【正文】 1y,1ye0,其它.習題5設X～N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非單調函數(shù)，故用分布函數(shù)法先求FY(y).其反函數(shù)為x=lny,P容易求得∴a=1/10.(2)試求：(1)a。求：(1)若動身時離開車時間只有60分鐘，應走哪一條路線？(2)若動身時離開車時間只有45分鐘，應走哪一條路線？解答：設X,Y分別為該人走第一、二條路到達火車站所用時間，則查標準正態(tài)表得x1706,.解答：X～N(170,36),即1P{X≤x}≤,使P{Xx}≤.解答：已知血壓X～N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X11012≤512≈1Φ()=,x400060≈,1Φ(x400060)=,即即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c32)=12,所以X32=Z～N(0,1).(1)欲使P{Xc}=P{X≤c},P{Y=1}=C101≈.習題7設X～N(3,22).(1)確定C, n=10,p=P{X≥4}=15=,所以=100x∣150+∞=100150=23,從而三個電子管在使用150小時以上不需要更換的概率為f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一電子管的使用壽命為X,當x≥0時，F(xiàn)(x)=∫∞x12e∣x∣dt=∫∞012etdt+∫0x12etdt所以2A=1,=Aex∣∞0+(Aex∣0+∞)=A+A=2A或 即\becauselimx→0+(A+Be2x)=F(0)=0,(3)概率密度函數(shù)F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be2x)=1,F(x)={0,x≤0x2,0x,x≥1習題3設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為當X≥1時，F(xiàn)(x)=∫∞xf(t)dt=∫∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故求P{X≤}。F(x)=P{X≤x}={0,x0xa,0≤x,x≥a{A+B(π2)A+B(π2)=1=0?A=12,B=1π,于是F(x)=A+Barctanx(∞x+∞),試求：(1)系數(shù)A與B。F(x)={0,x0x2,0≤x1x12,1≤x,x≥,求P{X≤},P{X},P{X≤2}.解答：P{X≥}=P{}F()=(),P{X}=1P{X≤}=1F()=,P{X≤2}=F(2)F()=11=0.習題6設隨機變量X的分布函數(shù)為pkPkF(1+0)=F(1)=1,且是隨機變量X的分布函數(shù)，則X是___________型的隨機變量.解答：離散.由于F(x)是一個階梯函數(shù)，故知X是一個離散型隨機變量.習題2設F(x)={0x0x20≤1,1x≥14)=e4(1+41!+422!)≈.習題12設書籍上每頁的印刷錯誤的個數(shù)X服從泊松分布，經統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)在某本書上，有一個印刷錯誤與有兩個印刷錯誤的頁數(shù)相同，求任意檢驗4頁，每頁上都沒有印刷錯誤的概率.解答：\becauseP{X=1}=P{X=2},求P{Y≥1}.解答：因為X～b(2,p),P{X=0}=(1p)2=1P{X≥1}=15/9=4/9,所以p=1/3.因為Y～b(3,p),P習題8某種產品共10件，其中有3件次品，現(xiàn)從中任取3件，求取出的3件產品中次品的概率分布.解答：設X表示取出3件產品的次品數(shù)，則X的所有可能取值為0,1,2,3.P0p1=P{X=0}==,X=1表示投中一次，其概率為P{X≥m}=,即P{X≤m1}=. 由于(3)?解答：(1)P{X=k}=(1p)kp=()k,k=0,1,2,?。=12c134c=24c3==.習題4一袋中裝有5只球，編號為1,2,3,4,5.c=3716=.由條件概率知(3)P{X3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.習題3已知隨機變量X只能取1,0,1,2四個值，相應概率依次為12c,34c,58c,716c,(3)P{X3}.解答：(1)P{12X52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15。(2)P{1≤X≤3}。λeλ=λ^2/2e^λ,解得λ=2.習題2設隨機變量X的分布律為X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3則X取每個值的概率為隨機事件及其概率 隨機事件習題1試說明隨機試驗應具有的三個特點．習題2將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件A，B，C分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面”，試寫出樣本空間及事件A，B，C中的樣本點. 隨機事件的概率 古典概型與幾何概型 條件概率 事件的獨立性復習總結與總習題解答習題3. 證明下列等式：習題5.習題6.習題7習題8習題9習題10習題11習題12習題13習題14習題15習題16習題17習題18習題19習題20習題21習題22習題23習題24習題25習題26第二章 隨機變量及其分布 隨機變量習題1隨機變量的特征是什么？解答：①隨機變量是定義在樣本空間上的一個實值函數(shù).②隨機變量的取值是隨機的，事先或試驗前不知道取哪個值.③隨機變量取特定值的概率大小是確定的.習題2試述隨機變量的分類.解答：①若隨機變量X的所有可能取值能夠一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量；否則稱為非離散型隨機變量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段連續(xù)區(qū)間上取值，則稱X為連續(xù)型隨機變量.習題3盒中裝有大小相同的球10個，編號為0,1,2,?,9,P{X=2}=P{取出球的號碼大于5}=4/10. 離散型隨機變量及其概率分布習題1設隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,試求(1)P{12X52。