【正文】 1/3y21/845/6610/6610/661/66 \under2line令x+y=t{∫x+∞12tetdt=12(x+1)ex,x00,x≤0,由對稱性知fY(y)={12(y+1)ey,y00,y≤0,fZ(z)={zez22,z00,z≤0.習(xí)題5設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度為P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X2Y}=0, (3) (4)X/YP{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3),Y1/213(1)求邊緣分布律。P{y=0}=P{x=0,y=0}+P{x=1,y=0}=715+730=F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤,x習(xí)題9設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為確定常數(shù)k.∫02∫24k(6xy)dydx=k∫02(62x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X1,Y3}=∫01dx∫2318(6xy)dy=38.(3)P{X}=∫∫2418(6xy)dy=2732.(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24x18(6xy)dy=23.習(xí)題8已知X和Y的聯(lián)合密度為0請列出(X,Y)的概率分布表，并寫出關(guān)于Y的邊緣分布.解答：(1)因為所給的一組概率實數(shù)顯然均大于零，且有16+13+112+512=1,解得K≥2(K≤1舍去),=P{X≤}P{X≤}=∫(12x212x+2)dx∫(12x212x+3)dxP{a1X≤a+1}=∫a1a+1f(x)dx=∫a1a0dx+∫aa+1λeλaeλxdx當(dāng)1x≤2時，=P{π6X≤π6=F(π6)F(π6)=12..習(xí)題8使用了x小時的電子管，在以后的Δx小時內(nèi)損壞的概率等于λΔx+o(Δx),k0=[(n+1)p]=[301]=9.習(xí)題5在長度為t的時間間隔內(nèi)，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)t2的泊松分布，而與時間間隔的起點無關(guān)(時間以小時計),=P{300000200000X≥100000}=P{X≤10}則X～b(2500,),(2)P{X≥3}=1P{X3}P(Ak)=ck,綜上所述③當(dāng)y=0時，F(xiàn)Y(y)=P{1/X≤0}=P{X0}=F(0),故這時取fY(0)=0,試求隨機變量Y的密度函數(shù).解答：而因此∫∞+∞Ae∣x∣dx=1,而∫∞+∞Ae∣x∣dx=∫∞0Aexdx+∫0+∞Aexdx∴A=1。F(0+0)=F(0)=0,則隨機變量X的分布律為求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2},即3716c=1,解得當(dāng)生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時立即進行調(diào)整，X代表在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)，試求：(1)X的概率分布；在τ這段時間內(nèi)斷頭次數(shù)不大于2的概率.解答：以X記紡錠斷頭數(shù),=(12+1πarctan1)[12+1πarctanx(1)]當(dāng)0x1時，F(xiàn)(x)=∫∞xf(t)dt=∫∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2。Y服從二項分布，其參數(shù)從而x≥.習(xí)題11設(shè)某城市男子身高X～N(170,36),P{Xx}=1P{X≤x}=1Φ(x1706),即Φ(x1706), 隨機變量函數(shù)的分布習(xí)題1已知X的概率分布為X210123pi2a1/103aaa2a101fY(y)={12π(y1)ey14,y10,y≤1.習(xí)題6設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x),②當(dāng)y0時，F(xiàn)Y(y)=P{?}=0,因此，Z與X的分布函數(shù)相同.總習(xí)題解答習(xí)題1從1～20的整數(shù)中取一個數(shù)，若取到整數(shù)k的概率與k成正比，求取到偶數(shù)的概率.解答：設(shè)Ak為取到整數(shù)k,(2)至少命中3炮的概率?！?∑k=015e55kk!≈,由此可見,在1年里保險公司虧本的概率是很小的.(2)P{保險公司獲利不少于100000元}則P(A)=,滿足∑ipi=1,1/2.由分布函數(shù)F(x)的右連續(xù)性，有故X的分布函數(shù)為于是fK(k)={1/5,0k50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有實根的充要條件為(4K)24?4(K+2)≥0,fX(x)={0,x02x3ex2,x≥0,求Y=2X+3的密度函數(shù).解答：由Y=2X+3,FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=2∫0y1(1x)dx=1(1y1)2,從而Y的分布函數(shù)為可知=47+4737=57.習(xí)題5(X,Y)只取下列數(shù)值中的值：1pk故即(3)判定X與Y是否獨立？解答：(1)由(x,y)的分布律知，y只取0及1兩個值.5152535455pk=∫01ex22dx=1[∫∞1ex22dx∫∞0ex22dx]可見P{U=i,V=j}=0(ij).此外，有12112fX(x)={1,0x10,其它,則pi?解答：由題設(shè)X與Y相互獨立，即有 pij=pi?p?j(i=1,2。②當(dāng)1≤x2,1≤y0時，F(xiàn)(x,y)=P{X=1,Y=1}=1/4。FU(u)={0,u0,(1eu)21e1,0≤u1,1eu,u≥1.習(xí)題8設(shè)系統(tǒng)L是由兩個相互獨立的子系統(tǒng)L1和L2以串聯(lián)方式聯(lián)接而成，L1和L2的壽命分別為X與Y,fZ(z)={0,z≤01ez,0z≤1e1zez,z1.習(xí)題7設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)={be(x+y),0x1,0y+∞,0,其它.（1）試確定常數(shù)b；（2）求邊緣概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函數(shù)U=max{X,Y}的分布函數(shù).解答：（1）由∫∞+∞∫∞+∞f(x,y)dxdy=1，確定常數(shù)b.FZ(z)=P{X2+Y2≤z2}=∫∫x2+y2≤z2f(x,y)dxdypiP{∣X∣≤a}==P{X≤a}?P{∣X∣≤a},?P{∣X∣≤a}(1P{X≤a})=0?P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}?(?a0)但當(dāng)a0時，兩者均不成立，出現(xiàn)矛盾，故X與∣X∣不獨立.