【正文】 m}=,即P{X≤m1}=. 由于0習(xí)題8某種產(chǎn)品共10件，其中有3件次品，現(xiàn)從中任取3件，求取出的3件產(chǎn)品中次品的概率分布.解答：設(shè)X表示取出3件產(chǎn)品的次品數(shù)，則X的所有可能取值為0,1,2,3.P求P{Y≥1}.解答：因?yàn)閄～b(2,p),P{X=0}=(1p)2=1P{X≥1}=15/9=4/9,所以p=1/3.因?yàn)閅～b(3,p),4)=e4(1+41!+422!)≈.習(xí)題12設(shè)書籍上每頁的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)X服從泊松分布，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在某本書上，有一個(gè)印刷錯(cuò)誤與有兩個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁數(shù)相同，求任意檢驗(yàn)4頁，每頁上都沒有印刷錯(cuò)誤的概率.解答：\becauseP{X=1}=P{X=2},是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，則X是___________型的隨機(jī)變量.解答：離散.由于F(x)是一個(gè)階梯函數(shù)，故知X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.習(xí)題2設(shè)F(x)={0x0x20≤1,1x≥1PkF(x)={0,x0x2,0≤x1x12,1≤x,x≥,求P{X≤},P{X},P{X≤2}.解答：P{X≥}=P{}F()=(),P{X}=1P{X≤}=1F()=,P{X≤2}=F(2)F()=11=0.習(xí)題6設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctanx(∞x+∞),試求：(1)系數(shù)A與B。F(x)=P{X≤x}={0,x0xa,0≤x,x≥a當(dāng)X≥1時(shí)，F(xiàn)(x)=∫∞xf(t)dt=∫∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故(3)概率密度函數(shù)F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be2x)=1, =Aex∣∞0+(Aex∣0+∞)=A+A=2A或當(dāng)x≥0時(shí)，F(xiàn)(x)=∫∞x12e∣x∣dt=∫∞012etdt+∫0x12etdtf(x)={100x2,x≥1000,其它,某一電子管的使用壽命為X, 所以X32=Z～N(0,1).(1)欲使P{Xc}=P{X≤c},即1Φ(x400060)=,使P{Xx}≤.解答：已知血壓X～N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X11012≤512≈1Φ()=,.解答：X～N(170,36),查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得x1706,試求：(1)a?！郺=1/10.(2)PFY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(當(dāng)y1時(shí))分布函數(shù)為F(x),=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1F(1/y),故這時(shí)fY(y)=[F(1y)]′=1y2f(1y)。這時(shí)fY(y)=0。是單調(diào)函數(shù)，所以故FX(x)是單調(diào)增加函數(shù)，其反函數(shù)FX1(y)存在，又Y在[0,1]上服從均勻分布，故Y的分布函數(shù)為k=1,2,?,20.因?yàn)镻(?K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，(3)最可能命中幾炮.解答：若隨機(jī)變量X表示射擊10炮中中靶的次數(shù). 由于各炮是否中靶相互獨(dú)立，所以是一個(gè)10重伯努利概型，X服從二項(xiàng)分布，其參數(shù)為n=10,p=,≈。顯然X～b(300,),P{X=k}=C300k()k()300k(k=0,1,2,?,300),因n=300很大，p=, 且0≤pi≤1,∴101F(π2+0)=F(π2)?A=1.因F(x)在x=π6處連續(xù)，故P{X=π6=12,f(x)={x,0x≤12x,1x≤20,其它,求其分布函數(shù)F(x).解答：當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)(x)=∫∞x0dt=0。P{6X≤9}=F(9)F(6)=(14e3)(13e2)=3e24e3.習(xí)題11已知X～f(x)={cλeλx,xa0,其它(λ0), =(4x36x2+3x)∣(4x36x2+3x)∣==.