(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}試確定常數(shù)c,P{X1∣X≠0}=P{X1,X≠0}P{X≠0}=P{X=1}P{X≠0}在袋中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律.解答：隨機變量X的可能取值為3,4,5.P{X=3}=C22?1C53=110, (2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞()k=()5。m≈≈5,因此，.,p2=P{X=1}=.則隨機變量的分布律為對應概率分布為P{X=0}=C73C103=35120,3512036120211201120習題9一批產品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次從這批產品中任取一件，取出的產品仍放回去，求直至取到正品為止所需次數(shù)X的概率分布.解答：由于每次取出的產品仍放回去，各次抽取相互獨立，下次抽取時情況與前一次抽取時完全相同，所以X的可能取值是所有正整數(shù)1,2,?,k,?.設第k次才取到正品(前k1次都取到次品),所以 n=800,p=,np=4,應用泊松定理，所求概率為：P{0≤X≤2}=P{?0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k。即問F(x)是否為某隨機變量的分布函數(shù).解答：首先，因為0≤F(x)≤1,?x∈(∞,+∞).其次，F(xiàn)(x)單調不減且右連續(xù)，即所以其分布函數(shù)F(x)=P{X≤x}={0,x,1≤x,3≤x51,x≥5.F(x)的圖形見圖.習題4設離散型隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)={0,x,1≤x,1≤x31,x≥3,試求：(1)X的概率分布；(2)P{X2∣X≠1}.解答：(1)(2)P{X2∣X≠1}=P{X=1}P{X≠1}=23.習題5設X的分布函數(shù)為(2)X落在(1,1]內的概率.解答：(1)由于F(∞)=0,F(+∞)=1,F(x)=12+1πarctanx, 連續(xù)型隨機變量及其概率密度習題1設隨機變量X的概率密度為f(x)=12πe(x+3)24(∞x+∞),則Y=175。P{X=}?！郆=1.(2)即A=1/2.從而f(x)=12e∣x∣,∞x+∞,則三個電子管使用150小時都不需要更換的概率.解答：設電子管的使用壽命為X, 使得P{Xc}=P{X≤c}。必有1P{X≤c}=P{X≤c},所以P{X≤d}≤.于是Φ(d32)≤,Φ(3d2)≥≥,=1P{∣X10∣≤=1[Φ()Φ()] 1P{Xx}=,所以1F(x)=,所以Φ(x400060)=.查標準正態(tài)人分布表得Φ()=,即x=4077件，就是說，想獲超產獎的工人，每月必須裝配4077件以上.習題10某地區(qū)18歲女青年的血壓(收縮壓，以mmHG計)服從N(110,122).P{100X≤120}=Φ(12011012)Φ(10011012)亦即則X1706～N(0,1).設公共汽車門的高度為xcm，由題意P{Xx},故x.因此，.習題12某人去火車站乘車，有兩條路可以走. 第一條路程較短，但交通擁擠，所需時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N(40,102)。X～N(40,102),Y～N(50,42).(2)Y=X21的概率分布.解答：(1)\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1,Y1038pi3/101/53/101/5習題2設X的分布律為P{X=k}=12k,k=1,2,?,P{Y=1}=215,P{=0}=13,P{Y=1}=815故Y的分布律列表表示為Y21513815習題3設隨機變量X服從[a,b]上的均勻分布，令Y=cX+d(c≠0),可得=P{y12≤X≤y12=∫y12y1212πex2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe12?y12?122y1,y1,求下列隨機變量Y的概率密度：(1)Y=1X。；②當y0時，F(xiàn)Y(y)=P{1/y≤X0}=F(0)F(1/y),故這時fY(y)=1y2f(1y)。③當y=0時，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故這時取FY(y)=0,試求θ(°F)的概率密度.解答：已知T～N(,2).=910πe81100(y37)2.習題8設隨機變量X在任一區(qū)間[a,b]上的概率均大于0,FY(y)=P{Y≤y}={0,y0y,0≤y≤11,y0,于是，Z的分布函數(shù)為FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}所以c=1210,=1210(2+4+?+20)=1121.,故(1)P{X=3}=C103()3()7≈。(3)因X～b(10,),2500120元=30000元.設1年中死亡人數(shù)為X,=∑k=010C2500k()()2500k≈∑k=010e55kk!≈,即保險公司獲利不少于100000元的概率在98%以上.=∑k=05C2500k()k()2500k≈∑k=05e55kk!≈,即保險公司獲利不少于200000元的概率接近于62%.習題4一臺總機共有300臺分機，總機擁有13條外線，假設每臺分機向總機要外線的概率為3%, 試求每臺分機向總機要外線時，能及時得到滿足的概率和同時向總機要外線的分機的最可能臺數(shù).解答：設分機向總機要到外線的臺數(shù)為X,即λ=np=300=9,可用泊松近似公式計算上面的概率. 因總共只有13條外線，要到外線的臺數(shù)不超過13，故P{X≤13}≈∑k=0139kk!e9≈,(2)t=5,λ=5/2,pi{1/2+12q+q2=10≤12q≤1q2≤1,解得q=11/2.pi,P{∣X∣π/6}=175。于是有當x0時，由題設知P{xX≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),即積分之得通解為C[1F(x)]=eλx(C為任意常數(shù)).注意到初始條件F(0)=0,P{X≤T}=F(T)=1eλT.習題9設連續(xù)型隨機變量X的分布密度為當0x≤1時，F(xiàn)(x)=∫∞xf(t)dt=∫∞00tdt+∫0xtdt=12x2。F(x)=∫0x19tet3dt=1(1+x3)e