【正文】 λ λ x 2 4pp ??? ? ? ? ???0?? 0xi ?0xp mpv ii?????? ?),(13 169。我們只要證明：令 21 1? ?? ?? ???????1122:::ttB x p x mB x p x mB x p x m?tB B B 12? ? ?,tx B x B x B但 121? ? ? ?()tp x tp x t p x m12??,p x m p x m112212111? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ????( ) ( )( ) ,( , )ttttp x m tp x tmp x m t p x t mtp t p x m p x m x Bx B p m與 矛盾ampvampvaBBBBBxxuBxxumpvttt??????),(),(,)(max)(max),(212121和因為因為屬于滿足屬于滿足??14 169。 ? 羅伊恒等式的證明：將等式 ()除以等式 ()可得證。 , 恒等式的其它證明方法： ? 以上我們利用包絡(luò)定理證明了恒等式，但還有其它方法可以證明，試按下面的方法證明之： ? 直接從間接效用函數(shù)的定義出發(fā)，使用效用最大化的一階條件（） 16 169。消費者的這種最優(yōu)選擇問題也可以從另一個角度考慮，即為了獲得既定的效用水平，消費者如何選擇商品，以使自己的支出最小，這就是所謂的支出最小化問題。 , 支出最小化問題與?？怂剐枨蠛瘮?shù) ? 支出最小化問題的基本形式 ? 支出最小化問題的均衡解 ? ?？怂剐枨蠛瘮?shù) 18 169。 , B、均衡解與?？怂购瘮?shù) ? 構(gòu)建支出最小化問題的拉格朗日函數(shù) ? 根據(jù)支出最小化一階條件： ? 根據(jù)（ ）和（ ）可得： （?？怂剐枨蠛瘮?shù)） ? 希克斯需求函數(shù)是一個關(guān)于價格和效用水平的函數(shù)，它刻畫了在既定價格和效用水平下，消費者實現(xiàn)支出最小化時對商品的需求量。 , 支出函數(shù)及其性質(zhì) ? 支出函數(shù)的定義 ? 支出函數(shù)的性質(zhì) 21 169。 , B、支出函數(shù)的性質(zhì) 如果直接效用函數(shù) u(x)在上是連續(xù)且嚴格遞增的 ， 那么支出效用函數(shù) e()就一定具有以下幾個性質(zhì)： 性質(zhì) 1： e() 在 上連續(xù) ； 性質(zhì) 2： e() 是關(guān)于 p的一階齊次函數(shù)； 性質(zhì) 3： e()是關(guān)于 p的非遞減函數(shù)； 性質(zhì) 4： e()是關(guān)于 u的嚴格遞增函數(shù) 性質(zhì) 5： e()是關(guān)于 p的凹函數(shù) nn RR ??? 上述性質(zhì)的證明方法與間接效用函數(shù)性質(zhì)的證明方法類似，因此這里我們不給出以上性質(zhì)的的證明過程，留做習題。 , 謝潑德引理 () ? 謝潑德引理是說：若支出函數(shù) e()已知，且連續(xù)可導，則根據(jù)支出函數(shù)可以直接推導出希克斯需求函數(shù) 即： ? 也就是說，給定支出函數(shù)，我們只需對其求關(guān)于 p的導數(shù)便可得到消費者的?？怂购瘮?shù)，這一結(jié)論就是所謂的謝潑德引理，它刻畫了支出函數(shù)與?？怂剐枨蠛瘮?shù)之間的關(guān)系。 , 謝潑德引理的證明 ? 由支出函數(shù) 可知， 中的 x是最優(yōu)消費束，即 ，而 x*又是關(guān)于參數(shù) p和u的函數(shù)。 , 對偶原理 消費者的效用極大化問題和支出最小化問題是一對對偶問題，因為兩者的行為原則是一致的，只是目標函數(shù)和約束條件正好相反。 幾個重要恒等式 對偶原理的圖示 26 169。 , A、恒等式 1： ? 恒等式 1說的是，價格為 p、收入 m為時的馬歇爾需求函數(shù)恰好等于價格為 p、效用水平為 v()（即在價格為 p且收入為 m情況下所獲得的最大效用）時的?？怂剐枨蠛瘮?shù)。 , B、恒等式 2： ? 恒等式 2說得是，價格為 p、效用水平為 u時的?？怂剐枨蠛瘮?shù)恰好等于價格為p、收入為 e()（即在價格為 p且效用為 u情況下的最小支出）時的馬歇爾需求函數(shù)。 , B、恒等式 2： ? 恒等式 2說得是，價格為 p、效用水平為 u時的?？怂剐枨蠛瘮?shù)恰好等于價格為 p、收入為e()（即在價格為 p且效用為 u情況下的最小支出）時的馬歇爾需求函數(shù)。 ? 假定上述效用最大化的解為 且，因此 ,由于 u是連續(xù)嚴格遞增函數(shù)，因此必然有一個 x’’滿足 ，因此有： ? （ 1）意味著消費束 x’’ 屬于支出最小化問題的可行集；（ 2）意味著購買 x’’的支出要小于購買 x’的支出，這意味著 不是支出最小化問題的解的結(jié)論，這與假設(shè)矛盾，因此恒等式 2得證。, 39。) [ , ) ]u x u u? ??( ( , ) ) ( 39。 ) ( 39。39。 ( 2 ) 39。 39。39。u x u x x px px mm in. . ( ) ?pxs t u x u30 169。 對應的收入水平是 m，而 所 對應的收入水平就是 。 , D、恒等式 4 ： ? 恒等式 4說的是，價格為 p、收入為 e()（即在價格為 p且效用為 u情況下所支付的最小支出）時的最大效用恰好等于 u。 對應的效用水平是 u，而 所對應的效用水平就是 。 , 圖 21：幾個恒等式的說明 x1 p1 x1(p,m)=x1h [p,v(p,m)]：恒等式 1 x1h(p,u)=x1[p,e(p,u)]： 恒等式 2 x1*=x1h(p,u)= x1h[p,v(p,m)]=x1(p,m) p1* u=v(p,m)=v[p,e(p,u)]： 恒等式 4 m/p2 x2 x1 x2* E [ , ( , ) ]11m e p v p mpp? ： 恒等式3x1*1() = x1h[()] 33 169。 , 消費者行為的比較靜態(tài)分析 以上我們分析消費者的最優(yōu)選擇行為時，一直都假設(shè)價格和收入都是不變的，即把和作為參數(shù)處理，本節(jié)我們將取消這一假設(shè)，考察當 p和 m發(fā)生變化時，消費者的最優(yōu)消費束會發(fā)生什么變化。 價格消費曲線、需求曲線；收入消費曲線、恩格爾曲線 價格變動的替代效應和收入效應 斯盧茨基方程 35 169。 , u x x12?? x x12m in { , }?x x12? ??v x x12()（ 1）完全替代偏好的、和 37 169。 , u x x12m in { , }?（ 3）偏好的、和 39 169。 , 位似偏好： 完全替代、完全互補和偏好都是位似偏好 1 2 1 2 1 2 1 20( , ) ( , ) , ( , ) ( , )if x x y y t tx tx ty ty? ?