【正文】 a nonlinear the model in the vicinity of the equilibrium Point and thus state equation of the system is analysis is based on the linearized model， which shows the inverted pendulum is a unstable， controllable， parative analysis of fuzzy control， neural work control， PID control and optimal control strategy are introdueed in the ， Linear Quadratic optimal control is selected to achieve stability control， then， simulation of the stability control is carried ,the swingup process and principle of energy feedback control and time optimal control are analysed. Swingup control of inverted pendulum is achieved by energy feedback control and time optimal control based on nonlinear quadratic control is adopted to realize the stability ， the controller is designed and the parameters of the controller are control procedures can realize the control of single inverted pendulum in the ATLAB/ results show that both control methods can achieve the swing up control and stability control of the incerted pendulum. Keywords: single inverted pendulum。time optimal。由于倒立擺具有以上特點(diǎn)，使得人們一直將它視為典型的研究對(duì)象，不斷地從中發(fā)掘和檢驗(yàn)新的控制策略。 在控制理論發(fā)展的過 程中，某一理論的正確性及在實(shí)際應(yīng)用中的可行性需要一個(gè)按其理論設(shè)計(jì)的控制器去控制一個(gè)典型對(duì)象來驗(yàn)證這一理論，倒立擺就是這樣的一個(gè)典型的被控對(duì)象。此外對(duì)于倒立擺的穩(wěn)定控制，會(huì)涉及到控制理論中的許多關(guān)鍵性問題，比如非線性問題、系統(tǒng)的魯棒性問題、 隨動(dòng)問題、鎮(zhèn)定問題及跟隨問題等等。當(dāng)一種新的控制理論和方法提出以后，在不能用理論加以嚴(yán)格證明時(shí)，可以考慮通過倒立擺裝置來驗(yàn)證其正確性和實(shí)用性，因此對(duì)于倒立擺系統(tǒng)的研究在理論上有著深遠(yuǎn)的意義。同時(shí)對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行控制，其穩(wěn)定效果非常明了，可以通過擺桿角度、小車位移和穩(wěn)定時(shí)間直接來量度，這樣控制算法的好壞就可以很直觀的定性判斷出來。對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究能反映控制系統(tǒng)中的許多典型問題 :如非線性問題、魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動(dòng)問題以及跟蹤問題等。同時(shí)，對(duì)倒立擺的控制方法可以用于航天、軍工、機(jī)器人等領(lǐng)域。 （ 3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌道的不同，有水平的或者傾斜軌道的倒立擺系統(tǒng) 。 （ 5）根據(jù)擺桿與小車連接方式的不同，有柔性倒立擺系統(tǒng)和剛性倒立擺系 統(tǒng)： （ 6） 根據(jù)擺桿運(yùn)動(dòng)軌跡的不同，有直線式倒立擺、旋轉(zhuǎn)式倒立擺、平面倒立擺、 柔性連接倒立擺系統(tǒng)和 Acrobot、 Penduot 等其他形式的倒立擺系統(tǒng)。直線倒立擺的擺桿安裝在小車上，小車與電動(dòng) 機(jī)傳動(dòng)帶相連，傳動(dòng)帶帶動(dòng)小車在直線軌道上運(yùn)動(dòng)。對(duì)于相同級(jí)數(shù)的倒立擺系統(tǒng)，直線倒立擺的小車只能在水平方向做直線運(yùn)動(dòng)，模型的非線性因素比較少，有利于對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定控制 。平面倒立擺是最復(fù)雜的一類倒立擺系統(tǒng)，擺桿可以沿平面內(nèi)任意軸線運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的非線性、藕合性等特性更加突出，增加了控制難度。倒立擺的種類也從開始的直線倒立擺發(fā)展為環(huán)形倒立擺、平面倒立擺等，級(jí)數(shù)也由開始的一級(jí)擺發(fā)展為二級(jí)、三級(jí)甚至四級(jí)擺。 ②倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，即倒立擺能立在平衡位置不倒。 起擺控制研究現(xiàn)狀 倒立擺的起擺控制問題實(shí)質(zhì)上是使倒立擺系統(tǒng)從一個(gè)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)在外力的作用下轉(zhuǎn)移到另一個(gè)平衡狀態(tài)。 目前，主要有滑?？刂啤㈩A(yù)測控制、狀態(tài)反饋控制、時(shí)間最優(yōu)控制 (主要是BangBang 控制 )、能量反饋控制、擬人智能控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等方法用于倒立擺的起擺控制，但是用的最多的控制方法集中在能量反饋控制、時(shí)間最優(yōu)控制、智能控制等方面。 