【正文】 。 =100x∣150+∞=100150=23,從而三個電子管在使用150小時以上不需要更換的概率為p=(2/3)3=8/27.習(xí)題6設(shè)一個汽車站上，某路公共汽車每5分鐘有一輛車到達(dá)，設(shè)乘客在5分鐘內(nèi)任一時間到達(dá)是等可能的，試計算在車站候車的10位乘客中只有1位等待時間超過4分鐘的概率.解答：設(shè)X為每位乘客的候車時間，則X服從[0,5]上的均勻分布. 設(shè)Y表示車站上10位乘客中等待時間超過4分鐘的人數(shù). .Y服從二項分布，其參數(shù) n=10,p=P{X≥4}=15=,所以 P{Y=1}=C101≈.習(xí)題7設(shè)X～N(3,22).(1)確定C,使得P{Xc}=P{X≤c}。(2)設(shè)d滿足P{Xd}≥,問d至多為多少?解答：因為X～N(3,22),所以X32=Z～N(0,1).(1)欲使P{Xc}=P{X≤c},必有1P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c32)=12,所以 c32=0,故c=3.(2)由P{Xd}≥{X≤d}≥,即 P{X≤d}≤.于是Φ(d32)≤,Φ(3d2)≥≥,所以d≤.習(xí)題8設(shè)測量誤差X～N(0,102),先進(jìn)行100次獨立測量，.解答：,p=P{∣X∣}=1P{∣X∣≤}=1P{∣X10∣≤=1[Φ()Φ()] =1[2Φ()1]=1[2]==.，則Y～b(100,).因為n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,所以P{Y≥3}≈150e50!51e51!52e52!=137225≈.習(xí)題9某玩具廠裝配車間準(zhǔn)備實行計件超產(chǎn)獎，為此需對生產(chǎn)定額作出規(guī)定. 根據(jù)以往記錄，各工人每月裝配產(chǎn)品數(shù)服從正態(tài)分布N(4000,3600).假定車間主任希望10%的工人獲得超產(chǎn)獎，求：工人每月需完成多少件產(chǎn)品才能獲獎？解答：用X表示工人每月需裝配的產(chǎn)品數(shù)，則X～N(4000,3600).設(shè)工人每月需完成x件產(chǎn)品才能獲獎，依題意得P{X≥x}=,即 1P{Xx}=,所以1F(x)=,即1Φ(x400060)=,所以Φ(x400060)=.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)人分布表得Φ()=,因此x400060≈,即x=4077件，就是說，想獲超產(chǎn)獎的工人，每月必須裝配4077件以上.習(xí)題10某地區(qū)18歲女青年的血壓(收縮壓，以mmHG計)服從N(110,122).在該地區(qū)任選一18歲女青年，測量她的血壓X.(1)求P{X≤105},P{100X≤120}。(2)確定最小的x,使P{Xx}≤.解答：已知血壓X～N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X11012≤512≈1Φ()=,P{100X≤120}=Φ(12011012)Φ(10011012)=Φ()Φ()=2Φ()1≈.(2)使P{Xx}≤,求x,即1P{X≤x}≤,亦即Φ(x11012)≥,查表得x10012≥,從而x≥.習(xí)題11設(shè)某城市男子身高X～N(170,36),.解答：X～N(170,36),則X1706～N(0,1).設(shè)公共汽車門的高度為xcm，由題意P{Xx},而P{Xx}=1P{X≤x}=1Φ(x1706),即Φ(x1706),查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得x1706,故x.因此，.習(xí)題12某人去火車站乘車，有兩條路可以走. 第一條路程較短，但交通擁擠，所需時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N(40,102)。第二條路程較長，但意外阻塞較少，所需時間服從正態(tài)分布N(50,42),求：(1)若動身時離開車時間只有60分鐘，應(yīng)走哪一條路線？(2)若動身時離開車時間只有45分鐘，應(yīng)走哪一條路線？解答：設(shè)X,Y分別為該人走第一、二條路到達(dá)火車站所用時間，則X～N(40,102),Y～N(50,42).哪一條路線在開車之前到達(dá)火車站的可能性大就走哪一條路線.(1)因為P{X60}=Φ(604010)=Φ(2)=,P{Y60}=Φ(60504)=Φ()=,所以有60分鐘時應(yīng)走第二條路.(2)因為P{X45}=Φ(454010)=Φ()=,P{X45}=Φ(45504)=Φ()=1Φ()==所以只有45分鐘應(yīng)走第一條路. 