【正文】 ③當(dāng)x≥2,1≤y0時(shí)， F(x,y)=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=1}=5/12。3/4x11/241x21/8y301FZ(z)=P{min{X,Y}≤z}=1P{min{X,Y}z} F1(z)={∫0zαeαxdx=1eαz,z≥00,z0, 試求系統(tǒng)L的壽命Z的概率密度.解答：設(shè)Z=min{X,Y},其概率密度分別為當(dāng)z0時(shí)，fZ(z)={12z2ez,z00,z≤0.習(xí)題6設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，若X服從(0,1)上的均勻分布，Y服從參數(shù)1的指數(shù)分布，求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度.解答：據(jù)題意，X,Y的概率密度分布為P{U=1,V=0}=P{XY,X≤2Y}=P{YX≤2Y}=∫01dx∫x112dy=14,1/51/53/101/51/10習(xí)題3設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)服從矩形區(qū)域D={(x,y∣0≤x≤2,0≤y≤1}的均勻分布，且1/21/51/101/101/10 max{X,Y}(1,1)(1,1)(1,2)(2,1)(2,1)(2,2)201134112224111/2221112222于是(1) (2)X+Y(4)Z=max{X,Y}的分布律.解答：與一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律的計(jì)算類(lèi)型，Z的相同值的概率要合并.概率 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都等可能地取1,2,3為值，求隨機(jī)變量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的聯(lián)合分布.解答：由于U≥V,求它有實(shí)根的概率.解答：(1)由題設(shè)易知fX(x)={1,0x10,其它,又X,Y相互獨(dú)立，故X與Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=fX(x)?fY(y)={12ey2,0x1,y00,其它。f(x,y)=12πe12(x+y)2.習(xí)題8設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)(x)=12e∣x∣(∞x+∞),問(wèn)：X與∣X∣是否相互獨(dú)立？解答：若X與∣X∣相互獨(dú)立，則?a0,=1P{X=1,Y=1}P{X=12,Y=12P{X+Y≠0}.X2101/2已知(X,Y)的概率密度函數(shù)為f(x,y)={3x,0x1,0yx0,其它,012(2)在X=2的條件下,Y的條件分布律.X\Y5152535455pk7/157/307/301/15(1)求Y的邊緣分布律；(2)求P{Y=0∣X=0},P{Y=1∣X=0}。f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,從而fX(x)=∫∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(xx2),0≤x≤1,有f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,試求：(1)常數(shù)c。(3)求P{X}。P{X≤Y}=P{XY},=P{X≥0}+P{Y≥0}P{X≥0,Y≥0}解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.習(xí)題3(3)：試求：(1)P{12X32,0Y4。解答：P{aX≤b,Y≤c}=F(b,c)F(a,c).習(xí)題2(2)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用F(x,y)表示：1/3a1/9求a.解答：由分布律性質(zhì)∑i?jPij=1,fY(x)={0,y3(y32)3e(y32),y≥3.習(xí)題21設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)X(x)={ex,x00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因?yàn)棣?min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1, β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.類(lèi)似上題可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1y+∞0,其它 ={1/y2,1y+∞0,其它.習(xí)題22設(shè)隨便機(jī)變量X的密度函數(shù)為1/57/301/511/30注：隨機(jī)變量的值相同時(shí)要合并，對(duì)應(yīng)的概率為它們概率之和.習(xí)題20設(shè)隨機(jī)變量X的密度為21013X221013pi當(dāng)t0時(shí)，F(xiàn)(t)=0,∴=1∫∞a?(x)dx=1F(a).