習(xí)題9設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在(0,1)上服從均勻分布，Y的概率密度為fY(y)={12ey2,y00,y≤0,(1)求X與Y的聯(lián)合概率密度；(2)設(shè)有a的二次方程a2+2Xa+Y=0,P{X+Y≠0}=1P{X+Y=0}1/21/41/4表(b)解答：由X與Y相互獨立知4/703/7習(xí)題46/287/285/285/285/28習(xí)題3已知(X,Y)的分布律如下表所示，試求：(1)在Y=1的條件下,X的條件分布律。P{y=1}=∑i=01P{x=i,y=1}=130+115=.(2)P{y=0∣x=0}=P{x=0,y=0}P{x=0}=23,F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后，設(shè)x1,0≤y≤1,P{X≤Y}=12.習(xí)題7設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)={k(6xy),0x2,2y40,其它,(1)確定常數(shù)k。f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答：由于P{X≤Y}+P{XY}=1，且由正態(tài)分布圖形的對稱性，知5/1200(2)P{Y=0}=P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0}(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4}。(1)P{aX≤b,Y≤c}。 X 又因為P{X≤60}=P{Xμσ≤60μσ,故Φ(60μσ)≈.,所以60μσ0, 故Φ(μ60σ)≈=, 反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得 μ60σ≈ ②聯(lián)立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X～N(70,100).某人是否能被錄取，關(guān)鍵看錄取率. 已知錄取率為155526≈, 看某人是否能被錄取，解法有兩種：方法1： P{X78}=1P{X≤78}=1P{x7010≤787010 =1Φ()≈=,(錄取率), 所以此人能被錄取.方法2：看錄取分?jǐn)?shù)線. 設(shè)錄取者最低分為x0, 則P{X≥x0}=(錄取率), P{X≤x0}=1P{X≥x0}==, P{X≤x0}=P{x7010≤x07010=Φ{x07010=,反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得x07010≈, 解得x0≈75. 此人成績78分高于最低分，所以可以錄取.習(xí)題17假設(shè)某地在任何長為t(年)的時間間隔內(nèi)發(fā)生地震的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為λ=，X表示連續(xù)兩次地震之間間隔的時間(單位：年).(1)證明X服從指數(shù)分布并求出X的分布函數(shù)；(2)求今后3年內(nèi)再次發(fā)生地震的概率；(3)求今后3年到5年內(nèi)再次發(fā)生地震的概率.解答：(1)當(dāng)t≥0時，P{Xt}=P{N(t)=0}=,∴F(t)=P{X≤t}=1P{Xt}=。當(dāng)x0時，由題設(shè)知P{xX≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),{1/2+12q+q2=10≤12q≤1q2≤1,解得q=11/2.(2)t=5,λ=5/2,=∑k=010C2500k()()2500k≈∑k=010e55kk!≈,即保險公司獲利不少于100000元的概率在98%以上.FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}=910πe81100(y37)2.習(xí)題8設(shè)隨機變量X在任一區(qū)間[a,b]上的概率均大于0,試求θ(°F)的概率密度.解答：已知T～N(,2).可得(2)Y=X21的概率分布.解答：(1)\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1,X～N(40,102),Y～N(50,42).即x=4077件，就是說，想獲超產(chǎn)獎的工人，每月必須裝配4077件以上.習(xí)題10某地區(qū)18歲女青年的血壓(收縮壓，以mmHG計)服從N(110,122). P{X≤d}≤.于是Φ(d32)≤,Φ(3d2)≥≥,使得P{Xc}=P{X≤c}。即A=1/2.從而f(x)=12e∣x∣,∞x+∞,F(x)=12+1πarctanx,F(x)={0,x,1≤x,1≤x31,x≥3,試求：(1)X的概率分布；P{0≤X≤2}=P{?0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k。p2=P{X=1}=.則隨機變量的分布律為在袋中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律.解答：隨機變量X的可能取值為3,4,5.P{X=3}=C22?1C53=110,P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,試求(1)P{12X52。(3)P{X3}.解答：(1)P{12X52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15。(3)P{X3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.習(xí)題3已知隨機變量X只能取1,0,1,2四個值，相應(yīng)概率依次為12c,34c,58c,716c,(3)?解答：(1)P{X=k}=(1p)kp=()k,k=0,1,2,?。p1=P{X=0}==,X=1表示投中一次，其概率為Ppk求P{X≤}。F(x)={0,x≤0x2,0x,x≥1習(xí)題3設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為即=100x∣150+∞=100150=23,從而三個電子管在使用150小時以上不需要更換的概率為n=10,p=P{X≥4}=15=,所以P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c32)=12,即即1P{X≤x}≤,容易求得f(x)={fX(lny)∣ln′y,1ye0,其它={1y,1ye0,其它.習(xí)題5設(shè)X～N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非單調(diào)函數(shù)，故用分布函數(shù)法先求FY(y).fθ(y)=fT(95y+32)?95=12π?2e(95y+)24?95P{取到偶數(shù)}=P{A2∪A4∪?∪A20}(2)保險公司獲利分別不少于100000元, 200000元的概率.解答：1)以“年”為單位來考慮，在1年的1月1日，保險公司總收入為F(x)={0,x0Asinx,0≤x≤π/2,1,xπ/2則A=175。=P{xX≤x+Δx}1P{X≤x}=F(x+Δx)F(x)1F(x),故F(X+Δx)F(x)1F(x)=λΔx+o(Δx),得F′(x)=λ[1F(x)].這是關(guān)于F(x)的變