【正文】 隨機(jī)事件及其概率 隨機(jī)事件習(xí)題1試說(shuō)明隨機(jī)試驗(yàn)應(yīng)具有的三個(gè)特點(diǎn)．習(xí)題2將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件A，B，C分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面”，試寫(xiě)出樣本空間及事件A，B，C中的樣本點(diǎn). 隨機(jī)事件的概率 古典概型與幾何概型 條件概率 事件的獨(dú)立性復(fù)習(xí)總結(jié)與總習(xí)題解答習(xí)題3. 證明下列等式：習(xí)題5.習(xí)題6.習(xí)題7習(xí)題8習(xí)題9習(xí)題10習(xí)題11習(xí)題12習(xí)題13習(xí)題14習(xí)題15習(xí)題16習(xí)題17習(xí)題18習(xí)題19習(xí)題20習(xí)題21習(xí)題22習(xí)題23習(xí)題24習(xí)題25習(xí)題26第二章 隨機(jī)變量及其分布 隨機(jī)變量習(xí)題1隨機(jī)變量的特征是什么？解答：①隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一個(gè)實(shí)值函數(shù).②隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，事先或試驗(yàn)前不知道取哪個(gè)值.③隨機(jī)變量取特定值的概率大小是確定的.習(xí)題2試述隨機(jī)變量的分類(lèi).解答：①若隨機(jī)變量X的所有可能取值能夠一一列舉出來(lái)，則稱(chēng)X為離散型隨機(jī)變量；否則稱(chēng)為非離散型隨機(jī)變量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段連續(xù)區(qū)間上取值，則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量.習(xí)題3盒中裝有大小相同的球10個(gè)，編號(hào)為0,1,2,?,9,從中任取1個(gè)，觀(guān)察號(hào)碼是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情況，試定義一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)表達(dá)上述隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果，并寫(xiě)出該隨機(jī)變量取每一個(gè)特定值的概率.解答：分別用ω1,ω2,ω3表示試驗(yàn)的三個(gè)結(jié)果“小于5”，“等于5”，“大于5”，則樣本空間S={ω1,ω2,ω3},定義隨機(jī)變量X如下：X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3則X取每個(gè)值的概率為P{X=0}=P{取出球的號(hào)碼小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的號(hào)碼等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的號(hào)碼大于5}=4/10. 離散型隨機(jī)變量及其概率分布習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2},得λeλ=λ^2/2e^λ,解得λ=2.習(xí)題2設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,試求(1)P{12X52。 (2)P{1≤X≤3}。(3)P{X3}.解答：(1)P{12X52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15。(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25。(3)P{X3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.習(xí)題3已知隨機(jī)變量X只能取1,0,1,2四個(gè)值，相應(yīng)概率依次為12c,34c,58c,716c,試確定常數(shù)c,并計(jì)算P{X1∣X≠0}.解答：依題意知，12c+34c+58c+716c=1,即3716c=1,解得 c=3716=.由條件概率知P{X1∣X≠0}=P{X1,X≠0}P{X≠0}=P{X=1}P{X≠0}=12c134c=24c3==.習(xí)題4一袋中裝有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5.在袋中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布律.解答：隨機(jī)變量X的可能取值為3,4,5.P{X=3}=C22?1C53=110,P{X=4}=C32?1C53=310,P{X=5}=C42?1C53=35,所以X的分布律為X345pk1/103/103/5習(xí)題5某加油站替出租車(chē)公司代營(yíng)出租汽車(chē)業(yè)務(wù)，每出租一輛汽車(chē)，每天加油站要多付給職工服務(wù)費(fèi)60元，設(shè)每天出租汽車(chē)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，它的概率分布如下：X10203040pi求因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率.