【正文】 8月份的訂單數(shù)為51時，9月份訂單數(shù)的條件分布律.解答：(1)邊緣分布律為X5152535455P{x=0}=.因?yàn)镻{x=0,y=0}≠P{x=0}?P{y=0},P{y=1∣x=0}=13.(3)已知P{x=0,y=0}=715,(3)判定X與Y是否獨(dú)立？解答：(1)由(x,y)的分布律知，y只取0及1兩個值.01fY(y)=∫∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(yy),0≤y≤1,即fY(y)={6(yy),0≤y≤10,其它. 條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性習(xí)題1二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為X\Y即F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函數(shù)F(x,y)在平面各區(qū)域的表達(dá)式設(shè)0≤x≤1,0≤y≤1,(2)求P{X1,Y3}。 故pk=0+16+512=712,同樣可求得1/6001X\Y{X=1,Y=0},故所給的一組實(shí)數(shù)必是某二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布. 因(X,Y)只取上述四組可能值，故事件：=47+4737=57.習(xí)題5(X,Y)只取下列數(shù)值中的值： P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一個大于等于0}(3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.習(xí)題4設(shè)X,Y為隨機(jī)變量，且P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.習(xí)題3(2)：試求：a=2/9.習(xí)題2(1)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用F(x,y)表示：可知1fY(y)={1y11,1y20,其它.第三章 多維隨機(jī)變量及其分布FY(y)={0,y11(1y1)2,1≤y2,1,其它Y的概率密度為=2∫0y1(1x)dx=1(1y1)2,從而Y的分布函數(shù)為=P{Y1≤x≤y1}=∫y1y1(1∣x∣)dxFY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}當(dāng)1≤y2時，fX(x)={0,x02x3ex2,x≥0,求Y=2X+3的密度函數(shù).解答：由Y=2X+3,1/51/61/51/1511/30(2)F(3)=3≈。所以P{方程有實(shí)根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.習(xí)題16某單位招聘155人，按考試成績錄用，共有526人報(bào)名，假設(shè)報(bào)名者考試成績X～N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若從高分到低分依次錄取，某人成績?yōu)?8分，問此人是否能被錄取？解答：要解決此問題首先確定μ,σ2, 因?yàn)榭荚嚾藬?shù)很多， P{X90}=12/526≈, P{X≤90}=1P{X90}≈}=。fK(k)={1/5,0k50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有實(shí)根的充要條件為(4K)24?4(K+2)≥0,a1F1(∞)+a2F2(∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.從而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函數(shù).習(xí)題14設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度?(x)為偶函數(shù)，試證對任意的a0,計(jì)算P{X≤∣X≤}.解答：根據(jù)條件概率。于是 P{X≥6}=1P{X6}=1P(X≤6}=1F(6)顯然，當(dāng)x0時，F(xiàn)(x)=0,F(x)={0,x≤212x2,0x≤11+2xx22,1x≤21,x2.習(xí)題10某城市飲用水的日消費(fèi)量X(單位：百萬升)是隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為：當(dāng)x2時，F(xiàn)(x)=∫∞00dt+∫01tdt+∫12(2t)dt+∫2x0dt=1,故X的分布函數(shù)為F(x+Δx)F(x)Δx=[1F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,其中λ0是常數(shù)，求電子管在損壞前已使用時數(shù)X的分布函數(shù)F(x)，并求電子管在T小時內(nèi)損壞的概率.解答：因X的可能取值充滿區(qū)間(0,+∞),P{∣X∣π6=P{π6Xπ61/2.