【正文】 試求：(1)A,B的值；(2)P{1X1}?！郃=1。P{1X1}=F(1)F(1)=1e2.(3)f(x)=F′(x)={2ex,x00,x≤0.習(xí)題4服從拉普拉斯分布的隨機變量X的概率密度f(x)=Ae∣x∣,∫∞+∞Ae∣x∣dx=1,而∫∞+∞Ae∣x∣dx=∫∞0Aexdx+∫0+∞Aexdx又因為F(x)=∫∞xf(t)dt,則電子管使用150小時以上的概率為P{X150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dxp=(2/3)3=8/27.習(xí)題6設(shè)一個汽車站上，某路公共汽車每5分鐘有一輛車到達，設(shè)乘客在5分鐘內(nèi)任一時間到達是等可能的，試計算在車站候車的10位乘客中只有1位等待時間超過4分鐘的概率.解答：設(shè)X為每位乘客的候車時間，則X服從[0,5]上的均勻分布. 設(shè)Y表示車站上10位乘客中等待時間超過4分鐘的人數(shù). .(2)設(shè)d滿足P{Xd}≥,即 c32=0, 所以d≤.習(xí)題8設(shè)測量誤差X～N(0,102),=1[2Φ()1]=1[2]==.，則Y～b(100,).因為n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,即因此在該地區(qū)任選一18歲女青年，測量她的血壓X.(1)求P{X≤105},P{100X≤120}。=Φ()Φ()=2Φ()1≈.(2)使P{Xx}≤,Φ(x11012)≥,查表得x10012≥,而哪一條路線在開車之前到達火車站的可能性大就走哪一條路線.(1)因為P{X60}=Φ(604010)=Φ(2)=,P{X45}=Φ(45504)=Φ()=1Φ()==所以只有45分鐘應(yīng)走第一條路.求Y=sinπ2X的分布律.解答：因為試求隨機變量Y的密度函數(shù).解答：于是③當(dāng)y=0時，F(xiàn)Y(y)=P{1/X≤0}=P{X0}=F(0),故這時取fY(0)=0,fY(y)={1y2?f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①當(dāng)y0時，F(xiàn)Y(y)=P{y≤X≤y}=F(y)F(y)這時fY(y)=f(y)+f(y)。綜上所述θ=59(T32),其分布函數(shù)為FY(x),={0,FX(z)0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)1由于FX(z)為X的分布函數(shù)，故0≤FX(z)≤1.FX(z)0和FX(z)1均勻不可能，故上式僅有FZ(z)=FX(z),P(Ak)=ck,求射擊10炮,(1)命中3炮的概率。(2)P{X≥3}=1P{X3}=1[C100()0()10+C101()1()9+C102()2()8]而則X～b(2500,),=∑k=162500C2500k()k()2500k=P{300000200000X≥100000}=P{X≤10} =P{300000200000X≥200000}=P{X≤5}300臺分機可看成300次伯努利試驗，一次試驗是否要到外線. 設(shè)要到外線的事件為A,k0=[(n+1)p]=[301]=9.習(xí)題5在長度為t的時間間隔內(nèi)，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)t2的泊松分布，而與時間間隔的起點無關(guān)(時間以小時計),P{X≥1}=1P{X=0}=1e5/2≈.習(xí)題6設(shè)X為一離散型隨機變量，其分布律為X1/212qq2試求：(1)q的值；(2)X的分布函數(shù).解答：(1)\because離散型隨機變量的概率函數(shù)P{X=xi}=pi,從而X的分布律為下表所示：X1/2213/22(2)由F(x)=P{X≤x}計算X的分布函數(shù)F(x)={0,1/2,21/2,1,x11≤x00≤x0x≥1.習(xí)題7設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)F(x)為.解答：應(yīng)填1。=P{π6X≤π6=F(π6)F(π6)=12..習(xí)題8使用了x小時的電子管，在以后的Δx小時內(nèi)損壞的概率等于λΔx+o(Δx),而P{xX≤x+Δx/X}=P{xX≤x+Δx,Xx}P{Xx}故C=1.于是F(x)=1eλx,x0,λ0,F(x)={0,x≤01eλx,x0(λ0),從而電子管在T小時內(nèi)損壞的概率為當(dāng)1x≤2時，=0+12+(2t12t2)∣1x=1+2xx22。f(x)={19xex3,x00,其它,試求：(1)該城市的水日消費量不低于600萬升的概率；(2)水日消費量介于600萬升到900萬升的概率.解答：先求X的分布函數(shù)F(x).所以而∫∞+∞f(x)dx=∫∞a0dx+∫a+∞cλeλxdx從而c=eλa.P{a1X≤a+1}=∫a1a+1f(x)dx=∫a1a0dx+∫aa+1λeλaeλxdx而當(dāng)xa時，f(x)=0.習(xí)題12已知X～f(x)={12x212x+3,0x10,其它,=P{X≤}P{X≤}=∫(12x212x+2)dx∫(12x212x+3)dxF1(∞)=F2(∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)單調(diào)非減，右連續(xù)，且=1∫∞a?(x)dx=1F(a).(2)P{∣X∣a}=P{Xa}+P{Xa}=F(a)+P{X≥a}解得K≥2(K≤1舍去),當(dāng)t0時，F(xiàn)(t)=0,∴F(x)={,x≥00,x0,X服從指數(shù)分布(λ=)。21013pi21013X2X21/57/301/511/30注：隨機變量的值相同時要合并，對應(yīng)的概率為它們概率之和.習(xí)題20設(shè)隨機變量X的密度為fY(x)={0,y3(y32)3e(y32),y≥3.習(xí)題21設(shè)隨機變量X的概率密度fX(x)={ex,x00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因為α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1, β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.類似上題可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1y+∞0,其它 ={1/y2,1y+∞0,其它.習(xí)題22設(shè)隨便機變量X的密度函數(shù)為則Y的取值范圍為[1,2).1/3a1/9求a.解答：由分布律性質(zhì)∑i?jPij=1,解答：P{aX≤b,Y≤c}=F(b,c)F(a,c).習(xí)題2(2)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用F(x,y)表示：解答：P{0Y≤b}=F(+∞,b)F(+∞,0).