【正文】 =1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.習(xí)題3(2)：試求：P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一個(gè)大于等于0} 故所給的一組實(shí)數(shù)必是某二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布. 因(X,Y)只取上述四組可能值，故事件：X\Y1/600 (2)求P{X1,Y3}。設(shè)0≤x≤1,0≤y≤1,F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函數(shù)F(x,y)在平面各區(qū)域的表達(dá)式01P{x=0}=.因?yàn)镻{x=0,y=0}≠P{x=0}?P{y=0},(2)求8月份的訂單數(shù)為51時(shí)，9月份訂單數(shù)的條件分布律.解答：(1)邊緣分布律為X5152535455pk51525354553/81/37/24012fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2x1y2,yx1,0,其它,對(duì)?x∈(0,1),2101/2fX(x)=12πex22，所以20134211/21201FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}.當(dāng)z0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=P(?)=0。顯然所以當(dāng)z≤0時(shí)，fZ(z)=0。fZ(z)=∫∞+∞fX(x)fY(zx)dx=∫∞+∞fX(zy)fY(y)dyfY(x)={∫0111e1e(x+y)dx=ey,0y+∞,0,其它（3）因?yàn)閒(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X與Y獨(dú)立，故=1[1P{Xz}][1P{Yz}]=1[1F1{z}][1F2{z}]F(z)={1e(α+β)z,z≥00,z0,從而P{amin{X,Y}≤b}=FZ(b)FZ(a),=1[P{Xz}]2,代入得 P{X=1,Y=0}=2101212=536,P{X=0,Y=1}=1021212=536, P{X=1,Y=1}=221212=136,(2)不放回抽樣，(X,Y)的分布律如下：P{X=0,Y=0}=1091211=4566, P{X=0,Y=1}=1021211=1066,P{X=1,Y=0}=2101211=1066, P{X=1,Y=1}=211211=166,Y\習(xí)題2假設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，隨機(jī)變量 Xk={0,若Y≤k1,若Yk(k=1,2),求(X1,X2)的聯(lián)合分布率與邊緣分布率.解答：因?yàn)閅服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，X1={0,若Y≤11,若Y1, 所以有 P{X1=1}=P{Y1}=∫1+∞eydy=e1, P{X1=0}=1e1,同理 P{X2=1}=P{Y2}=∫2+∞eydy=e2, P{X2=0}=1e2,因?yàn)? P{X1=1,X2=1}=P{Y2}=e2， P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}P{X1=1,X2=1}=e1e2, P{X1=0,X2=0}=P{Y≤1}=1e1, P{X1=0,X2=1}=P{X1=0}P{X1=0,X2=0}=0,故(X1,X2)聯(lián)合分布率與邊緣分布率如下表所示：X1\slashX201P{X1=i}01e101e11e1e2e2e1P{X2=j}1e2e203/709/703/702/7018/7018/702/703/709/703/700習(xí)題4設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律及關(guān)于X與Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處：X\Yp?j1/6y3x21/81綜上所述，得(X,Y)聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x,y)={0,x1或y11/4,1≤x2,1≤y05/12,x≥2,1≤y01/2,1≤x2,y≥01,x≥2,y≥0.(3)由FX(x)=P{X≤x,Y+∞}=∑xix∑j=1+∞pij, 得(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為：
。1/21/4y1x101=[P{Xa}]2[P{Xb}].=1P{Xz,Yz}=1P{Xz}P{Yz}故F(z)=P{Z≥z}=P{min(X,Y)≤z}fX(x)={∫0+∞11e1e(x+y)dy=ex1ex,0x1,0,其它，即={∫0+∞12(x+y)e(x+y)dy,x00,x≤0f(x,y)=12πex2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.解:V={0,X≤2Y1,X2Y,求U與V的聯(lián)合概率分布.解答：依題(U,V)的概率分布為pi1/101/57/10pi(3)Z=X/Y。V\概率\U1Φ(0)=,=12π[12π∫∞1ex22dx12π∫∞0ex22dx]故由上式有P{X+y=1}=P{X=2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112,1/41/31/121/3表(a)fY(y)=∫∞+∞f(x,y)dx={32(1y2),0y10,其它.(2)對(duì)?y∈(0,1),pkpkk=51,52,53,54,55.列表如下:k將每列的概率相加，可得P{Y=j}.Y5152535455類似可得f(x,y)={(2x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求邊緣概率密度f(wàn)Y(y).解答：fX(x)=∫∞+∞f(x,y)dy有(2)X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y).解答：(1)由于1=∫∞+∞∫∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)當(dāng)x≤0或y≤0時(shí)，顯然F(x,y)=0。(4)求P{X+Y≤4}.解答：如圖所示(1)由∫∞+∞∫∞+∞f(x,y)dxdy=1,其概率密度為P{Y=13=112,P{Y=1}=13,關(guān)于的Y邊緣分布見(jiàn)下表：Y01/121/3{X=0,Y=13,(0,0),(1,1),(1,13),(2,0)且相應(yīng)概率依次為16,13,112,512,123fX(x)={1∣x∣,1x10,其它,求隨機(jī)變量Y=X2+1的分布函數(shù)與密度函數(shù).解答：X的取值范圍為(1,1),41019所以piK2K2≥0,亦即(k2)(K+1)≥0,證明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函數(shù).