【正文】 ,z00,z≤0.習題9設隨機變量X,Y相互獨立，且服從同一分布，試明：則fX(x)={1,0x10,其它,=12π∫∫x2+y2≤z2ex2+y22dxdy=12π∫02πdθ∫0zeρ22ρdρU={0,X≤Y1,XY,1122013412可見P{U=i,V=j}=0(ij).此外，有=∫01ex22dx=1[∫∞1ex22dx∫∞0ex22dx](2)因{a有實根}={判別式Δ2=4X24Y≥0}={X2≥Y},故如圖所示得到：各有=111216=34.習題6某旅客到達火車站的時間X均勻分布在早上7:55～8:00,求：(1)邊緣概率密度函數(shù)；(2)條件概率密度函數(shù).解答：(1)fX(x)=∫∞+∞f(x,y)dy={3x2,0x10,其它,pk0125152535455P{y=1∣x=0}=13.(3)已知P{x=0,y=0}=715,(3)判定X與Y是否獨立？解答：(1)由(x,y)的分布律知，y只取0及1兩個值.fY(y)=∫∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(yy),0≤y≤1,即fY(y)={6(yy),0≤y≤10,其它. 條件分布與隨機變量的獨立性習題1二維隨機變量(X,Y)的分布律為X\Y即故pk=0+16+512=712,同樣可求得1{X=1,Y=0},=47+4737=57.習題5(X,Y)只取下列數(shù)值中的值：(3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.習題4設X,Y為隨機變量，且可知fY(y)={1y11,1y20,其它.第三章 多維隨機變量及其分布=2∫0y1(1x)dx=1(1y1)2,從而Y的分布函數(shù)為=P{Y1≤x≤y1}=∫y1y1(1∣x∣)dxFY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}fX(x)={0,x02x3ex2,x≥0,求Y=2X+3的密度函數(shù).解答：由Y=2X+3,fK(k)={1/5,0k50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有實根的充要條件為(4K)24?4(K+2)≥0,于是F(x)={0,x≤212x2,0x≤11+2xx22,1x≤21,x2.習題10某城市飲用水的日消費量X(單位：百萬升)是隨機變量，其密度函數(shù)為：故X的分布函數(shù)為1/2.由分布函數(shù)F(x)的右連續(xù)性，有滿足∑ipi=1,101則P(A)=,P{保險公司獲利不少于200000元}≈1∑k=015e55kk!≈,由此可見,在1年里保險公司虧本的概率是很小的.(2)P{保險公司獲利不少于100000元}(2)至少命中3炮的概率。因此，Z與X的分布函數(shù)相同.總習題解答習題1從1～20的整數(shù)中取一個數(shù)，若取到整數(shù)k的概率與k成正比，求取到偶數(shù)的概率.解答：設Ak為取到整數(shù)k,又Y在[0,1]上服從均勻分布，證明:Z=FX1(Y)的分布函數(shù)與X的分布函數(shù)相同.解答：因X在任一有限區(qū)間[a,b]上的概率均大于0,反函數(shù)為T=59θ+32,②當y0時，F(xiàn)Y(y)=P{?}=0,(2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①當y0時，F(xiàn)Y(y)=P{1/X≤0}+P{01/X≤y}fY(y)={12π(y1)ey14,y10,y≤1.習題6設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x),101 隨機變量函數(shù)的分布習題1已知X的概率分布為X210123pi2a1/103aaa2aP{Y60}=Φ(60504)=Φ()=,所以有60分鐘時應走第二條路.(2)因為P{X45}=Φ(454010)=Φ()=,P{Xx}=1P{X≤x}=1Φ(x1706),即Φ(x1706),從而x≥.習題11設某城市男子身高X～N(170,36),(2)確定最小的x,所以先進行100次獨立測量，.解答：,故c=3.(2)由P{Xd}≥{X≤d}≥,問d至多為多少?解答：因為X～N(3,22),Y服從二項分布，其參數(shù)=12et∣∞012et∣0x=1212ex+12=112ex,從而F(x)={12ex,x0112ex,x≥0.習題5某型號電子管，其壽命(以小時計)為一隨機變量，概率密度所以當x0時，F(xiàn)(x)=∫∞x12e∣t∣dt=12∫∞xetdt=12et∣∞x=12ex。 當0x1時，F(xiàn)(x)=∫∞xf(t)dt=∫∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2。=12+1π?π4121π(π4)=12.習題7在區(qū)間[0,a]上任意投擲一個質點，[0,a]中任意小區(qū)間內的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例，試求X的分布函數(shù).解答：=(12+1πarctan1)[12+1πarctanx(1)](2)P{1X≤1}=F(1)F(1)λ11!eλ=λ22!eλ?λ=2,∴P{X=0}=e2,∴p=(e2)4=e8. 隨機變量的分布函數(shù)習題1F(X)={0,x,2≤x01,x≥0,≈∑k=02P(k。在τ這段時間內斷頭次數(shù)不大于2的概率.解答：以X記紡錠斷頭數(shù),若P{X≥1}=59,解上式得當生產過程中出現(xiàn)廢品時立即進行調整，X代表在兩次調整之間生產的合格品數(shù)，試求：(1)X的概率分布；P{X=5}=C42?1C53=35,所以X的分布律為X345pk1/103/103/5習題5某加油站替出租車公司代營出租汽車業(yè)務，每出租一輛汽車，每天加油站要多付給職工服務費60元，設每天出租汽車數(shù)X是一個隨機變量，它的概率分布如下：X10203040pi求因代營業(yè)務得到的收入大于當天的額外支出費用的概率.解答：因代營業(yè)務得到的收入大于當天的額外支出費用的概率為：即3716c=1,解得 從中任取1個，觀察號碼是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情況，試定義一個隨機變量來表達上述隨機試驗結果，并寫出該隨機變量取每一個特定值的概率.