隨機(jī)變量函數(shù)的分布習(xí)題1已知X的概率分布為X210123pi2a1/103aaa2a試求：(1)a。(2)Y=X21的概率分布.解答：(1)\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1,∴a=1/10.(2)Y1038pi3/101/53/101/5習(xí)題2設(shè)X的分布律為P{X=k}=12k,k=1,2,?,求Y=sinπ2X的分布律.解答：因為sinxnπ2={1,當(dāng)n=4k10,當(dāng)n=2k1,當(dāng)n=4k3,所以Y=sin(π2X)只有三個可能值1,0,1.容易求得P{Y=1}=215,P{=0}=13,P{Y=1}=815故Y的分布律列表表示為Y101P21513815習(xí)題3設(shè)隨機(jī)變量X服從[a,b]上的均勻分布，令Y=cX+d(c≠0),試求隨機(jī)變量Y的密度函數(shù).解答：fY(y)={fX(ydc)?1∣c∣,a≤ydc≤b0,其它,當(dāng)c0時，fY(y)={1c(ba),ca+d≤y≤cb+d0,其它,當(dāng)c0時，fY(y)={1c(ba),cb+d≤y≤ca+d0,其它.習(xí)題4設(shè)隨機(jī)變量X服從[0,1]上的均勻分布，求隨機(jī)變量函數(shù)Y=eX的概率密度fY(y).解答：f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，y∈(1,e),其反函數(shù)為x=lny,可得f(x)={fX(lny)∣ln′y,1ye0,其它={1y,1ye0,其它.習(xí)題5設(shè)X～N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非單調(diào)函數(shù)，故用分布函數(shù)法先求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(當(dāng)y1時)=P{y12≤X≤y12=∫y12y1212πex2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe12?y12?122y1,y1,于是fY(y)={12π(y1)ey14,y10,y≤1.習(xí)題6設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),分布函數(shù)為F(x),求下列隨機(jī)變量Y的概率密度：(1)Y=1X。(2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①當(dāng)y0時，F(xiàn)Y(y)=P{1/X≤0}+P{01/X≤y}=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1F(1/y),故這時fY(y)=[F(1y)]′=1y2f(1y)。；②當(dāng)y0時，F(xiàn)Y(y)=P{1/y≤X0}=F(0)F(1/y),故這時fY(y)=1y2f(1y)。③當(dāng)y=0時，F(xiàn)Y(y)=P{1/X≤0}=P{X0}=F(0),故這時取fY(0)=0,綜上所述fY(y)={1y2?f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①當(dāng)y0時，F(xiàn)Y(y)=P{y≤X≤y}=F(y)F(y)這時fY(y)=f(y)+f(y)。②當(dāng)y0時，F(xiàn)Y(y)=P{?}=0,這時fY(y)=0。③當(dāng)y=0時，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故這時取FY(y)=0,綜上所述fY(y)={f(y)+f(y),y00,y≤0.習(xí)題7某物體的溫度T(°F)是一個隨機(jī)變量, 且有T～N(,2),已知θ=5(T32)/9,試求θ(°F)的概率密度.解答：已知T～N(,2).θ=59(T32),反函數(shù)為T=59θ+32,是單調(diào)函數(shù)，所以fθ(y)=fT(95y+32)?95=12π?2e(95y+)24?95 =910πe81100(y37)2.習(xí)題8設(shè)隨機(jī)變量X在任一區(qū)間[a,b]上的概率均大于0,其分布函數(shù)為FY(x),又Y在[0,1]上服從均勻分布，證明:Z=FX1(Y)的分布函數(shù)與X的分布函數(shù)相同.