(2)P{∣X∣a}=P{Xa}+P{Xa}=F(a)+P{X≥a}從而c=eλa.∫∞+∞f(x)dx=∫∞a0dx+∫a+∞cλeλxdxF(x)={0,x≤01eλx,x0(λ0),從而電子管在T小時(shí)內(nèi)損壞的概率為故C=1.于是F(x)=1eλx,x0,λ0,而P{xX≤x+Δx/X}=P{xX≤x+Δx,Xx}P{Xx}.解答：應(yīng)填1。從而X的分布律為下表所示：X(2)X的分布函數(shù).解答：(1)\because離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)P{X=xi}=pi,P{X≥1}=1P{X=0}=1e5/2≈.習(xí)題6設(shè)X為一離散型隨機(jī)變量，其分布律為X300臺(tái)分機(jī)可看成300次伯努利試驗(yàn)，一次試驗(yàn)是否要到外線(xiàn). 設(shè)要到外線(xiàn)的事件為A, =1[C100()0()10+C101()1()9+C102()2()8]求射擊10炮,(1)命中3炮的概率。={0,FX(z)0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)1由于FX(z)為X的分布函數(shù)，故0≤FX(z)≤1.FX(z)0和FX(z)1均勻不可能，故上式僅有FZ(z)=FX(z),其分布函數(shù)為FY(x),θ=59(T32),fY(y)={1y2?f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{y≤X≤y}=F(y)F(y)這時(shí)fY(y)=f(y)+f(y)。P{X45}=Φ(45504)=Φ()=1Φ()==所以只有45分鐘應(yīng)走第一條路.哪一條路線(xiàn)在開(kāi)車(chē)之前到達(dá)火車(chē)站的可能性大就走哪一條路線(xiàn).(1)因?yàn)镻{X60}=Φ(604010)=Φ(2)=,Φ(x11012)≥,查表得x10012≥,在該地區(qū)任選一18歲女青年，測(cè)量她的血壓X.(1)求P{X≤105},P{100X≤120}。即=1[2Φ()1]=1[2]==.，則Y～b(100,).因?yàn)閚很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,所以d≤.習(xí)題8設(shè)測(cè)量誤差X～N(0,102), c32=0,(2)設(shè)d滿(mǎn)足P{Xd}≥,p=(2/3)3=8/27.習(xí)題6設(shè)一個(gè)汽車(chē)站上，某路公共汽車(chē)每5分鐘有一輛車(chē)到達(dá)，設(shè)乘客在5分鐘內(nèi)任一時(shí)間到達(dá)是等可能的，試計(jì)算在車(chē)站候車(chē)的10位乘客中只有1位等待時(shí)間超過(guò)4分鐘的概率.解答：設(shè)X為每位乘客的候車(chē)時(shí)間，則X服從[0,5]上的均勻分布. 設(shè)Y表示車(chē)站上10位乘客中等待時(shí)間超過(guò)4分鐘的人數(shù). .P{X150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx又因?yàn)镕(x)=∫∞xf(t)dt,F(x)={A+Be2x,x00,x≤0,試求：(1)A,B的值；(2)P{1X1}。F(x).解答：P{X≤}=∫∞(x)dx=∫∞00dx+∫=x2∣=,P{X=}=P{X≤}P{X}=∫∞(x)dx∫∞(x)dx=0.當(dāng)X≤0時(shí)，F(xiàn)(x)=0?！辺+∞。135800,)P{Y≥1}=1P{Y=0}=1(2/3)3=19/27.習(xí)題11紡織廠女工照顧800個(gè)紡綻，,P{X=k}=310310?310710=(310)k1710,k=1,2,?.習(xí)題10設(shè)隨機(jī)變量X～b(2,p),Y～b(3,p),0123P{X=1}=C73C31C103=36120,P{X=2}=C71C32C103=21120,XP{X≤m1}=∑k=0m1()k()=1()m,=,(3)，則m應(yīng)滿(mǎn)足P{X20}=P{X=30}+P{X=40}=.就是說(shuō)，.習(xí)題6設(shè)自動(dòng)生產(chǎn)線(xiàn)在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為p=,P{X=4}=C32?1C53=310, 并計(jì)算P{X1∣X≠0}.解答：依題意知，12c+34c+58c+716c=1,P{X=1}=P{取出球的號(hào)碼等于5}=1/10,定義隨機(jī)變量X如下：P{X=0}=P{取出球的號(hào)碼小于5}=5/10,得=115+215+315=25。即P{X20},(2)P{X≥5}。它可能的值只有兩個(gè)，即0和1.X=0表示未投中，其概率為 1XF(∞)=0,F(+∞)=1,所以F(x)是隨機(jī)變量的分布函數(shù).習(xí)題3已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P{X=1}=,P{X=3}=,P{X=5}=,試寫(xiě)出X的分布函數(shù)F(x)，并畫(huà)出圖形.解答：由題意知X的分布律為：X所以Y=3+X2～N(0,1).習(xí)題2已知X～f(x)={2x,0x10,其它,又求系數(shù)A及分布函數(shù)F(x).