1976 年， Mori 等人提出用兩個(gè)控制器來控制倒立擺系統(tǒng)，其中的一個(gè)控制器用來進(jìn)行倒立擺系統(tǒng)的自動(dòng)起擺，另一個(gè)控制器用來進(jìn)行倒立擺系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的穩(wěn)定控制。 Torres 一 Pomales 設(shè)計(jì)了一個(gè)簡單的滑模控制器來實(shí)現(xiàn)倒立擺的起擺。在國外， Yoshida 用能量反饋的方法實(shí)現(xiàn)了直線倒立擺的起擺控制， Fanto 用能量控制方法 實(shí)現(xiàn)了起擺控制，和 Yoshida 采用的被控對(duì)象不同，他采用的被控對(duì)象是平面一級(jí)倒立擺，由于平面一級(jí)倒立擺的不穩(wěn)定、非線性因素比直線倒立擺多，起擺過程更加繁瑣 。在國內(nèi)，付瑩、張廣立等采用能量反饋的方法完成了倒立擺的起擺控制，并實(shí)現(xiàn)了直線一級(jí)倒立擺起擺的實(shí)物控制。侯祥林基于最優(yōu)化原理研究倒立擺系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了環(huán)形單級(jí)倒立擺的起擺控制，控制過程中選用的目標(biāo)函數(shù)是終端約束條件，設(shè)計(jì)了最優(yōu)控制律 。 穩(wěn)定控制研究現(xiàn)狀 在倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制的研究早期，主要是基于線性模型實(shí)現(xiàn)倒立擺的穩(wěn)定控制， PID 控制和 LQR 控制方法在倒立擺穩(wěn)定 控制中應(yīng)用較多。 國外最初對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究開始于 20 世紀(jì) 60 年代。隨著倒立擺概念的提出，倒立擺系統(tǒng)就成了 一級(jí)倒立擺快速起擺控制算法的 研究與設(shè)計(jì) 5 檢驗(yàn)控制理論在處理非線性系統(tǒng)、快速、不穩(wěn)定系統(tǒng)有效與否的工具。 Furuta 等將線性最優(yōu)控制理論應(yīng)用于二級(jí)倒立擺和傾斜軌道的二級(jí)倒立擺，并實(shí)現(xiàn)其控制。模糊控制理論在處理倒立擺系統(tǒng)時(shí)，由于倒立擺系統(tǒng)的多變量特性，可能會(huì)出現(xiàn)“規(guī)則爆炸”現(xiàn)象，因?yàn)槟：刂埔?guī)則數(shù)是輸入變量個(gè)數(shù)的指數(shù)形式。 應(yīng)用綜合誤差、綜合誤差變化率的概念，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)多級(jí)倒立擺系統(tǒng)的模糊控制。這種基于狀態(tài)變量合成的方法解決了模糊控制器設(shè)計(jì)中遇到的“規(guī)則爆炸”問題。于秀芬等將 BP 算法用于直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的控制中，采用的 BP 網(wǎng)絡(luò)具有 4個(gè)輸入 (即直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的 4個(gè)狀態(tài)變量 )， 3層結(jié)構(gòu)，通過對(duì)模型進(jìn)行學(xué)習(xí)、訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)了直線一級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制。 從 20 世紀(jì) 90 年代的中期，自適應(yīng)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制開始用于倒立擺系統(tǒng)中。 隨著對(duì)控制理論的深入探索和智能控制技術(shù)的發(fā)展，國內(nèi)出現(xiàn)了許多新的控制方法和策略，這些控制策略大多基于智能控制算法。李洪興采用變論域自適應(yīng)模糊控制理論，實(shí)現(xiàn)了四級(jí)倒立擺控制的仿真實(shí)物系統(tǒng)控制。以倒立擺系統(tǒng)為被控對(duì)象，可以檢驗(yàn)控制理論的正確性以及該理論在實(shí)際應(yīng)用中的可行性。 在對(duì)倒立擺系統(tǒng) 進(jìn)行控制時(shí)，設(shè)計(jì)的控制器不僅要使倒立擺系統(tǒng)起擺、穩(wěn)定，而且要具有結(jié)構(gòu)簡單、原理清晰、易于實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)。對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究也比較有實(shí)用價(jià)值，從日常生活中所見到的任何重心在上、支點(diǎn)在下的控制問題，到空間飛行器和各類伺服云臺(tái)的穩(wěn)定，都和倒立擺的控制有很大的相似性切，因此，倒立擺的穩(wěn)定控制在實(shí)際中有很多應(yīng)用，如海上鉆井平臺(tái)的穩(wěn)定控制、衛(wèi)星發(fā)射架的穩(wěn)定控制、火箭姿態(tài)控制、飛機(jī)安全著陸、機(jī)器人雙足行走結(jié)構(gòu)等都屬于這類問題。 論文的主要工作 本文用牛頓力學(xué)的方法構(gòu)建了直線一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型，在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行線性化，并用代碼實(shí)現(xiàn)了對(duì)倒立擺系統(tǒng)的定性分析。 主 要做的工作如下： 根據(jù)牛頓力學(xué)方法構(gòu)建直線一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型 ,直線一級(jí)倒立擺的實(shí)物模型是孤高科技直線一級(jí)倒立擺 GLIP2021，并用 MATLAB 軟件進(jìn)行能控性、能觀性和穩(wěn)定性分析。 一級(jí)倒立擺快速起擺控制算法的 研究與設(shè)計(jì) 7 介紹了倒立擺的起擺過程，提出了能量控制策略和時(shí)間最優(yōu)控制策略 (即Bang 一 Bang 控制策略 )。