解答：因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為：P{3X60},即P{X20},P{X20}=P{X=30}+P{X=40}=.就是說(shuō)，.習(xí)題6設(shè)自動(dòng)生產(chǎn)線(xiàn)在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為p=,當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程中出現(xiàn)廢品時(shí)立即進(jìn)行調(diào)整，X代表在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)，試求：(1)X的概率分布； (2)P{X≥5}。(3)?解答：(1)P{X=k}=(1p)kp=()k,k=0,1,2,?。(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞()k=()5。(3)，則m應(yīng)滿(mǎn)足P{X≥m}=,即P{X≤m1}=. 由于P{X≤m1}=∑k=0m1()k()=1()m,=,解上式得m≈≈5,因此，.,求他一次投籃時(shí)，投籃命中的概率分布.解答：此運(yùn)動(dòng)員一次投籃的投中次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)為X,它可能的值只有兩個(gè)，即0和1.X=0表示未投中，其概率為p1=P{X=0}==,X=1表示投中一次，其概率為 p2=P{X=1}=.則隨機(jī)變量的分布律為X01P習(xí)題8某種產(chǎn)品共10件，其中有3件次品，現(xiàn)從中任取3件，求取出的3件產(chǎn)品中次品的概率分布.解答：設(shè)X表示取出3件產(chǎn)品的次品數(shù)，則X的所有可能取值為0,1,2,3.對(duì)應(yīng)概率分布為P{X=0}=C73C103=35120,P{X=1}=C73C31C103=36120,P{X=2}=C71C32C103=21120,P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律為X0123P3512036120211201120習(xí)題9一批產(chǎn)品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，取出的產(chǎn)品仍放回去，求直至取到正品為止所需次數(shù)X的概率分布.解答：由于每次取出的產(chǎn)品仍放回去，各次抽取相互獨(dú)立，下次抽取時(shí)情況與前一次抽取時(shí)完全相同，所以X的可能取值是所有正整數(shù)1,2,?,k,?.設(shè)第k次才取到正品(前k1次都取到次品),則隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=310310?310710=(310)k1710,k=1,2,?.習(xí)題10設(shè)隨機(jī)變量X～b(2,p),Y～b(3,p),若P{X≥1}=59,求P{Y≥1}.解答：因?yàn)閄～b(2,p),P{X=0}=(1p)2=1P{X≥1}=15/9=4/9,所以p=1/3.因?yàn)閅～b(3,p),所以 P{Y≥1}=1P{Y=0}=1(2/3)3=19/27.習(xí)題11紡織廠(chǎng)女工照顧800個(gè)紡綻，,在τ這段時(shí)間內(nèi)斷頭次數(shù)不大于2的概率.解答：以X記紡錠斷頭數(shù),n=800,p=,np=4,應(yīng)用泊松定理，所求概率為：P{0≤X≤2}=P{?0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k。800,)≈∑k=02P(k。4)=e4(1+41!+422!)≈.習(xí)題12設(shè)書(shū)籍上每頁(yè)的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)X服從泊松分布，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在某本書(shū)上，有一個(gè)印刷錯(cuò)誤與有兩個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)相同，求任意檢驗(yàn)4頁(yè)，每頁(yè)上都沒(méi)有印刷錯(cuò)誤的概率.解答：\becauseP{X=1}=P{X=2},即λ11!eλ=λ22!eλ?λ=2,∴P{X=0}=e2,∴p=(e2)4=e8. 隨機(jī)變量的分布函數(shù)習(xí)題1F(X)={0,x,2≤x01,x≥0,是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，則X是___________型的隨機(jī)變量.解答：離散.由于F(x)是一個(gè)階梯函數(shù)，故知X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.習(xí)題2設(shè)F(x)={0x0x20≤1,1x≥1問(wèn)F(x)是否為某隨機(jī)變量的分布函數(shù).解答：首先，因?yàn)?≤F(x)≤1,?x∈(∞,+∞).其次，F(xiàn)(x)單調(diào)不減且右連續(xù)，即F(0+0)=F(0)=0,F(1+0)=F(1)=1,且F(∞)=0,F(+∞)=1,所以F(x)是隨機(jī)變量的分布函數(shù).