由分布函數(shù)F(x)的右連續(xù)性，有滿足∑ipi=1,101求：(1)某一天從中午12至下午3時沒有收到緊急呼救的概率；(2)某一天從中午12時至下午5時至少收到1次緊急呼救的概率.解答：(1)t=3,λ=3/2,則P(A)=,P{保險(xiǎn)公司獲利不少于200000元}≈1∑k=015e55kk!≈,由此可見,在1年里保險(xiǎn)公司虧本的概率是很小的.(2)P{保險(xiǎn)公司獲利不少于100000元}則保險(xiǎn)公司在這一年中應(yīng)付出200000X(元)，要使保險(xiǎn)公司虧本，則必須k0=[(n+1)p]=[(10+1)]=[]=7,故最可能命中7炮.習(xí)題3在保險(xiǎn)公司里有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了人壽保險(xiǎn)，每個參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交120元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時家屬可從保險(xiǎn)公司里領(lǐng)20000元賠償金，求:(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率。(2)至少命中3炮的概率。因此，Z與X的分布函數(shù)相同.總習(xí)題解答習(xí)題1從1～20的整數(shù)中取一個數(shù)，若取到整數(shù)k的概率與k成正比，求取到偶數(shù)的概率.解答：設(shè)Ak為取到整數(shù)k,又Y在[0,1]上服從均勻分布，證明:Z=FX1(Y)的分布函數(shù)與X的分布函數(shù)相同.解答：因X在任一有限區(qū)間[a,b]上的概率均大于0,反函數(shù)為T=59θ+32,fY(y)={f(y)+f(y),y00,y≤0.習(xí)題7某物體的溫度T(°F)是一個隨機(jī)變量, 且有T～N(,2),②當(dāng)y0時，F(xiàn)Y(y)=P{?}=0,綜上所述(2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①當(dāng)y0時，F(xiàn)Y(y)=P{1/X≤0}+P{01/X≤y}fY(y)={12π(y1)ey14,y10,y≤1.習(xí)題6設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),fY(y)={fX(ydc)?1∣c∣,a≤ydc≤b0,其它,當(dāng)c0時，fY(y)={1c(ba),ca+d≤y≤cb+d0,其它,當(dāng)c0時，fY(y)={1c(ba),cb+d≤y≤ca+d0,其它.習(xí)題4設(shè)隨機(jī)變量X服從[0,1]上的均勻分布，求隨機(jī)變量函數(shù)Y=eX的概率密度fY(y).解答：f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，y∈(1,e),101sinxnπ2={1,當(dāng)n=4k10,當(dāng)n=2k1,當(dāng)n=4k3,所以Y=sin(π2X)只有三個可能值1,0,1. 隨機(jī)變量函數(shù)的分布習(xí)題1已知X的概率分布為X210123pi2a1/103aaa2aP{Y60}=Φ(60504)=Φ()=,所以有60分鐘時應(yīng)走第二條路.(2)因?yàn)镻{X45}=Φ(454010)=Φ()=,第二條路程較長，但意外阻塞較少，所需時間服從正態(tài)分布N(50,42),P{Xx}=1P{X≤x}=1Φ(x1706),即Φ(x1706),從而x≥.習(xí)題11設(shè)某城市男子身高X～N(170,36),求x,(2)確定最小的x,P{Y≥3}≈150e50!51e51!52e52!=137225≈.習(xí)題9某玩具廠裝配車間準(zhǔn)備實(shí)行計(jì)件超產(chǎn)獎，為此需對生產(chǎn)定額作出規(guī)定. 根據(jù)以往記錄，各工人每月裝配產(chǎn)品數(shù)服從正態(tài)分布N(4000,3600).假定車間主任希望10%的工人獲得超產(chǎn)獎，求：工人每月需完成多少件產(chǎn)品才能獲獎？解答：用X表示工人每月需裝配的產(chǎn)品數(shù)，則X～N(4000,3600).設(shè)工人每月需完成x件產(chǎn)品才能獲獎，依題意得P{X≥x}=,所以p=P{∣X∣}=1P{∣X∣≤}先進(jìn)行100次獨(dú)立測量，.解答：,故c=3.(2)由P{Xd}≥{X≤d}≥,問d至多為多少?解答：因?yàn)閄～N(3,22),Y服從二項(xiàng)分布，其參數(shù)=12et∣∞012et∣0x=1212ex+12=112ex,從而F(x)={12ex,x0112ex,x≥0.習(xí)題5某型號電子管，其壽命(以小時計(jì))為一隨機(jī)變量，概率密度所以當(dāng)x0時，F(xiàn)(x)=∫∞x12e∣t∣dt=12∫∞xetdt=12et∣∞x=12ex?！摇?∞Aexdx=2∫0+∞Aexdx=2Aex∣0+∞=2A,求系數(shù)A及分布函數(shù)F(x).解答：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知，∫∞+∞f(x)dx=1, 又當(dāng)0x1時，F(xiàn)(x)=∫∞xf(t)dt=∫∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2。所以Y=3+X2～N(0,1).習(xí)題2已知X～f(x)={2x,0x10,其它,=12+1π?π4121π(π4)=12.習(xí)題7在區(qū)間[0,a]上任意投擲一個質(zhì)點(diǎn)，[0,a]中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例，試求X的分布函數(shù).解答：=(12+1πarctan1)[12+1πarctanx(1)](2)P{1X≤1}=F(1)F(1)F(∞)=0,F(+∞)=1,所以F(x)是隨機(jī)變量的分布函數(shù).習(xí)題3已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P{X=1}=,P{X=3}=,P{X=5}=,試寫出X的分布函數(shù)F(x)，并畫出圖形.解答：由題意知X的分布律為：Xλ11!eλ=λ22!eλ?λ=2,∴P{X=0}=e2,∴p=(e2)4=e8. 隨機(jī)變量的分布函數(shù)習(xí)題1F(X)={0,x,2≤x01,x≥0,≈∑k=02P(k。在τ這段時間內(nèi)斷頭次數(shù)不大于2的概率.解答：以X記紡錠斷頭數(shù),若P{X≥1}=59,X1 它可能的值只有兩個，即0和1.X=0表示未投中，其概率為解上式得(2)P{X≥5}。當(dāng)生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時立即進(jìn)行調(diào)整，X代表在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)，試求：(1)X的概率分布；即P{X20},P{X=5}=C42?1C53=35,所以X的分布律為X345pk1/103/103/5習(xí)題5某加油站替出租車公司代營出租汽車業(yè)務(wù)，每出租一輛汽車，每天加油站要多付給職工服務(wù)費(fèi)60元，設(shè)每天出租汽車數(shù)X是一個隨機(jī)變量，它的概率分布如下：X10203040pi求因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率.解答：因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為：即3716c=1,解得=115+215+315=25。 得P{X=0}=P{取出球的號碼小于5}=5/10,定義隨機(jī)變量X如下：從中任取1個，觀察號碼是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情況，試定義一個隨機(jī)變量來表達(dá)上述隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果，并寫出該隨機(jī)變量取每一個特定值的概率.解答：分別用ω1,ω2,ω3表示試驗(yàn)的三個結(jié)果“小于5”，“等于5”，“大于5”，則樣本空間S={ω1,ω2,ω3},P{X=1}=P{取出球的號碼等于5}=1/10,求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2},并計(jì)算P{X1∣X≠0}.解答：依題意知，12c+34c+58c+716c=1, P{X=4}=C32?1C53=310,P{3X60},P{X20}=P{X=30}+P{X=40}=.就是說，.習(xí)題6設(shè)自動生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為p=,(3)，則m應(yīng)滿足P{X≤m1}=∑k=0m1()k()=1()m,=,求他一次投籃時，投籃命中的概率分布.解答：此運(yùn)動員一次投籃的投中次數(shù)是一個隨機(jī)變量，設(shè)為X,XP{X=1}=C73C31C103=36120,P{X=2}=C71C32C103=21120,P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律為0123則隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=310310?310710=(310)k1710,k=1,2,?.習(xí)題10設(shè)隨機(jī)變量X～b(2,p),Y～b(3,p),P{Y≥1}=1P{Y=0}=1(2/3)3=19/27.習(xí)題11紡織廠女工照顧800個紡綻，,800,)F(0+0)=F(0)=0,135X113可知∞x+∞。～N(0,1).解答：應(yīng)填3+X2.由正態(tài)分布的概率密度知μ=3,σ=2由Y=Xμσ～N(0,1),F(x).解答：P{X≤}=∫∞(x)dx=∫∞00dx+∫=x2∣=,P{X=}=P{X≤}P{X}=∫∞(x)dx∫∞(x)dx=0.當(dāng)X≤0時，F(xiàn)(x)=0。F(x)={A+Be2x,x00,x≤0,