【正文】 ),P{X≤Y}=P{XY},(3)求P{X}。確定常數k.∫02∫24k(6xy)dydx=k∫02(62x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X1,Y3}=∫01dx∫2318(6xy)dy=38.(3)P{X}=∫∫2418(6xy)dy=2732.(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24x18(6xy)dy=23.習題8已知X和Y的聯合密度為f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,試求：(1)常數c。當x≥1,y≥1時，顯然F(x,y)=1。有F(x,y)=∫∞x∫∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.設0≤x≤1,y1,有F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤,x習題9設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為={∫(2x)dy,0≤x≤10,其它={(2x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫∞+∞f(x,y)dx={∫(2x)dx,0≤y≤10,其它={(4yy2),0≤y≤10,其它.習題10設(X,Y)在曲線y=x2,y=x所圍成的區(qū)域G里服從均勻分布，求聯合分布密度和邊緣分布密度.解答：區(qū)域G的面積A=∫01(xx2)dx=16,f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,從而fX(x)=∫∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(xx2),0≤x≤1,fX(x)={6(xx2),0≤x≤10,其它7/157/307/301/15(1)求Y的邊緣分布律；(2)求P{Y=0∣X=0},P{Y=1∣X=0}。P{y=0}=P{x=0,y=0}+P{x=1,y=0}=715+730=由(1)知P{y=0}=,所以x與y不獨立.習題2將某一醫(yī)藥公司9月份和8份的青霉素針劑的訂貨單分別記為X與Y. 據以往積累的資料知X和Y的聯合分布律為(1)求邊緣分布律。5152535455pk對應X的值,將每行的概率相加,可得P{X=i}.對應Y的值(最上邊的一行),P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,P{X=k∣Y=51}(2)在X=2的條件下,Y的條件分布律.X\Y012012012Y5/1211/241/8故(1)在Y=1條件下，X的條件分布律為X∣(Y=1)0123/118/110(2)在X=2的條件下，Y的條件分布律為Y∣(X=2)pk已知(X,Y)的概率密度函數為f(x,y)={3x,0x1,0yx0,其它,P{X+Y≠0}.X2101/2piY1/213piP{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj),從而(X,Y)的聯合概率分布為X\Y1/2132101/2P{X=2}P{Y=1/2}P{X=1}P{Y=1/2}P{X=0}P{Y=1/2}P{X=1/2}P{Y=1/2}P{X=2}P{Y=1}P{X=1}P{Y=1}P{X=0}P{Y=1}P{X=1/2}P{Y=1}P{X=2}P{Y=3}P{X=1}P{Y=3}P{X=0}P{Y=3}P{X=1/2}P{Y=3}亦即表X\Y1/213=1P{X=1,Y=1}P{X=12,Y=12而火車這段時間開出的時間Y的密度fY(y)={2(5y)25,0≤y≤50,其它,求此人能及時上火車站的概率.解答：由題意知X的密度函數為fX(x)={15,0≤x≤50,其它, 因為X與Y相互獨立，所以X與Y的聯合密度為：fXY(x,y)={2(5y)125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它,故此人能及時上火車的概率為P{YX}=∫05∫x52(5y)125dydx=13.習題7設隨機變量X與Y都服從N(0,1)分布，且X與Y相互獨立，求(X,Y)的聯合概率密度函數.解答：由題意知，隨機變量X,Y的概率密度函數分別是f(x,y)=12πe12(x+y)2.習題8設隨機變量X的概率密度f(x)=12e∣x∣(∞x+∞),問：X與∣X∣是否相互獨立？解答：若X與∣X∣相互獨立，則?a0,P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}?P{∣X∣≤a},而事件{∣X∣≤a}?{X≤a},求它有實根的概率.解答：(1)由題設易知fX(x)={1,0x10,其它,又X,Y相互獨立，故X與Y的聯合概率密度為f(x,y)=fX(x)?fY(y)={12ey2,0x1,y00,其它。P{a有實根}=P{X2≥Y}=∫∫x2yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212ey2dy=12π[Φ(1)Φ(0),又Φ(1)=,于是Φ(1)Φ(0)=, 二維隨機變量函數的分布習題1設隨機變量X和Y相互獨立，且都等可能地取1,2,3為值，求隨機變量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的聯合分布.解答：由于U≥V,P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3),P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(ij),于是，隨機變量U和V的聯合概率分布為2311/92/92/9201/92/93001/9習題2設(X,Y)的分布律為X\Y1/101/53/101/51/101/10試求：(1)Z=X+Y。(2)Z=XY。(4)Z=max{X,Y}的分布律.解答：與一維離散型隨機變量函數的分布律的計算類型，Z的相同值的概率要合并.