【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 題6設(shè)X為一離散型隨機(jī)變量，其分布律為X101pi1/212qq2試求：(1)q的值；(2)X的分布函數(shù).解答：(1)\because離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)P{X=xi}=pi,滿足∑ipi=1,且0≤pi≤1,∴{1/2+12q+q2=10≤12q≤1q2≤1,解得q=11/2.從而X的分布律為下表所示：X101pi1/2213/22(2)由F(x)=P{X≤x}計(jì)算X的分布函數(shù)F(x)={0,1/2,21/2,1,x11≤x00≤x0x≥1.習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)為F(x)={0,x0Asinx,0≤x≤π/2,1,xπ/2則A=175。,P{∣X∣π/6}=175。.解答：應(yīng)填1。1/2.由分布函數(shù)F(x)的右連續(xù)性，有F(π2+0)=F(π2)?A=1.因F(x)在x=π6處連續(xù)，故P{X=π6=12,于是有P{∣X∣π6=P{π6Xπ6=P{π6X≤π6=F(π6)F(π6)=12..習(xí)題8使用了x小時(shí)的電子管，在以后的Δx小時(shí)內(nèi)損壞的概率等于λΔx+o(Δx),其中λ0是常數(shù)，求電子管在損壞前已使用時(shí)數(shù)X的分布函數(shù)F(x)，并求電子管在T小時(shí)內(nèi)損壞的概率.解答：因X的可能取值充滿區(qū)間(0,+∞),故應(yīng)分段求F(x)=P{X≤x}.當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=P(?)=0。當(dāng)x0時(shí)，由題設(shè)知P{xX≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),而P{xX≤x+Δx/X}=P{xX≤x+Δx,Xx}P{Xx}=P{xX≤x+Δx}1P{X≤x}=F(x+Δx)F(x)1F(x),故F(X+Δx)F(x)1F(x)=λΔx+o(Δx),即F(x+Δx)F(x)Δx=[1F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,得F′(x)=λ[1F(x)].這是關(guān)于F(x)的變量可分離微分方程，分離變量dF(x)1F(x)=λdx,積分之得通解為C[1F(x)]=eλx(C為任意常數(shù)).注意到初始條件F(0)=0,故C=1.于是F(x)=1eλx,x0,λ0,故X的分布函數(shù)為F(x)={0,x≤01eλx,x0(λ0),從而電子管在T小時(shí)內(nèi)損壞的概率為P{X≤T}=F(T)=1eλT.習(xí)題9設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為f(x)={x,0x≤12x,1x≤20,其它,求其分布函數(shù)F(x).解答：當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)(x)=∫∞x0dt=0。當(dāng)0x≤1時(shí)，F(xiàn)(x)=∫∞xf(t)dt=∫∞00tdt+∫0xtdt=12x2。當(dāng)1x≤2時(shí)，F(xiàn)(x)=∫∞xf(t)dt=∫∞00dt+∫01tdt+∫1x(2t)dt=0+12+(2t12t2)∣1x=1+2xx22。當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(x)=∫∞00dt+∫01tdt+∫12(2t)dt+∫2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0x≤11+2xx22,1x≤21,x2.習(xí)題10某城市飲用水的日消費(fèi)量X(單位：百萬(wàn)升)是隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為：f(x)={19xex3,x00,其它,試求：(1)該城市的水日消費(fèi)量不低于600萬(wàn)升的概率；(2)水日消費(fèi)量介于600萬(wàn)升到900萬(wàn)升的概率.解答：先求X的分布函數(shù)F(x).顯然，當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)=0,當(dāng)x≥0時(shí)有F(x)=∫0x19tet3dt=1(1+x3)ex3故F(x)={1(1+x3)ex3,x≥00,x0,所以P{X≥6}=1P{X6}=1P(X≤6}=1F(6) =1[1(1+x3)ex3]x=6=3e2,P{6X≤9}=F(9)F(6)=(14e3)(13e2)=3e24e3.習(xí)題11已知X～f(x)={cλeλx,xa0,其它(λ0),求常數(shù)c及P{a1X≤a+1}.解答：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知∫∞+∞f(x)dx=1,而∫∞+∞f(x)dx=∫∞a0dx+∫a+∞cλeλxdx=c∫a+∞eλxd(λx)=ceλx\vlinea+∞=ceλa,所以ceλa=1,從而c=eλa.于是 P{a1X≤a+1}=∫a1a+1f(x)dx=∫a1a0dx+∫aa+1λeλaeλxdx=eλaeλx\vlineaa+1=eλa(eλ(a+1)eλa)=1eλ.注意，a1a,而當(dāng)xa時(shí)，f(x)=0.習(xí)題12已知X～f(x)={12x212x+3,0x10,其它,計(jì)算P{X≤∣X≤}.解答：根據(jù)條件概率。有P{X≤∣X≤}=P{X≤,X≤}P{X≤}=P{X≤}P{X≤}=∫(12x212x+2)dx∫(12x212x+3)dx=(4x36x2+3x)∣(4x36x2+3x)∣==.習(xí)題13若F1(x),F2(x)為分布函數(shù)，(1)判斷F1(x)+F2(x)是不是分布函數(shù)，為什么？(2)若a1,a2是正常數(shù)，且a1+a2=1.證明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函數(shù).解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函數(shù).(2)由F1(x),F2(x)單調(diào)非減，右連續(xù)，且F1(∞)=F2(∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)單調(diào)非減，右連續(xù)，且a1F1(∞)+a2F2(∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.從而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函數(shù).習(xí)題14設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度?(x)為偶函數(shù)，試證對(duì)任意的a0,分布函數(shù)F(x)滿足：(1)F(a)=1F(a)。(2)P{∣X∣a}=2[1F(a)].解答：(1)F(a)=∫∞a?(x)dx=∫a+∞?(t)dt=∫a+∞?(x)dx=1∫∞a?