習(xí)題13若F1(x),F2(x)為分布函數(shù)，(1)判斷F1(x)+F2(x)是不是分布函數(shù)，為什么？(2)若a1,a2是正常數(shù)，且a1+a2=1.即1/51/61/51/1511/30試求Y=：有 二維隨機(jī)變量及其分布習(xí)題1設(shè)(X,Y)的分布律為X\Y1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得(2)P{0Y≤b}。解答：P{12X23,0Y47/121/121/3習(xí)題6設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)服從二維正態(tài)分布N(0,0,102,102,0),F(x,y)=∫∞x∫∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.設(shè)0≤x≤1,y1,由(1)知P{y=0}=,對應(yīng)X的值,將每行的概率相加,可得P{X=i}.對應(yīng)Y的值(最上邊的一行),P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,0123/118/110(2)在X=2的條件下，Y的條件分布律為Y∣(X=2)piP{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj),從而(X,Y)的聯(lián)合概率分布為X\Y1/2132101/2P{X=2}P{Y=1/2}P{X=1}P{Y=1/2}P{X=0}P{Y=1/2}P{X=1/2}P{Y=1/2}P{X=2}P{Y=1}P{X=1}P{Y=1}P{X=0}P{Y=1}P{X=1/2}P{Y=1}P{X=2}P{Y=3}P{X=1}P{Y=3}P{X=0}P{Y=3}P{X=1/2}P{Y=3}亦即表X\Y而火車這段時(shí)間開出的時(shí)間Y的密度P{YX}=∫05∫x52(5y)125dydx=13.習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量X與Y都服從N(0,1)分布，且X與Y相互獨(dú)立，求(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù).解答：由題意知，隨機(jī)變量X,Y的概率密度函數(shù)分別是P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}?P{∣X∣≤a},而事件{∣X∣≤a}?{X≤a},P{a有實(shí)根}=P{X2≥Y}=∫∫x2yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212ey2dy=12π[Φ(1)Φ(0),又Φ(1)=,P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(ij),于是，隨機(jī)變量U和V的聯(lián)合概率分布為1/101/53/101/51/101/10試求：(1)Z=X+Y。=∫01dy∫y2y12dx=14,　P{U=1,V=1}=1P{U=0,V=0}P{U=0,V=1}P{U=1,V=0}=1/2,即U\VFZ(z)={1ez22,z≥00,z0.Z的分布密度為f(x,y)={12(x+y)e(x+y),x0,y00,其它,(1)問X和Y是否相互獨(dú)立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=∫∞+∞f(x,y)dyf(x,y)≠fX(x)fY(y),x0,y0,所以X與Y不獨(dú)立.(2)用卷積公式求fZ(z)=∫∞+∞f(x,zx)dx.當(dāng){x0zx0fY(y)={ey,y≥00,y0,由卷積公式得Z=X+Y的概率密度為fZ(z)=∫0+∞fX(zy)eydy=∫max(0,z1)zeydy=emax(0,z1)ez,即f(x,y)={11e1e(x+y),0x1,0y+∞,0,其它.（2）由邊緣概率密度的定義得FX(x)=∫0xet1e1dt=1ex1e1,0x1，所以FX(x)={0,x≤0,1ex1e1,0x1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0yetdt=1ey,0y+∞,0,y≤0，因此=1P{min(X,Y)z}=1P{X≥z,Y≥z} F2(z)={1eβz,z≥00,z0,P{amin{X,Y}≤b}=[P{Xa}]2[P{Xb}]2.解答：設(shè)min{X,Y}=Z,則j=1,2,3), p?1p21=p11=1618=124,又由獨(dú)立性，有 p11=p1?p?1=p1?16故p1?==1412418, 又由p12=p1?p?2, 即18=14?p?2.從而p?2=12. 類似的有 p?3=13,p13=14,p2?=34.將上述數(shù)值填入表中有X\Y1/12p?j1/6⑤當(dāng)x≥2,y≥0時(shí)， F(x,y)=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=1} +P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0} =1。