解答：因X在任一有限區(qū)間[a,b]上的概率均大于0,故FX(x)是單調(diào)增加函數(shù)，其反函數(shù)FX1(y)存在，又Y在[0,1]上服從均勻分布，故Y的分布函數(shù)為FY(y)=P{Y≤y}={0,y0y,0≤y≤11,y0,于是，Z的分布函數(shù)為FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}={0,FX(z)0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)1由于FX(z)為X的分布函數(shù)，故0≤FX(z)≤1.FX(z)0和FX(z)1均勻不可能，故上式僅有FZ(z)=FX(z),因此，Z與X的分布函數(shù)相同.總習(xí)題解答習(xí)題1從1～20的整數(shù)中取一個數(shù)，若取到整數(shù)k的概率與k成正比，求取到偶數(shù)的概率.解答：設(shè)Ak為取到整數(shù)k,P(Ak)=ck,k=1,2,?,20.因為P(?K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，所以c=1210,P{取到偶數(shù)}=P{A2∪A4∪?∪A20}=1210(2+4+?+20)=1121.,求射擊10炮,(1)命中3炮的概率。(2)至少命中3炮的概率。(3)最可能命中幾炮.解答：若隨機(jī)變量X表示射擊10炮中中靶的次數(shù). 由于各炮是否中靶相互獨立，所以是一個10重伯努利概型，X服從二項分布，其參數(shù)為n=10,p=,故(1)P{X=3}=C103()3()7≈。(2)P{X≥3}=1P{X3}=1[C100()0()10+C101()1()9+C102()2()8]≈。(3)因X～b(10,),而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]=[]=7,故最可能命中7炮.習(xí)題3在保險公司里有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了人壽保險，每個參加保險的人在1月1日須交120元保險費，而在死亡時家屬可從保險公司里領(lǐng)20000元賠償金，求:(1)保險公司虧本的概率。(2)保險公司獲利分別不少于100000元, 200000元的概率.解答：1)以“年”為單位來考慮，在1年的1月1日，保險公司總收入為2500120元=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X,則X～b(2500,),則保險公司在這一年中應(yīng)付出200000X(元)，要使保險公司虧本，則必須200000X300000即X15(人).因此，P{保險公司虧本}=P{X15}=∑k=162500C2500k()k()2500k≈1∑k=015e55kk!≈,由此可見,在1年里保險公司虧本的概率是很小的.(2)P{保險公司獲利不少于100000元}=P{300000200000X≥100000}=P{X≤10}=∑k=010C2500k()()2500k≈∑k=010e55kk!≈,即保險公司獲利不少于100000元的概率在98%以上. P{保險公司獲利不少于200000元}=P{300000200000X≥200000}=P{X≤5}=∑k=05C2500k()k()2500k≈∑k=05e55kk!≈,即保險公司獲利不少于200000元的概率接近于62%.習(xí)題4一臺總機(jī)共有300臺分機(jī)，總機(jī)擁有13條外線，假設(shè)每臺分機(jī)向總機(jī)要外線的概率為3%, 試求每臺分機(jī)向總機(jī)要外線時，能及時得到滿足的概率和同時向總機(jī)要外線的分機(jī)的最可能臺數(shù).解答：設(shè)分機(jī)向總機(jī)要到外線的臺數(shù)為X,300臺分機(jī)可看成300次伯努利試驗，一次試驗是否要到外線. 設(shè)要到外線的事件為A,則P(A)=,顯然X～b(300,),即P{X=k}=C300k()k()300k(k=0,1,2,?,300),因n=300很大，p=, λ=np=300=9,可用泊松近似公式計算上面的概率. 因總共只有13條外線，要到外線的臺數(shù)不超過13，故P{X≤13}≈∑k=0139kk!e9≈,(查泊松分布表)且同時向總機(jī)要外線的分機(jī)的最可能臺數(shù) k0=[(n+1)p]=[301]=9.習(xí)題5在長度為t的時間間隔內(nèi)，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)t2的泊松分布，而與時間間隔的起點無關(guān)(時間以小時計),求：(1)某一天從中午12至下午3時沒有收到緊急呼救的概率；(2)某一天從中午12時至下午5時至少收到1次緊急呼救的概率.解答：(1)t=3,λ=3/2,P{X=0}=e3/2≈。(2)t=5,λ=5/2,P{X≥1}=1P{X=0}=1e5/2≈.習(xí)