(x)dx=1F(a).(2)P{∣X∣a}=P{Xa}+P{Xa}=F(a)+P{X≥a}F(a)+1F(a)=2[1F(a)].習(xí)題15設(shè)K在(0,5)上服從均勻分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有實(shí)根的概率.解答：因?yàn)镵～U(0,5),所以fK(k)={1/5,0k50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有實(shí)根的充要條件為(4K)24?4(K+2)≥0,即K2K2≥0,亦即(k2)(K+1)≥0,解得K≥2(K≤1舍去),所以P{方程有實(shí)根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.習(xí)題16某單位招聘155人，按考試成績(jī)錄用，共有526人報(bào)名，假設(shè)報(bào)名者考試成績(jī)X～N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若從高分到低分依次錄取，某人成績(jī)?yōu)?8分，問(wèn)此人是否能被錄??？解答：要解決此問(wèn)題首先確定μ,σ2, 因?yàn)榭荚嚾藬?shù)很多， P{X90}=12/526≈, P{X≤90}=1P{X90}≈}=。又因?yàn)镻{X≤90}=P{Xμσ≤90μσ, 所以有Φ(90μσ)=, 反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得 90μσ=2 ①同理：P{X≤60}=83/526≈。 又因?yàn)镻{X≤60}=P{Xμσ≤60μσ,故Φ(60μσ)≈.,所以60μσ0, 故Φ(μ60σ)≈=, 反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得 μ60σ≈ ②聯(lián)立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X～N(70,100).某人是否能被錄取，關(guān)鍵看錄取率. 已知錄取率為155526≈, 看某人是否能被錄取，解法有兩種：方法1： P{X78}=1P{X≤78}=1P{x7010≤787010 =1Φ()≈=,(錄取率), 所以此人能被錄取.方法2：看錄取分?jǐn)?shù)線. 設(shè)錄取者最低分為x0, 則P{X≥x0}=(錄取率), P{X≤x0}=1P{X≥x0}==, P{X≤x0}=P{x7010≤x07010=Φ{x07010=,反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得x07010≈, 解得x0≈75. 此人成績(jī)78分高于最低分，所以可以錄取.習(xí)題17假設(shè)某地在任何長(zhǎng)為t(年)的時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生地震的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為λ=，X表示連續(xù)兩次地震之間間隔的時(shí)間(單位：年).(1)證明X服從指數(shù)分布并求出X的分布函數(shù)；(2)求今后3年內(nèi)再次發(fā)生地震的概率；(3)求今后3年到5年內(nèi)再次發(fā)生地震的概率.解答：(1)當(dāng)t≥0時(shí)，P{Xt}=P{N(t)=0}=,∴F(t)=P{X≤t}=1P{Xt}=。當(dāng)t0時(shí)，F(xiàn)(t)=0,∴F(x)={,x≥00,x0,X服從指數(shù)分布(λ=)。(2)F(3)=3≈。(3)F(5)F(3)≈.習(xí)題18100件產(chǎn)品中，90個(gè)一等品，10個(gè)二等品，隨機(jī)取2個(gè)安裝在一臺(tái)設(shè)備上，若一臺(tái)設(shè)備中有i個(gè)(i=0,1,2)二等品，則此設(shè)備的使用壽命服從參數(shù)為λ=i+1的指數(shù)分布.(1)試求設(shè)備壽命超過(guò)1的概率 ；(2)已知設(shè)備壽命超過(guò)1，求安裝在設(shè)備上的兩個(gè)零件都是一等品的概率 .解答：(1)設(shè)X表示設(shè)備壽命. A表示“設(shè)備壽命超過(guò)1”，Bi表示“取出i個(gè)二等品”(i=0,1,2)，則X的密度函數(shù)為 fX(x)={λeλx,x00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2), P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002, P(A∣B0)=∫1+∞exdx=e1, P(A∣B1)=∫1+∞2e2xdx=e2, P(A∣B2)=∫1+∞3e3xdx=e3,由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈.(2)由貝葉斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈.習(xí)題19設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X21013pi1/51/61/51/1511/30試求Y=：pi1/51/61/51/1511/30X21013X241019所以X20149pi1/57/301/511/30注：隨機(jī)變量的值相同時(shí)要合并，對(duì)應(yīng)的概率為它們概率之和.習(xí)題20設(shè)隨機(jī)變量X的密度為fX(x)={0,x02x3ex2,x≥0,求Y=2X+3的密度函數(shù).解答：由Y=2X+3,有y=2x+3,x=y32,x′=12,由定理即得fY(x)={0,y3(y32)3e(y32),y≥3.習(xí)題21設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)X(x)={ex,x00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因?yàn)棣?min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1, β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.類似上題可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1y+∞0,其它 ={1/y2,1y+∞0,其它.習(xí)題22設(shè)隨便機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX(x)={1∣x∣,1x10,其它,求隨機(jī)變量Y=X2+1的分布函數(shù)與密度函數(shù).解答：X的取值范圍為(1,1),則Y的取值范圍為[1,2).當(dāng)1≤y2時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y} =P{Y1≤x≤y1}=∫y1y1(1∣x∣)dx =2∫0y1(1x)dx=1(1y1)2,從而Y的分布函數(shù)為FY(y)={0,y11(1y1)2,1≤y2,1,其它Y的概率密度為fY(y)={1y11,1y20,其它.第三章 多維隨機(jī)變量及其分布16