【正文】 滿足P{Xd}≥,所以X32=Z～N(0,1).(1)欲使P{Xc}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c32)=12, c32=0,即 所以d≤.習題8設(shè)測量誤差X～N(0,102),=1[2Φ()1]=1[2]==.，則Y～b(100,).因為n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,即即1Φ(x400060)=,因此x400060≈,在該地區(qū)任選一18歲女青年，測量她的血壓X.(1)求P{X≤105},P{100X≤120}。使P{Xx}≤.解答：已知血壓X～N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X11012≤512≈1Φ()=,=Φ()Φ()=2Φ()1≈.(2)使P{Xx}≤,即1P{X≤x}≤,Φ(x11012)≥,查表得x10012≥,.解答：X～N(170,36),而查標準正態(tài)表得x1706,求：(1)若動身時離開車時間只有60分鐘，應(yīng)走哪一條路線？(2)若動身時離開車時間只有45分鐘，應(yīng)走哪一條路線？解答：設(shè)X,Y分別為該人走第一、二條路到達火車站所用時間，則哪一條路線在開車之前到達火車站的可能性大就走哪一條路線.(1)因為P{X60}=Φ(604010)=Φ(2)=,P{X45}=Φ(45504)=Φ()=1Φ()==所以只有45分鐘應(yīng)走第一條路.試求：(1)a?！郺=1/10.(2)求Y=sinπ2X的分布律.解答：因為容易求得P試求隨機變量Y的密度函數(shù).解答：其反函數(shù)為x=lny,f(x)={fX(lny)∣ln′y,1ye0,其它={1y,1ye0,其它.習題5設(shè)X～N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非單調(diào)函數(shù)，故用分布函數(shù)法先求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(當y1時)于是分布函數(shù)為F(x),=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1F(1/y),故這時fY(y)=[F(1y)]′=1y2f(1y)。③當y=0時，F(xiàn)Y(y)=P{1/X≤0}=P{X0}=F(0),故這時取fY(0)=0,fY(y)={1y2?f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①當y0時，F(xiàn)Y(y)=P{y≤X≤y}=F(y)F(y)這時fY(y)=f(y)+f(y)。這時fY(y)=0。綜上所述已知θ=5(T32)/9,θ=59(T32),是單調(diào)函數(shù)，所以fθ(y)=fT(95y+32)?95=12π?2e(95y+)24?95 其分布函數(shù)為FY(x),故FX(x)是單調(diào)增加函數(shù)，其反函數(shù)FX1(y)存在，又Y在[0,1]上服從均勻分布，故Y的分布函數(shù)為={0,FX(z)0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)1由于FX(z)為X的分布函數(shù)，故0≤FX(z)≤1.FX(z)0和FX(z)1均勻不可能，故上式僅有FZ(z)=FX(z),P(Ak)=ck,k=1,2,?,20.因為P(?K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，P{取到偶數(shù)}=P{A2∪A4∪?∪A20}求射擊10炮,(1)命中3炮的概率。(3)最可能命中幾炮.解答：若隨機變量X表示射擊10炮中中靶的次數(shù). 由于各炮是否中靶相互獨立，所以是一個10重伯努利概型，X服從二項分布，其參數(shù)為n=10,p=,(2)P{X≥3}=1P{X3}=1[C100()0()10+C101()1()9+C102()2()8]≈。而(2)保險公司獲利分別不少于100000元, 200000元的概率.解答：1)以“年”為單位來考慮，在1年的1月1日，保險公司總收入為則X～b(2500,),200000X300000即X15(人).因此，P{保險公司虧本}=P{X15}=∑k=162500C2500k()k()2500k=P{300000200000X≥100000}=P{X≤10} =P{300000200000X≥200000}=P{X≤5}300臺分機可看成300次伯努利試驗，一次試驗是否要到外線. 設(shè)要到外線的事件為A,顯然X～b(300,),P{X=k}=C300k()k()300k(k=0,1,2,?,300),因n=300很大，p=, (查泊松分布表)且同時向總機要外線的分機的最可能臺數(shù) k0=[(n+1)p]=[301]=9.習題5在長度為t的時間間隔內(nèi)，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)t2的泊松分布，而與時間間隔的起點無關(guān)(時間以小時計),P{X=0}=e3/2≈。P{X≥1}=1P{X=0}=1e5/2≈.習題6設(shè)X為一離散型隨機變量，其分布律為X1/212qq2試求：(1)q的值；(2)X的分布函數(shù).解答：(1)\because離散型隨機變量的概率函數(shù)P{X=xi}=pi,且0≤pi≤1,∴從而X的分布律為下表所示：X1011/2213/22(2)由F(x)=P{X≤x}計算X的分布函數(shù)F(x)={0,1/2,21/2,1,x11≤x00≤x0x≥1.習題7設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)F(x)為F(x)={0,x0Asinx,0≤x≤π/2,1,xπ/2則A=175。.解答：應(yīng)填1。F(π2+0)=F(π2)?A=1.因F(x)在x=π6處連續(xù)，故P{X=π6=12,=P{π6X≤π6=F(π6)F(π6)=12..習題8使用了x小時的電子管，在以后的Δx小時內(nèi)損壞的概率等于λΔx+o(Δx),故應(yīng)分段求F(x)=P{X≤x}.當x≤0時，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=P(?)=0。而P{xX≤x+Δx/X}=P{xX≤x+Δx,Xx}P{Xx}=P{xX≤x+Δx}1P{X≤x}=F(x+Δx)F(x)1F(x),故F(X+Δx)F(x)1F(x)=λΔx+o(Δx),得F′(x)=λ[1F(x)].這是關(guān)于F(x)的變量可分離微分方程，分離變量dF(x)1F(x)=λdx,故C=1.