解答：分別用ω1,ω2,ω3表示試驗的三個結果“小于5”，“等于5”，“大于5”，則樣本空間S={ω1,ω2,ω3},求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2},P{3X60},求他一次投籃時，投籃命中的概率分布.解答：此運動員一次投籃的投中次數(shù)是一個隨機變量，設為X,P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律為則隨機變量X的分布律為F(0+0)=F(0)=0,X113可知～N(0,1).解答：應填3+X2.由正態(tài)分布的概率密度知μ=3,σ=2由Y=Xμσ～N(0,1),∴A=1。P{1X1}=F(1)F(1)=1e2.(3)f(x)=F′(x)={2ex,x00,x≤0.習題4服從拉普拉斯分布的隨機變量X的概率密度f(x)=Ae∣x∣,∫∞+∞Ae∣x∣dx=1,而∫∞+∞Ae∣x∣dx=∫∞0Aexdx+∫0+∞Aexdx則電子管使用150小時以上的概率為即因此=Φ()Φ()=2Φ()1≈.(2)使P{Xx}≤,而求Y=sinπ2X的分布律.解答：因為試求隨機變量Y的密度函數(shù).解答：于是③當y=0時，F(xiàn)Y(y)=P{1/X≤0}=P{X0}=F(0),故這時取fY(0)=0,綜上所述P(Ak)=ck,(2)P{X≥3}=1P{X3}而則X～b(2500,),=∑k=162500C2500k()k()2500k=P{300000200000X≥100000}=P{X≤10}=P{300000200000X≥200000}=P{X≤5}k0=[(n+1)p]=[301]=9.習題5在長度為t的時間間隔內，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)t2的泊松分布，而與時間間隔的起點無關(時間以小時計),1/212qq2試求：(1)q的值；1/2213/22(2)由F(x)=P{X≤x}計算X的分布函數(shù)F(x)={0,1/2,21/2,1,x11≤x00≤x0x≥1.習題7設隨機變量X的分布函數(shù)F(x)為=P{π6X≤π6=F(π6)F(π6)=12..習題8使用了x小時的電子管，在以后的Δx小時內損壞的概率等于λΔx+o(Δx),當1x≤2時，=0+12+(2t12t2)∣1x=1+2xx22。f(x)={19xex3,x00,其它,試求：(1)該城市的水日消費量不低于600萬升的概率；(2)水日消費量介于600萬升到900萬升的概率.解答：先求X的分布函數(shù)F(x).所以而P{a1X≤a+1}=∫a1a+1f(x)dx=∫a1a0dx+∫aa+1λeλaeλxdx而當xa時，f(x)=0.習題12已知X～f(x)={12x212x+3,0x10,其它,=P{X≤}P{X≤}=∫(12x212x+2)dx∫(12x212x+3)dxF1(∞)=F2(∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)單調非減，右連續(xù)，且解得K≥2(K≤1舍去),F(x)={,x≥00,x0,X服從指數(shù)分布(λ=)。X2則Y的取值范圍為[1,2).解答：P{0Y≤b}=F(+∞,b)F(+∞,0).習題2(3)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用F(x,y)表示：P{X≥0,Y≥0}=37,請列出(X,Y)的概率分布表，并寫出關于Y的邊緣分布.解答：(1)因為所給的一組概率實數(shù)顯然均大于零，且有16+13+112+512=1,{X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均為不可能事件，其概率必為零. 因而得到下表：0確定常數(shù)k.∫02∫24k(6xy)dydx=k∫02(62x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X1,Y3}=∫01dx∫2318(6xy)dy=38.(3)P{X}=∫∫2418(6xy)dy=2732.(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24x18(6xy)dy=23.習題8已知X和Y的聯(lián)合密度為當x≥1,y≥1時，顯然F(x,y)=1。F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤,x習題9設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為={∫(2x)dy,0≤x≤10,其它={(2x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫∞+∞f(x,y)dxP{y=0}=P{x=0,y=0}+P{x=1,y=0}=715+730=(1)求邊緣分布律。0125/1211/241/8故(1)在Y=1條件下，X的條件分布律為X∣(Y=1)Y1/2131/213于是Φ(1)Φ(0)=,P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3),2311/92/92/9201/92/93001/9習題2設(X,Y)的分布律為X\Y1/101/51/21/101/10XY (3) (4)X/YP{U=0,V=0}=P{X≤Y,X≤2Y}=P{X≤Y}P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X2Y}=0,=∫0zeρ22ρdρ=1ez22.故Z的分布函數(shù)為fZ(z)={zez22,z00,z≤0.習題5設隨機變量(X,Y)的概率密度為\under2line令x+y=t{∫x+∞12tetdt=12(x+1)ex,x00,x≤0,由對稱性知fY(y)={12(y+1)ey,y00,y≤0,{x0xz時，f(x,zx)≠0, 復習總結與總習題解答習題1在一箱子中裝有12只開關，其中2只是次品，在其中取兩次，每次任取一只，考慮兩種試驗：(1)放回抽樣；(2),Y如下：X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,試分別就(1),(2)兩種情況，寫出X和Y的聯(lián)合分布律.解答：(1)有放回抽樣，(X,Y)分布律如下：P{X=0,Y=0}=10101212=2536。45/6610/6610/661/660121/8y21/