解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函數(shù).(2)由F1(x),F2(x)單調(diào)非減，右連續(xù)，且=eλaeλx\vlineaa+1=eλa(eλ(a+1)eλa)=1eλ.注意，a1a,求常數(shù)c及P{a1X≤a+1}.解答：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知∫∞+∞f(x)dx=1,F(x)=∫0x19tet3dt=1(1+x3)ex3故F(x)={1(1+x3)ex3,x≥00,x0,當(dāng)0x≤1時(shí)，F(xiàn)(x)=∫∞xf(t)dt=∫∞00tdt+∫0xtdt=12x2。于是有pipiP{X≤13}≈∑k=0139kk!e9≈,λ=np=300=9,可用泊松近似公式計(jì)算上面的概率. 因總共只有13條外線，要到外線的臺(tái)數(shù)不超過(guò)13，故即2500120元=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X,(3)因X～b(10,),故(1)P{X=3}=C103()3()7≈。所以c=1210,FY(y)=P{Y≤y}={0,y0y,0≤y≤11,y0,于是，Z的分布函數(shù)為③當(dāng)y=0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故這時(shí)取FY(y)=0,；②當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{1/y≤X0}=F(0)F(1/y),故這時(shí)fY(y)=1y2f(1y)。求下列隨機(jī)變量Y的概率密度：(1)Y=1X。=P{y12≤X≤y12=∫y12y1212πex2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe12?y12?122y1,y1,21513815習(xí)題3設(shè)隨機(jī)變量X服從[a,b]上的均勻分布，令Y=cX+d(c≠0),Y1038pi3/101/53/101/5習(xí)題2設(shè)X的分布律為P{X=k}=12k,k=1,2,?,故x.因此，.習(xí)題12某人去火車站乘車，有兩條路可以走. 第一條路程較短，但交通擁擠，所需時(shí)間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N(40,102)。則X1706～N(0,1).設(shè)公共汽車門(mén)的高度為xcm，由題意P{Xx},P{100X≤120}=Φ(12011012)Φ(10011012)所以Φ(x400060)=.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)人分布表得Φ()=,=1P{∣X10∣≤=1[Φ()Φ()]必有1P{X≤c}=P{X≤c}, 則三個(gè)電子管使用150小時(shí)都不需要更換的概率.解答：設(shè)電子管的使用壽命為X,∴B=1.(2) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=12πe(x+3)24(∞x+∞),則Y=175。(2)X落在(1,1]內(nèi)的概率.解答：(1)由于F(∞)=0,F(+∞)=1,(2)P{X2∣X≠1}.解答：(1)所以其分布函數(shù)F(x)=P{X≤x}={0,x,1≤x,3≤x51,x≥5.F(x)的圖形見(jiàn)圖.習(xí)題4設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為問(wèn)F(x)是否為某隨機(jī)變量的分布函數(shù).解答：首先，因?yàn)?≤F(x)≤1,?x∈(∞,+∞).其次，F(xiàn)(x)單調(diào)不減且右連續(xù)，即即n=800,p=,np=4,應(yīng)用泊松定理，所求概率為：所以3512036120211201120習(xí)題9一批產(chǎn)品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，取出的產(chǎn)品仍放回去，求直至取到正品為止所需次數(shù)X的概率分布.解答：由于每次取出的產(chǎn)品仍放回去，各次抽取相互獨(dú)立，下次抽取時(shí)情況與前一次抽取時(shí)完全相同，所以X的可能取值是所有正整數(shù)1,2,?,k,?.設(shè)第k次才取到正品(前k1次都取到次品),對(duì)應(yīng)概率分布為P{X=0}=C73C103=35120,m≈≈5,因此，., P{X1∣X≠0}=P{X1,X≠0}P{X≠0}=P{X=1}P{X≠0}P{X=2}=P{取出球的號(hào)碼大于5}=4/10. 離散型隨機(jī)變量及其概率分布習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},隨機(jī)事件及其概率 隨機(jī)事件習(xí)題1試說(shuō)明隨機(jī)試驗(yàn)應(yīng)具有的三個(gè)特點(diǎn)．習(xí)題2將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件A，B，C分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面”，試寫(xiě)出樣本空間及事件A，B，C中的樣本點(diǎn). 隨機(jī)事件的概率 古典概型與幾何概型 條件概率 事件的獨(dú)立性復(fù)習(xí)總結(jié)與總習(xí)題解答習(xí)題3. 證明下列等式：習(xí)題5.習(xí)題6.習(xí)題7習(xí)題8習(xí)題9習(xí)題10習(xí)題11習(xí)題12習(xí)題13習(xí)題14習(xí)題15習(xí)題16習(xí)題17習(xí)題18習(xí)題19習(xí)題20習(xí)題21習(xí)題22習(xí)題23習(xí)題24習(xí)題25習(xí)題26第二章 隨機(jī)變量及其分布 隨機(jī)變量習(xí)題1隨機(jī)變量的特征是什么？解答：①隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一個(gè)實(shí)值函數(shù).②隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，事先或試驗(yàn)前不知道取哪個(gè)值.③隨機(jī)變量取特定值的概率大小是確定的.習(xí)題2試述隨機(jī)變量的分類.解答：①若隨機(jī)變量X的所有可能取值能夠一一列舉出來(lái)，則稱X為離散型隨機(jī)變量；否則稱為非離散型隨機(jī)變量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段連續(xù)區(qū)間上取值，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量.習(xí)題3盒中裝有大小相同的球10個(gè)，編號(hào)為0,1,2,?,9,X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3則X取每個(gè)值的概率為(2)P{1≤X≤3}。c=3716=.由條件概率知P{X≥