習(xí)題3已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P{X=1}=,P{X=3}=,P{X=5}=,試寫(xiě)出X的分布函數(shù)F(x)，并畫(huà)出圖形.解答：由題意知X的分布律為：X135Pk所以其分布函數(shù)F(x)=P{X≤x}={0,x,1≤x,3≤x51,x≥5.F(x)的圖形見(jiàn)圖.習(xí)題4設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)={0,x,1≤x,1≤x31,x≥3,試求：(1)X的概率分布；(2)P{X2∣X≠1}.解答：(1)X113pk(2)P{X2∣X≠1}=P{X=1}P{X≠1}=23.習(xí)題5設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)={0,x0x2,0≤x1x12,1≤x,x≥,求P{X≤},P{X},P{X≤2}.解答：P{X≥}=P{}F()=(),P{X}=1P{X≤}=1F()=,P{X≤2}=F(2)F()=11=0.習(xí)題6設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctanx(∞x+∞),試求：(1)系數(shù)A與B。(2)X落在(1,1]內(nèi)的概率.解答：(1)由于F(∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(π2)A+B(π2)=1=0?A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarctanx,∞x+∞。(2)P{1X≤1}=F(1)F(1)=(12+1πarctan1)[12+1πarctanx(1)]=12+1π?π4121π(π4)=12.習(xí)題7在區(qū)間[0,a]上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，[0,a]中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比例，試求X的分布函數(shù).解答：F(x)=P{X≤x}={0,x0xa,0≤x,x≥a 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=12πe(x+3)24(∞x+∞),則Y=175?！玁(0,1).解答：應(yīng)填3+X2.由正態(tài)分布的概率密度知μ=3,σ=2由Y=Xμσ～N(0,1),所以Y=3+X2～N(0,1).習(xí)題2已知X～f(x)={2x,0x10,其它,求P{X≤}。P{X=}。F(x).解答：P{X≤}=∫∞(x)dx=∫∞00dx+∫=x2∣=,P{X=}=P{X≤}P{X}=∫∞(x)dx∫∞(x)dx=0.當(dāng)X≤0時(shí)，F(xiàn)(x)=0。當(dāng)0x1時(shí)，F(xiàn)(x)=∫∞xf(t)dt=∫∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2。當(dāng)X≥1時(shí)，F(xiàn)(x)=∫∞xf(t)dt=∫∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0x,x≥1習(xí)題3設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)={A+Be2x,x00,x≤0,試求：(1)A,B的值；(2)P{1X1}。(3)概率密度函數(shù)F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be2x)=1,∴A=1。又\becauselimx→0+(A+Be2x)=F(0)=0, ∴B=1.(2)P{1X1}=F(1)F(1)=1e2.(3)f(x)=F′(x)={2ex,x00,x≤0.習(xí)題4服從拉普拉斯分布的隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)(x)=Ae∣x∣,求系數(shù)A及分布函數(shù)F(x).解答：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知，∫∞+∞f(x)dx=1,即 ∫∞+∞Ae∣x∣dx=1,而∫∞+∞Ae∣x∣dx=∫∞0Aexdx+∫0+∞Aexdx=Aex∣∞0+(Aex∣0+∞)=A+A=2A或∫∞+∞Aexdx=2∫0+∞Aexdx=2Aex∣0+∞=2A,所以2A=1,即A=1/2.從而f(x)=12e∣x∣,∞x+∞,又因?yàn)镕(x)=∫∞xf(t)dt,所以當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)=∫∞x12e∣t∣dt=12∫∞xetdt=12et∣∞x=12ex。當(dāng)x≥0時(shí)，F(xiàn)(x)=∫∞x12e∣x∣dt=∫∞012etdt+∫0x12etdt=12et∣∞012et∣0x=1212ex+12=112ex,從而F(x)={12ex,x0112ex,x≥0.習(xí)題5某型號(hào)電子管，其壽命(以小時(shí)計(jì))為一隨機(jī)變量，概率密度f(wàn)(x)={100x2,x≥1000,其它,某一電子管的使用壽命為X,則三個(gè)電子管使用150小時(shí)都不需要更換的概率.解答：設(shè)電子管的使用壽命為X,則電子管使用150小時(shí)以上的概率為P{X150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx160