 ________次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣． 解析：將 26 枚金幣平均分成兩份，分別放在天平兩端，則假幣一定在質(zhì)量小的那 13枚金幣里面；從這 13枚金幣中拿出 1枚，然后將剩下的 12枚金幣平均分成兩份，分別放在天平兩端，若天平平衡，則假幣一定是拿出的那一枚，若不平衡，則假幣一定在質(zhì)量小的那6枚金幣里面；將這 6枚金幣平均分成兩 份，分別放在天平兩端，則假幣一定在質(zhì)量小的那3枚金幣里面；從這 3枚金幣中任拿出 2枚，分別放在天平兩端，若天平平衡，則剩下的那一枚即是假幣，若不平衡，則質(zhì)量小的那一枚即是假幣． 綜上可知，最多稱 4次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣． 答案： 4 8．某同學(xué)在借助計算器求 “ 方程 lg x＝ 2－ x的近似解 (精確到 )” 時，設(shè) f(x)＝ lg x＋ x－ 2，算得 f(1)0， f(2)0；在以下過程中，他用 “ 二分法 ” 又取了 4個 x的值，計算了其函數(shù)值的正負，并得出判斷：方程的近似解是 x≈. 那么他再取的 x的 4個值依次是________________． 解析：第一次用二分法計算得區(qū)間 (,2)，第二次得區(qū)間 (,2)，第三次得區(qū)間(,)，第四次得區(qū)間 (, 5)． 答案： , 5 三、解答題 9．從上海到美國舊金山的海底電纜有 15個接點，現(xiàn)某接點發(fā)生故障，需及時修理，為了盡快找出故障的發(fā)生點，一般最多需要檢查多少個接點？ 解：先檢查中間的 1個接點，若正常，則可斷定故障在其另一側(cè)的 7個接點中；然后檢查這一段中間的 1個接點，若仍正常，則可斷定故障在其另一側(cè)的 3個接點中；最后只需檢查這 3個接點中間的 1個，即可找出故障所在．故一般最多只需檢查 3個接點． 10．判斷函數(shù) f(x)＝ 2x3－ 1的零點個數(shù)，并用二分法求零點的近似值 (精確度 )． 解： f(0)＝－ 10， f(1)＝ 10，即 f(0) f(1)0，即 x0∈ (,1)． 取區(qū)間 (,1)的 中點 x2＝ ， f()＝－ 250， ∴ f() f() x0∈ (,)． 取區(qū)間 (,)的中點 x4＝ 5， f( 5)＝ 0. ∴ f() bx＋ c(a≠0 ，b0， b≠1) ，哪個模型能更好地反映該公司年銷量 y與年份 x的關(guān)系？ [解 ] 建立年銷量 y與年份 x的函數(shù)，可知函數(shù)必過點 (1,8)， (2,18)， (3,30)． (1)構(gòu)造二次函數(shù)模型 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0) ， 將點坐標代入， 可得????? a＋ b＋ c＝ 8，4a＋ 2b＋ c＝ 18，9a＋ 3b＋ c＝ 30，解得 a＝ 1， b＝ 7， c＝ 0， 則 f(x)＝ x2＋ 7x， 故 f(4)＝ 44，與計劃誤差為 1. (2)構(gòu)造指數(shù)函數(shù)模型 g(x)＝ a ??? ???65 x－ 42，故 g(4)＝ 1253 2 x [解析 ] 指數(shù)爆炸 式形如指數(shù)函數(shù)．又 e2， ∴ 1100ex比 1002 x比 1100ex增大速度快的錯誤結(jié)論． 2．函數(shù) y＝ a bx＋ c(a， b， c為常數(shù) )．已知 4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為 ，試問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好．并說明理由． 解：設(shè)兩個函數(shù)： y1＝ f(x)＝ px2＋ qx＋ r(p≠0) ， y2＝ g(x)＝ a m－ xm ， 0xm. (2)由 (1)知， y＝ kx v(x)可以達到最大，并求出最大值． (精確到 1輛 /小時 ) [解 ] (1)由題意，當(dāng) 0≤ x≤20 時， v(x)＝ 60； 當(dāng) 20≤ x≤200 時，設(shè) v(x)＝ ax＋ b， 再由已知得????? 200a＋ b＝ 0，20a＋ b＝ 60， 解得 ????? a＝－ 13，b＝ 2021 . 故函數(shù) v(x)的表達式為 v(x)＝????? 60， 0≤ x≤20 ，13 － x ， 20＜ x≤200. (2)依題意并結(jié)合 (1)可得 f(x)＝????? 60x， 0≤ x≤20 ，13x － x ， 20＜ x≤200. 當(dāng) 0≤ x≤20 時， f(x)為增函數(shù)，故當(dāng) x＝ 20時，其最大值為 6020 ＝ 1 200； 當(dāng) 20＜ x≤200 時 ， f(x)＝ 13x(200－ x)＝－ 13(x－ 100)2＋ 10 0003 ≤ 10 0003 ，當(dāng)且僅當(dāng) x＝ 100時，等號成立． 