概率1/101/53/101/51/101/10(X,Y)X+YXYX/Ymax{x,Y}(1,1)(1,1)(1,2)(2,1)(2,1)(2,2)201134112224111/2221112222于是(1) (2)X+Y1/101/51/21/101/10XY1/21/51/101/101/10 max{X,Y} (3) (4)X/Y1/51/53/101/51/10習題3設二維隨機向量(X,Y)服從矩形區(qū)域D={(x,y∣0≤x≤2,0≤y≤1}的均勻分布，且P{U=0,V=0}=P{X≤Y,X≤2Y}=P{X≤Y}=∫01dx∫x112dy=14,P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X2Y}=0,P{U=1,V=0}=P{XY,X≤2Y}=P{YX≤2Y}=∫01dy∫y2y12dx=14,　P{U=1,V=1}=1P{U=0,V=0}P{U=0,V=1}P{U=1,V=0}=1/2,即U\V01當z≥0時，=∫0zeρ22ρdρ=1ez22.故Z的分布函數為FZ(z)={1ez22,z≥00,z0.Z的分布密度為fZ(z)={zez22,z00,z≤0.習題5設隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)={12(x+y)e(x+y),x0,y00,其它,(1)問X和Y是否相互獨立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=∫∞+∞f(x,y)dy\under2line令x+y=t{∫x+∞12tetdt=12(x+1)ex,x00,x≤0,由對稱性知fY(y)={12(y+1)ey,y00,y≤0,f(x,y)≠fX(x)fY(y),x0,y0,所以X與Y不獨立.(2)用卷積公式求fZ(z)=∫∞+∞f(x,zx)dx.當{x0zx0{x0xz時，f(x,zx)≠0,當z0時，fZ(z)=∫0z12xexdx=12z2ez.于是，Z=X+Y的概率密度為fZ(z)={12z2ez,z00,z≤0.習題6設隨機變量X,Y相互獨立，若X服從(0,1)上的均勻分布，Y服從參數1的指數分布，求隨機變量Z=X+Y的概率密度.解答：據題意，X,Y的概率密度分布為fY(y)={ey,y≥00,y0,由卷積公式得Z=X+Y的概率密度為=∫0+∞fX(zy)eydy.由0zy1得z1yz,可見：當z≤0時，有fX(zy)=0,當z0時，fZ(z)=∫0+∞fX(zy)eydy=∫max(0,z1)zeydy=emax(0,z1)ez,即f(x,y)={11e1e(x+y),0x1,0y+∞,0,其它.（2）由邊緣概率密度的定義得FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)，其中FX(x)=∫0xet1e1dt=1ex1e1,0x1，所以FX(x)={0,x≤0,1ex1e1,0x1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0yetdt=1ey,0y+∞,0,y≤0，因此其概率密度分別為?1(x)={αeαx,x00,x≤0,試求系統(tǒng)L的壽命Z的概率密度.解答：設Z=min{X,Y}, =1P{min(X,Y)z}=1P{X≥z,Y≥z} F1(z)={∫0zαeαxdx=1eαz,z≥00,z0,F2(z)={1eβz,z≥00,z0, P{amin{X,Y}≤b}=[P{Xa}]2[P{Xb}]2.解答：設min{X,Y}=Z,則FZ(z)=P{min{X,Y}≤z}=1P{min{X,Y}z}P{amin{X,Y}≤b}=1[P{Xb}]2(1[P{Xa}]2)復習總結與總習題解答習題1在一箱子中裝有12只開關，其中2只是次品，在其中取兩次，每次任取一只，考慮兩種試驗：(1)放回抽樣；(2),Y如下：X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,試分別就(1),(2)兩種情況，寫出X和Y的聯合分布律.解答：(1)有放回抽樣，(X,Y)分布律如下：P{X=0,Y=0}=10101212=2536。X0145/6610/6610/661/66習題3在元旦茶話會上，每人發(fā)給一袋水果，內裝3只橘子，2只蘋果，3只香蕉. 今從袋中隨機抽出4只，以X記橘子數，Y記蘋果數，求(X,Y)的聯合分布.解答：X可取值為0,1,2,3,Y可取值0,1,2. P{X=0,Y=0}=P{?}=0, P{X=0,Y=1}=C30C21C33/C84=2/70, P{X=0,Y=2}=C30C22C32/C84=3/70, P{X=1,Y=0}=C31C20C33/C84=3/70, P{X=1,Y=1}=C31C21C32/C84=18/70 , P{X=1,Y=2}=C31C22C31/C84=9/70, P{X=2,Y=0}=C32C20C32/C84=9/70, P{X=2,Y=1}=C32C21C31/C84=18/70, P{X=2,Y=2}=C32C22C30/C84=3/70, P{X=3,Y=0}=C33C20C31/C84=3/70, P{X=3,Y=1}=C33C21C30/C84=2/70, P{X=3,Y=2}=P{?}=0,所以，(X,Y)的聯合分布如下：X\Y012y1y31/8x21/81j=1,2,3), p?1p21=p11=1618=124,又由獨立性，有 p11=p1?p?1=p1?16故p1?==1412418, 又由p12=p1?p?2, 即18=14?p?2.從而p?2=12. 類似的有 p?3=13,p13=14,p2?=34.將上述數值填入表中有X\Yy2pi?x11/241/123/83/4p?j1/61/3習題5設隨機變量(X,Y)的聯合分布如下表：求：(1)a值；(2)(X,Y)的聯合分布函數F(x,y)；(3)(X,Y)關于X,Y的邊緣分布函數FX(x)與FY(y).解答：(1)\because由分布律的性質可知∑i?jPij=1, 故14+14+16+a=1,∴a=13.(2)因F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}①當x1或y1時，F(x,y)=0。③當x≥2,1≤y0時， F(x,y)=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=1}=5/12。⑤當x≥2,y≥0時， F(x,y)=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=1} +P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0} =1