對(duì)比能量反饋控制和時(shí)間最優(yōu)控制對(duì)直線一 級(jí)倒立擺系統(tǒng)的控制效果，分析這兩種方法用于直線一級(jí)倒立擺的起擺控制的可行性。數(shù)學(xué)模型是分析、設(shè)計(jì)、預(yù)測以及控制一個(gè)系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建可以分為兩種：實(shí)驗(yàn)建模和機(jī)理建模。機(jī)理建模就是在了解研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ)上，通過物理、化學(xué)的知識(shí)和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入－狀態(tài)關(guān)系。但是經(jīng)過小心的假設(shè)忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的機(jī)電一體化系統(tǒng)，其機(jī)械部分遵守牛頓運(yùn)動(dòng)定律，其電子部分遵守電磁學(xué)的基本定律，因此可以通過機(jī)理建模得到系統(tǒng)較為精確的數(shù)學(xué)模型。將小車抽象為質(zhì)點(diǎn)，擺桿抽象為勻質(zhì)剛體，擺桿繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣就可以通過力學(xué)原理建立較為精確的數(shù)學(xué)模型。對(duì)于直線一級(jí)倒立擺這樣比較簡單的系統(tǒng)，我們采用通俗易懂的牛頓力學(xué)分析法建模。 分析小車水平方向所受的合力，可得到方程為： NxbFxM ??? ??? (21) 由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： ? ??s in22 lxdtdmN ?? （ 22） 即： ???? s inc os 2????? mlmlxmN ??? （ 23） 把這個(gè) 等式代入（ 1）式中，得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： ? ? FmlmlxbxmM ????? ???? s inc o s 2???? （ 24） 為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)擺桿垂直方向的合力進(jìn)行分析，得到下面的方程： ? ??c o s22 ldtdmmgP ?? （ 25）???? c o ss i n 2?? mlmlmgP ???? （ 26） 力矩平衡方程如下： ?? ??INlPl ??? c oss in （ 27） 方程中力矩的方向，由于 ??? ?? ， ???? s i ns i n,c o sc o s ???? ，故等式前面有負(fù)號(hào)。 豎直向上位置是直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，可以設(shè)計(jì)穩(wěn)定控制器來使直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定在這個(gè)點(diǎn)。我們所關(guān)心的是系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的性質(zhì) ，因而可以采用線性化模型來分析。對(duì)于系統(tǒng)在平衡點(diǎn)鄰域的穩(wěn)定性可以根據(jù)系統(tǒng)的線性模型進(jìn)行分析。 穩(wěn)定性、能控性和能觀性判據(jù) 穩(wěn)定性判據(jù)： Lyapunov 第一法判定定理：對(duì)于線性定常系統(tǒng) 0,)0(, 0 ??? txxAxx? 有： （ 1） 系統(tǒng)的每一平衡狀態(tài)是在 Lyapunov 意義下穩(wěn)定的充分必要條件是： A的所有特征值 均具有非正（負(fù)或零）實(shí)部，且具有零實(shí)部的特征值為 A 的最小多項(xiàng)式的單根。 能控性、能控性判據(jù)： 對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)： BuAXX ??? DuCXy ?? 系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件為：當(dāng)且僅當(dāng)向量組 BAABB n 1,..., ? 是線性無關(guān)的，或 n n 維矩陣 ? ?BAABB n 1????? 的秩為 n。 即 Rank(? ?DBCABCACABCB n ?????? 12 ?)=n 一級(jí)倒立擺快速起擺控制算法的 研究與設(shè)計(jì) 13 倒立擺系統(tǒng)的性能分析 倒立擺系統(tǒng)方程為 ??? ?? ?? )()()( )()()( tDutCxty tButAxtx? 其中?????????????06000100000000010A ,?????????????010B , ??????? 0100 0001C, 0?D 將 A的值帶入特征方程 ? ? 0det ?? AI? ,經(jīng)過計(jì)算可得系統(tǒng)的特征值 , 21 ??? ?? 系統(tǒng)有兩重特征根在原點(diǎn)，有 一個(gè)特征根在復(fù)頻域的右半 平面上，有一個(gè)特征根在復(fù)頻域的左半平面上，由穩(wěn)定性判據(jù)可知：直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 A=[0 1 0 0。 0 0 0 1。 B=[0 1 0 3]39。 0 1 0 0]。 step(A,B,C,D) 得到如下圖： 西南石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 14 圖 從圖中可以看出，在單位階躍響應(yīng)作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的，所以直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 由以上分析，我們可以知道，直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，但其又是能控和能觀的。由于倒立擺固有的特性，其的平衡點(diǎn)均是不