【正文】 量可分離微分方程，分離變量dF(x)1F(x)=λdx,F(x)=∫∞xf(t)dt=∫∞00dt+∫01tdt+∫1x(2t)dt故當x≥0時有有P{X≤∣X≤}=P{X≤,X≤}P{X≤}分布函數(shù)F(x)滿足：(1)F(a)=1F(a)。F(a)+1F(a)=2[1F(a)].習題15設K在(0,5)上服從均勻分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有實根的概率.解答：因為K～U(0,5),(3)F(5)F(3)≈.習題18100件產(chǎn)品中，90個一等品，10個二等品，隨機取2個安裝在一臺設備上，若一臺設備中有i個(i=0,1,2)二等品，則此設備的使用壽命服從參數(shù)為λ=i+1的指數(shù)分布.(1)試求設備壽命超過1的概率 ；(2)已知設備壽命超過1，求安裝在設備上的兩個零件都是一等品的概率 .解答：(1)設X表示設備壽命. A表示“設備壽命超過1”，Bi表示“取出i個二等品”(i=0,1,2)，則X的密度函數(shù)為 fX(x)={λeλx,x00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2), P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002, P(A∣B0)=∫1+∞exdx=e1, P(A∣B1)=∫1+∞2e2xdx=e2, P(A∣B2)=∫1+∞3e3xdx=e3,由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈.(2)由貝葉斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈.習題19設隨機變量X的分布律為0149pi1/61/91/18(3)P{Xa,Y≤b}.解答：P{Xa,Y≤b}=F(+∞,b)F(a,b).習題3(1)：試求：有={∫(2x)dx,0≤y≤10,其它={(4yy2),0≤y≤10,其它.習題10設(X,Y)在曲線y=x2,y=x所圍成的區(qū)域G里服從均勻分布，求聯(lián)合分布密度和邊緣分布密度.解答：區(qū)域G的面積A=∫01(xx2)dx=16,所以x與y不獨立.習題2將某一醫(yī)藥公司9月份和8份的青霉素針劑的訂貨單分別記為X與Y. 據(jù)以往積累的資料知X和Y的聯(lián)合分布律為012fY(y)={2(5y)25,0≤y≤50,其它,求此人能及時上火車站的概率.解答：由題意知X的密度函數(shù)為fXY(x,y)={2(5y)125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它,故此人能及時上火車的概率為01當z0時，fZ(z)=∫0z12xexdx=12z2ez.于是，Z=X+Y的概率密度為=∫0+∞fX(zy)eydy.由0zy1得z1yz,可見：當z≤0時，有fX(zy)=0,?1(x)={αeαx,x00,x≤0,Xy13/8⑤當x≥2,y≥0時， F(x,y)=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=1} +P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0} =1。1/12P{amin{X,Y}≤b}=[P{Xa}]2[P{Xb}]2.解答：設min{X,Y}=Z,則=1P{min(X,Y)z}=1P{X≥z,Y≥z} FX(x)=∫0xet1e1dt=1ex1e1,0x1，所以f(x,y)={11e1e(x+y),0x1,0y+∞,0,其它.（2）由邊緣概率密度的定義得f(x,y)≠fX(x)fY(y),x0,y0,所以X與Y不獨立.(2)用卷積公式求fZ(z)=∫∞+∞f(x,zx)dx.當{x0zx0=∫01dy∫y2y12dx=14,　P{U=1,V=1}=1P{U=0,V=0}P{U=0,V=1}P{U=1,V=0}=1/2,即U\VP{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(ij),于是，隨機變量U和V的聯(lián)合概率分布為=12π[Φ(1)Φ(0),又Φ(1)=,P{a有實根}=P{X2≥Y}=∫∫x2yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212ey2dy而火車這段時間開出的時間Y的密度P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj),從而(X,Y)的聯(lián)合概率分布為X\Y1/2132101/2P{X=2}P{Y=1/2}P{X=1}P{Y=1/2}P{X=0}P{Y=1/2}P{X=1/2}P{Y=1/2}P{X=2}P{Y=1}P{X=1}P{Y=1}P{X=0}P{Y=1}P{X=1/2}P{Y=1}P{X=2}P{Y=3}P{X=1}P{Y=3}P{X=0}P{Y=3}P{X=1/2}P{Y=3}亦即表X\Y對應X的值,將每行的概率相加,可得P{X=i}.對應Y的值(最上邊的一行),由(1)知P{y=0}=,(2)P{0Y≤b}。 二維隨機變量及其分布習題1設(X,Y)的分布律為X\Y=(4x36x2+3x)∣(4x36x2+3x)∣==.習題13若F1(x),F2(x)為分布函數(shù)，(1)判斷F1(x)+F2(x)是不是分布函數(shù)，為什么？(2)若a1,a2是正常數(shù)，且a1+a2=1.P{6X≤9}=F(9)F(6)=(14e3)(13e2)=3e24e3.習題11已知X～f(x)={cλeλx,xa0,其它(λ0),101 P{X=k}=C300k()k()300k(k=0,1,2,?,300),因n=300很大，p=,≈。k=1,2,?,20.因為P(?K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，故FX(x)是單調增加函數(shù)，其反函數(shù)FX1(y)存在，又Y在[0,1]上服從均勻分布，故Y的分布函數(shù)為是單調函數(shù)，所以∴a=1/10.(2)使P{Xx}≤.解答：已知血壓X～N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X11012≤512≈1Φ()=,即所以X32=Z～N(0,1).