習(xí)題2(3)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用F(x,y)表示：(1)P{12X32,0Y4。解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.習(xí)題3(3)：試求：P{X≥0,Y≥0}=37,=P{X≥0}+P{Y≥0}P{X≥0,Y≥0}請列出(X,Y)的概率分布表，并寫出關(guān)于Y的邊緣分布.解答：(1)因為所給的一組概率實數(shù)顯然均大于零，且有16+13+112+512=1,{X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均為不可能事件，其概率必為零. 因而得到下表：0P{X≤Y}=P{XY},(3)求P{X}。確定常數(shù)k.∫02∫24k(6xy)dydx=k∫02(62x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X1,Y3}=∫01dx∫2318(6xy)dy=38.(3)P{X}=∫∫2418(6xy)dy=2732.(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24x18(6xy)dy=23.習(xí)題8已知X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,試求：(1)常數(shù)c。當(dāng)x≥1,y≥1時，顯然F(x,y)=1。有F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤,x習(xí)題9設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為={∫(2x)dy,0≤x≤10,其它={(2x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫∞+∞f(x,y)dxf(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,從而fX(x)=∫∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(xx2),0≤x≤1,7/157/307/301/15(1)求Y的邊緣分布律；(2)求P{Y=0∣X=0},P{Y=1∣X=0}。P{y=0}=P{x=0,y=0}+P{x=1,y=0}=715+730=(1)求邊緣分布律。5152535455pk(2)在X=2的條件下,Y的條件分布律.X\Y0125/1211/241/8故(1)在Y=1條件下，X的條件分布律為X∣(Y=1)012已知(X,Y)的概率密度函數(shù)為f(x,y)={3x,0x1,0yx0,其它,P{X+Y≠0}.X2101/2Y1/2131/213=1P{X=1,Y=1}P{X=12,Y=12f(x,y)=12πe12(x+y)2.習(xí)題8設(shè)隨機變量X的概率密度f(x)=12e∣x∣(∞x+∞),問：X與∣X∣是否相互獨立？解答：若X與∣X∣相互獨立，則?a0,求它有實根的概率.解答：(1)由題設(shè)易知fX(x)={1,0x10,其它,又X,Y相互獨立，故X與Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=fX(x)?fY(y)={12ey2,0x1,y00,其它。于是Φ(1)Φ(0)=, 二維隨機變量函數(shù)的分布習(xí)題1設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且都等可能地取1,2,3為值，求隨機變量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的聯(lián)合分布.解答：由于U≥V,P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3),2311/92/92/9201/92/93001/9習(xí)題2設(shè)(X,Y)的分布律為X\Y(4)Z=max{X,Y}的分布律.解答：與一維離散型隨機變量函數(shù)的分布律的計算類型，Z的相同值的概率要合并.概率(1,1)(1,1)(1,2)(2,1)(2,1)(2,2)201134112224111/2221112222于是(1) (2)X+Y1/101/51/21/101/10XY1/21/51/101/101/10 max{X,Y} (3) (4)X/Y1/51/53/101/51/10習(xí)題3設(shè)二維隨機向量(X,Y)服從矩形區(qū)域D={(x,y∣0≤x≤2,0≤y≤1}的均勻分布，且P{U=0,V=0}=P{X≤Y,X≤2Y}=P{X≤Y}=∫01dx∫x112dy=14,P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X2Y}=0,P{U=1,V=0}=P{XY,X≤2Y}=P{YX≤2Y}=∫0zeρ22ρdρ=1ez22.故Z的分布函數(shù)為fZ(z)={zez22,z00,z≤0.習(xí)題5設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度為\under2line令x+y=t{∫x+∞12tetdt=12(x+1)ex,x00,x≤0,由對稱性知fY(y)={12(y+1)ey,y00,y≤0,{x0xz時，f(x,zx)≠0,fZ(z)={12z2ez,z00,z≤0.習(xí)題6設(shè)隨機變量X,Y相互獨立，若X服從(0,1)上的均勻分布，Y服從參數(shù)1的指數(shù)分布，求隨機變量Z=X+Y的概率密度.解答：據(jù)題意，X,Y的概率密度分布為當(dāng)z0時，其概率密度分別為試求系統(tǒng)L的壽命Z的概率密度.解答：設(shè)Z=min{X,Y}, F1(z)={∫0zαeαxdx=1eαz,z≥00,z0, FZ(z)=P{min{X,Y}≤z}=1P{min{X,Y}z}復(fù)習(xí)總結(jié)與總習(xí)題解答習(xí)題1在一箱子中裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，在其中取兩次，每次任取一只，考慮兩種試驗：(1)放回抽樣；(2),Y如下：X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,試分別就(1),(2)兩種情況，寫出X和Y的聯(lián)合分布律.解答：(1)有放回抽樣，(X,Y)分布律如下：P{X=0,Y=0}=10101212=2536。0145/6610/6610/661/66012y31/8x21/81y2x11/243/41/3③當(dāng)x≥2,1≤y0時， F(x,y)=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=1}=5/12