所以，當(dāng) x＝ 100時， f(x)在區(qū)間 (20,200]上取得最大值 10 0003 . 綜上，當(dāng) x＝ 100時， f(x)在區(qū)間 [0,200]上取得最大值 10 0003 ≈3 333. 即當(dāng)車流密度為 100輛 /千米時，車流量可以達到最大，最大值約為 3 333輛 /小時． [類題通法 ] 構(gòu)建分段函數(shù)模型的關(guān)鍵點 建立分段函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定分段的各邊界點，即明確自變量的取值區(qū)間，對每一區(qū)間進行分類討論，從而寫出函數(shù)的解析式． [活學(xué)活用 ] 某醫(yī)療研究所開發(fā)一種新藥，如果成人按規(guī)定的計量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量 y與時間 t之間近似滿足如圖所示的曲線． (1)寫出服藥后 y與 t之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)據(jù)測定：每毫升血液中含藥量不少于 4 μg 時治療疾病有效，假若某病人一天中第一次服藥為上午 7∶ 00，問一天中怎樣安排服藥時 間 (共 4次 )效果最佳？ 解： (1)依題意得 y＝????? 6t， 0≤ t≤1 ，－ 23t＋ 203， 1＜ t≤10. (2)設(shè)第二次服藥時在第一次服藥后 t1小時，則－ 23t1＋ 203 ＝ 4，解得 t1＝ 4，因而第二次服藥應(yīng)在 11∶ 00. 設(shè)第三次服藥在第一次服藥后 t2 小時，則此時血液中含藥量應(yīng)為前兩次服藥后的含藥 量的和，即有－ 23t2＋ 203 － 23(t2－ 4)＋ 203 ＝ 4，解得 t2＝ 9小時，故第三次服藥應(yīng)在 16∶ 00. 設(shè)第四次服藥在第一次服藥后 t3小時 (t310)，則此時第一次服進的藥已吸收完，血液中含藥量應(yīng)為第二、第三次的和－ 23(t3－ 4)＋ 203 － 23(t3－ 9)＋ 203 ＝ 4，解得 t3＝ 小時，故第四次服藥應(yīng)在 20∶ 30. 指數(shù)、對數(shù)型函數(shù)模型 [例 3] 目前某縣有 100萬人 ，經(jīng)過 x年后為 y萬人．如果年平均增長率是 %，請回答下列問題： (1)寫出 y關(guān)于 x的函數(shù)解析式； (2)計算 10年后該縣的人口總數(shù) (精確到 )； (3)計算大約多少年后該縣的人口總數(shù)將達到 120萬 (精確到 1年 )． [解 ] (1)當(dāng) x＝ 1時， y＝ 100＋ 100% ＝ 100(1＋ %)； 當(dāng) x＝ 2時， y＝ 100(1＋ %)＋ 100(1＋ %)% ＝ 100(1＋ %)2； 當(dāng) x＝ 3時， y＝ 100(1＋ %)2＋ 100(1＋ %)2% ＝ 100(1＋ %)3； ?? 故 y關(guān)于 x的函數(shù)解析式為 y＝ 100(1＋ %)x(x∈ N*)． (2)當(dāng) x＝ 10時， y＝ 100(1 ＋ %)10＝ 100 10≈. 故 10年后該縣約有 ． (3)設(shè) x年后該縣的人口總數(shù)為 120萬，即 100(1 ＋ %)x＝ 120，解得 x＝ ≈16. 故大約 16年后該縣的人口總數(shù)將達到 120萬． [類題通法 ] 指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用 在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型表示．通常可以表示為 y＝ N(1＋ p)x(其中 N為基礎(chǔ)數(shù)， p為增長率， x為時間 )的形式． [活學(xué)活用 ] 20世紀 70年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級 M，其計算公式為： M＝ lg A－ lg A是被測地震的最大振幅， A0是 “ 標準地震 ”的振幅． (1)假設(shè)在一次地震中，一個距離震中 1 000千米的測震儀記錄的地震最大振幅是 20，此時標準地震的振幅是 ，計算這次地震的震級； (2)5 級地震給人的震感已比較明顯，我國發(fā)生在汶川的 8級地震的最大振幅是 5級地震的最大振幅的多少倍？ 解： (1)M＝ lgA－ lgA0＝ lgAA0＝ lg ＝ 4. 即這次地震的震級為 4級． (2)????? 5＝ lg A5－ lg A0，8＝ lg A8－ lg A0， lgA8A5＝ 3，A8A5＝ 1 000， 即我國發(fā)生在汶川的 8級地震的最大振幅是 5級地震的最大振幅的 1 000倍