解答：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知，∫∞+∞f(x)dx=1,∫∞+∞Aexdx=2∫0+∞Aexdx=2Aex∣0+∞=2A,p=P{∣X∣}=1P{∣X∣≤}P{Y≥3}≈150e50!51e51!52e52!=137225≈.習(xí)題9某玩具廠裝配車(chē)間準(zhǔn)備實(shí)行計(jì)件超產(chǎn)獎(jiǎng)，為此需對(duì)生產(chǎn)定額作出規(guī)定. 根據(jù)以往記錄，各工人每月裝配產(chǎn)品數(shù)服從正態(tài)分布N(4000,3600).假定車(chē)間主任希望10%的工人獲得超產(chǎn)獎(jiǎng)，求：工人每月需完成多少件產(chǎn)品才能獲獎(jiǎng)？解答：用X表示工人每月需裝配的產(chǎn)品數(shù)，則X～N(4000,3600).設(shè)工人每月需完成x件產(chǎn)品才能獲獎(jiǎng)，依題意得P{X≥x}=,求x,第二條路程較長(zhǎng)，但意外阻塞較少，所需時(shí)間服從正態(tài)分布N(50,42),sinxnπ2={1,當(dāng)n=4k10,當(dāng)n=2k1,當(dāng)n=4k3,所以Y=sin(π2X)只有三個(gè)可能值1,0,1.fY(y)={fX(ydc)?1∣c∣,a≤ydc≤b0,其它,當(dāng)c0時(shí)，fY(y)={1c(ba),ca+d≤y≤cb+d0,其它,當(dāng)c0時(shí)，fY(y)={1c(ba),cb+d≤y≤ca+d0,其它.習(xí)題4設(shè)隨機(jī)變量X服從[0,1]上的均勻分布，求隨機(jī)變量函數(shù)Y=eX的概率密度f(wàn)Y(y).解答：f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，y∈(1,e),綜上所述fY(y)={f(y)+f(y),y00,y≤0.習(xí)題7某物體的溫度T(°F)是一個(gè)隨機(jī)變量, 且有T～N(,2),k0=[(n+1)p]=[(10+1)]=[]=7,故最可能命中7炮.習(xí)題3在保險(xiǎn)公司里有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了人壽保險(xiǎn)，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交120元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司里領(lǐng)20000元賠償金，求:(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率。則保險(xiǎn)公司在這一年中應(yīng)付出200000X(元)，要使保險(xiǎn)公司虧本，則必須求：(1)某一天從中午12至下午3時(shí)沒(méi)有收到緊急呼救的概率；(2)某一天從中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次緊急呼救的概率.解答：(1)t=3,λ=3/2,P{∣X∣π6=P{π6Xπ6其中λ0是常數(shù)，求電子管在損壞前已使用時(shí)數(shù)X的分布函數(shù)F(x)，并求電子管在T小時(shí)內(nèi)損壞的概率.解答：因X的可能取值充滿(mǎn)區(qū)間(0,+∞),F(x+Δx)F(x)Δx=[1F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(x)=∫∞00dt+∫01tdt+∫12(2t)dt+∫2x0dt=1,顯然，當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)=0,P{X≥6}=1P{X6}=1P(X≤6}=1F(6) 計(jì)算P{X≤∣X≤}.解答：根據(jù)條件概率。a1F1(∞)+a2F2(∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.從而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函數(shù).習(xí)題14設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度?(x)為偶函數(shù)，試證對(duì)任意的a0,所以P{方程有實(shí)根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.習(xí)題16某單位招聘155人，按考試成績(jī)錄用，共有526人報(bào)名，假設(shè)報(bào)名者考試成績(jī)X～N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若從高分到低分依次錄取，某人成績(jī)?yōu)?8分，問(wèn)此人是否能被錄??？解答：要解決此問(wèn)題首先確定μ,σ2, 因?yàn)榭荚嚾藬?shù)很多， P{X90}=12/526≈, P{X≤90}=1P{X90}≈}=。(2)F(3)=3≈。1/51/61/51/1511/30當(dāng)1≤y2時(shí)，F(xiàn)Y(y)={0,y11(1y1)2,1≤y2,1,其它Y的概率密度為1a=2/9.習(xí)題2(1)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用F(x,y)表示：P{X=1,Y