(1)欲使P{Xc}=P{X≤c},f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一電子管的使用壽命為X,當x≥0時，F(xiàn)(x)=∫∞x12e∣x∣dt=∫∞012etdt+∫0x12etdtF(x)=P{X≤x}={0,x0xa,0≤x,x≥aF(x)={0,x0x2,0≤x1x12,1≤x,x≥,求P{X≤},P{X},P{X≤2}.解答：P{X≥}=P{}F()=(),P{X}=1P{X≤}=1F()=,P{X≤2}=F(2)F()=11=0.習題6設隨機變量X的分布函數(shù)為是隨機變量X的分布函數(shù)，則X是___________型的隨機變量.解答：離散.由于F(x)是一個階梯函數(shù)，故知X是一個離散型隨機變量.習題2設F(x)={0x0x20≤1,1x≥14)=e4(1+41!+422!)≈.習題12設書籍上每頁的印刷錯誤的個數(shù)X服從泊松分布，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)在某本書上，有一個印刷錯誤與有兩個印刷錯誤的頁數(shù)相同，求任意檢驗4頁，每頁上都沒有印刷錯誤的概率.解答：\becauseP{X=1}=P{X=2},求P{Y≥1}.解答：因為X～b(2,p),P{X=0}=(1p)2=1P{X≥1}=15/9=4/9,所以p=1/3.因為Y～b(3,p),0(2)P{1≤X≤3}。X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3則X取每個值的概率為隨機事件及其概率 隨機事件習題1試說明隨機試驗應具有的三個特點．習題2將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件A，B，C分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面”，試寫出樣本空間及事件A，B，C中的樣本點. 隨機事件的概率 古典概型與幾何概型 條件概率 事件的獨立性復習總結與總習題解答習題3. 證明下列等式：習題5.習題6.習題7習題8習題9習題10習題11習題12習題13習題14習題15習題16習題17習題18習題19習題20習題21習題22習題23習題24習題25習題26第二章 隨機變量及其分布 隨機變量習題1隨機變量的特征是什么？解答：①隨機變量是定義在樣本空間上的一個實值函數(shù).②隨機變量的取值是隨機的，事先或試驗前不知道取哪個值.③隨機變量取特定值的概率大小是確定的.習題2試述隨機變量的分類.解答：①若隨機變量X的所有可能取值能夠一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量；否則稱為非離散型隨機變量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段連續(xù)區(qū)間上取值，則稱X為連續(xù)型隨機變量.習題3盒中裝有大小相同的球10個，編號為0,1,2,?,9, m≈≈5,因此，.,所以即問F(x)是否為某隨機變量的分布函數(shù).解答：首先，因為0≤F(x)≤1,?x∈(∞,+∞).其次，F(xiàn)(x)單調不減且右連續(xù)，即(2)P{X2∣X≠1}.解答：(1)(2)X落在(1,1]內的概率.解答：(1)由于F(∞)=0,F(+∞)=1, 連續(xù)型隨機變量及其概率密度習題1設隨機變量X的概率密度為f(x)=12πe(x+3)24(∞x+∞),則Y=175?！郆=1.(2)則三個電子管使用150小時都不需要更換的概率.解答：設電子管的使用壽命為X, 必有1P{X≤c}=P{X≤c},P{100X≤120}=Φ(12011012)Φ(10011012)Y1038pi3/101/53/101/5習題2設X的分布律為P{X=k}=12k,k=1,2,?,=P{y12≤X≤y12=∫y12y1212πex2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe12?y12?122y1,y1,所以c=1210,(3)因X～b(10,),λ=np=300=9,可用泊松近似公式計算上面的概率. 因總共只有13條外線，要到外線的臺數(shù)不超過13，故pipiF(x)=∫0x19tet3dt=1(1+x3)ex3故F(x)={1(1+x3)ex3,x≥00,x0,求常數(shù)c及P{a1X≤a+1}.解答：由概率密度函數(shù)的性質知∫∞+∞f(x)dx=1,=eλaeλx\vlineaa+1=eλa(eλ(a+1)eλa)=1eλ.注意，a1a,證明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函數(shù).解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函數(shù).(2)由F1(x),F2(x)單調非減，右連續(xù)，且41019所以fX(x)={1∣x∣,1x10,其它,求隨機變量Y=X2+1的分布函數(shù)與密度函數(shù).解答：X的取值范圍為(1,1),123{X=0,Y=13,P{Y=13=112,P{Y=1}=13,關于的Y邊緣分布見下表：Y(2)X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y).解答：(1)由于1=∫∞+∞∫∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)當x≤0或y≤0時，顯然F(x,y)=0。f(x,y)={(2x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求邊緣概率密度fY(y).解答：fX(x)=∫∞+∞f(x,y)dy類似可得將每列的概率相加，可得P{Y=j}.YpkfY(y)=∫∞+∞f(x,y)dx={32(1y2),0y10,其它.(2)對?y∈(0,1),Φ(0)=,V\概率\U1(3)Z=X/Y。piV={0,X≤2Y1,X2Y,求U與V的聯(lián)合概率分布.解答：依題(U,V)的概率分布為={∫0+∞12(x+y)e(x+y)dy,x00,x≤0即=[P{Xa}]2[P{Xb}].1/4綜上所述，得(X,Y)聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x,y)={0,x1或y11/4,1≤x2,1≤y05/12,x≥2,1≤