于是F(x)=1eλx,x0,λ0,F(x)={0,x≤01eλx,x0(λ0),從而電子管在T小時內(nèi)損壞的概率為f(x)={x,0x≤12x,1x≤20,其它,求其分布函數(shù)F(x).解答：當x≤0時，F(xiàn)(x)=∫∞x0dt=0。當1x≤2時，F(xiàn)(x)=∫∞xf(t)dt=∫∞00dt+∫01tdt+∫1x(2t)dt=0+12+(2t12t2)∣1x=1+2xx22。故f(x)={19xex3,x00,其它,試求：(1)該城市的水日消費量不低于600萬升的概率；(2)水日消費量介于600萬升到900萬升的概率.解答：先求X的分布函數(shù)F(x).當x≥0時有所以=1[1(1+x3)ex3]x=6=3e2,P{6X≤9}=F(9)F(6)=(14e3)(13e2)=3e24e3.習題11已知X～f(x)={cλeλx,xa0,其它(λ0),而∫∞+∞f(x)dx=∫∞a0dx+∫a+∞cλeλxdx從而c=eλa. P{a1X≤a+1}=∫a1a+1f(x)dx=∫a1a0dx+∫aa+1λeλaeλxdx而當xa時，f(x)=0.習題12已知X～f(x)={12x212x+3,0x10,其它,有P{X≤∣X≤}=P{X≤,X≤}P{X≤}=P{X≤}P{X≤}=∫(12x212x+2)dx∫(12x212x+3)dx=(4x36x2+3x)∣(4x36x2+3x)∣==.習題13若F1(x),F2(x)為分布函數(shù)，(1)判斷F1(x)+F2(x)是不是分布函數(shù)，為什么？(2)若a1,a2是正常數(shù)，且a1+a2=1.F1(∞)=F2(∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)單調(diào)非減，右連續(xù)，且分布函數(shù)F(x)滿足：(1)F(a)=1F(a)。(2)P{∣X∣a}=2[1F(a)].解答：(1)F(a)=∫∞a?(x)dx=∫a+∞?(t)dt=∫a+∞?(x)dx=1∫∞a?(x)dx=1F(a).(2)P{∣X∣a}=P{Xa}+P{Xa}=F(a)+P{X≥a}F(a)+1F(a)=2[1F(a)].習題15設(shè)K在(0,5)上服從均勻分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有實根的概率.解答：因為K～U(0,5),即解得K≥2(K≤1舍去),又因為P{X≤90}=P{Xμσ≤90μσ, 所以有Φ(90μσ)=, 反查標準正態(tài)表得 90μσ=2 ①同理：P{X≤60}=83/526≈。當t0時，F(xiàn)(t)=0,∴F(x)={,x≥00,x0,X服從指數(shù)分布(λ=)。(3)F(5)F(3)≈.習題18100件產(chǎn)品中，90個一等品，10個二等品，隨機取2個安裝在一臺設(shè)備上，若一臺設(shè)備中有i個(i=0,1,2)二等品，則此設(shè)備的使用壽命服從參數(shù)為λ=i+1的指數(shù)分布.(1)試求設(shè)備壽命超過1的概率 ；(2)已知設(shè)備壽命超過1，求安裝在設(shè)備上的兩個零件都是一等品的概率 .解答：(1)設(shè)X表示設(shè)備壽命. A表示“設(shè)備壽命超過1”，Bi表示“取出i個二等品”(i=0,1,2)，則X的密度函數(shù)為 fX(x)={λeλx,x00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2), P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002, P(A∣B0)=∫1+∞exdx=e1, P(A∣B1)=∫1+∞2e2xdx=e2, P(A∣B2)=∫1+∞3e3xdx=e3,由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈.(2)由貝葉斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈.習題19設(shè)隨機變量X的分布律為21013pi1/51/61/51/1511/30試求Y=：21013X2X20149pi1/57/301/511/30注：隨機變量的值相同時要合并，對應(yīng)的概率為它們概率之和.習題20設(shè)隨機變量X的密度為有fY(x)={0,y3(y32)3e(y32),y≥3.習題21設(shè)隨機變量X的概率密度fX(x)={ex,x00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因為α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1, β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.類似上題可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1y+∞0,其它 ={1/y2,1y+∞0,其它.習題22設(shè)隨便機變量X的密度函數(shù)為則Y的取值范圍為[1,2). 二維隨機變量及其分布習題1設(shè)(X,Y)的分布律為X\Y1/61/91/181/3a1/9求a.解答：由分布律性質(zhì)∑i?jPij=1,1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得解答：P{aX≤b,Y≤c}=F(b,c)F(a,c).習題2(2)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用F(x,y)表示：(2)P{0Y≤b}。解答：P{0Y≤b}=F(+∞,b)F(+∞,0).習題2(3)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用F(x,y)表示：(3)P{Xa,Y≤b}.解答：P{Xa,Y≤b}=F(+∞,b)F(a,b).習題3(1)：試求：(1)P{12X32,0Y4。解答：P{12X23,0Y4解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.習題3(3)：試求：P{X≥0,Y≥0}=37,=P{X≥0}+P{Y≥0}P{X≥0,Y≥0}請列出(X,Y)的概率分布表，并寫出關(guān)于Y的邊緣分布.解答：(1)因為所給的一組概率實數(shù)顯然均大于零，且有16+13+112+512=1,{X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均為不可能事件，其概率必為零. 因而得到下表：027/121/121/3習題6設(shè)隨機向量(X,Y)服從二維正態(tài)分布N(0,0,102,102,0