習(xí)題5設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布如下表：求：(1)a值；(2)(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)；(3)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣分布函數(shù)FX(x)與FY(y).解答：(1)\because由分布律的性質(zhì)可知∑i?jPij=1, 故14+14+16+a=1,∴a=13.(2)因F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}①當(dāng)x1或y1時(shí)，F(xiàn)(x,y)=0。3/8pi?y1習(xí)題3在元旦茶話會(huì)上，每人發(fā)給一袋水果，內(nèi)裝3只橘子，2只蘋果，3只香蕉. 今從袋中隨機(jī)抽出4只，以X記橘子數(shù)，Y記蘋果數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合分布.解答：X可取值為0,1,2,3,Y可取值0,1,2. P{X=0,Y=0}=P{?}=0, P{X=0,Y=1}=C30C21C33/C84=2/70, P{X=0,Y=2}=C30C22C32/C84=3/70, P{X=1,Y=0}=C31C20C33/C84=3/70, P{X=1,Y=1}=C31C21C32/C84=18/70 , P{X=1,Y=2}=C31C22C31/C84=9/70, P{X=2,Y=0}=C32C20C32/C84=9/70, P{X=2,Y=1}=C32C21C31/C84=18/70, P{X=2,Y=2}=C32C22C30/C84=3/70, P{X=3,Y=0}=C33C20C31/C84=3/70, P{X=3,Y=1}=C33C21C30/C84=2/70, P{X=3,Y=2}=P{?}=0,所以，(X,Y)的聯(lián)合分布如下：X\YXP{amin{X,Y}≤b}=1[P{Xb}]2(1[P{Xa}]2)?1(x)={αeαx,x00,x≤0,FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)，其中=∫0+∞fX(zy)eydy.由0zy1得z1yz,可見：當(dāng)z≤0時(shí)，有fX(zy)=0,當(dāng)z0時(shí)，fZ(z)=∫0z12xexdx=12z2ez.于是，Z=X+Y的概率密度為當(dāng)z≥0時(shí)，011/101/53/101/51/101/10(X,Y)X+YXYX/Ymax{x,Y}(2)Z=XY。fXY(x,y)={2(5y)125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它,故此人能及時(shí)上火車的概率為fX(x)={15,0≤x≤50,其它, 因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，所以X與Y的聯(lián)合密度為：fY(y)={2(5y)25,0≤y≤50,其它,求此人能及時(shí)上火車站的概率.解答：由題意知X的密度函數(shù)為pipkY012P{X=k∣Y=51}所以x與y不獨(dú)立.習(xí)題2將某一醫(yī)藥公司9月份和8份的青霉素針劑的訂貨單分別記為X與Y. 據(jù)以往積累的資料知X和Y的聯(lián)合分布律為fX(x)={6(xx2),0≤x≤10,其它={∫(2x)dx,0≤y≤10,其它={(4yy2),0≤y≤10,其它.習(xí)題10設(shè)(X,Y)在曲線y=x2,y=x所圍成的區(qū)域G里服從均勻分布，求聯(lián)合分布密度和邊緣分布密度.解答：區(qū)域G的面積A=∫01(xx2)dx=16,有2(3)P{Xa,Y≤b}.解答：P{Xa,Y≤b}=F(+∞,b)F(a,b).習(xí)題3(1)：試求：1/61/91/180149pi(3)F(5)F(3)≈.習(xí)題18100件產(chǎn)品中，90個(gè)一等品，10個(gè)二等品，隨機(jī)取2個(gè)安裝在一臺(tái)設(shè)備上，若一臺(tái)設(shè)備中有i個(gè)(i=0,1,2)二等品，則此設(shè)備的使用壽命服從參數(shù)為λ=i+1的指數(shù)分布.(1)試求設(shè)備壽命超過1的概率 ；(2)已知設(shè)備壽命超過1，求安裝在設(shè)備上的兩個(gè)零件都是一等品的概率 .解答：(1)設(shè)X表示設(shè)備壽命. A表示“設(shè)備壽命超過1”，Bi表示“取出i個(gè)二等品”(i=0,1,2)，則X的密度函數(shù)為 fX(x)={λeλx,x00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2), P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002, P(A∣B0)=∫1+∞exdx=e1, P(A∣B1)=∫1+∞2e