【正文】 ,z00,z≤0.習(xí)題9設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且服從同一分布，試明：則fX(x)={1,0x10,其它,=12π∫∫x2+y2≤z2ex2+y22dxdy=12π∫02πdθ∫0zeρ22ρdρU={0,X≤Y1,XY,1122013412可見P{U=i,V=j}=0(ij).此外，有=∫01ex22dx=1[∫∞1ex22dx∫∞0ex22dx](2)因{a有實(shí)根}={判別式Δ2=4X24Y≥0}={X2≥Y},故如圖所示得到：各有=111216=34.習(xí)題6某旅客到達(dá)火車站的時(shí)間X均勻分布在早上7:55～8:00,求：(1)邊緣概率密度函數(shù)；(2)條件概率密度函數(shù).解答：(1)fX(x)=∫∞+∞f(x,y)dy={3x2,0x10,其它,pk0125152535455P{y=1∣x=0}=13.(3)已知P{x=0,y=0}=715,(3)判定X與Y是否獨(dú)立？解答：(1)由(x,y)的分布律知，y只取0及1兩個(gè)值.fY(y)=∫∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(yy),0≤y≤1,即fY(y)={6(yy),0≤y≤10,其它. 條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性習(xí)題1二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為X\Y即故pk=0+16+512=712,同樣可求得1{X=1,Y=0},=47+4737=57.習(xí)題5(X,Y)只取下列數(shù)值中的值：(3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.習(xí)題4設(shè)X,Y為隨機(jī)變量，且可知fY(y)={1y11,1y20,其它.第三章 多維隨機(jī)變量及其分布=2∫0y1(1x)dx=1(1y1)2,從而Y的分布函數(shù)為=P{Y1≤x≤y1}=∫y1y1(1∣x∣)dxFY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}fX(x)={0,x02x3ex2,x≥0,求Y=2X+3的密度函數(shù).解答：由Y=2X+3,fK(k)={1/5,0k50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有實(shí)根的充要條件為(4K)24?4(K+2)≥0,于是F(x)={0,x≤212x2,0x≤11+2xx22,1x≤21,x2.習(xí)題10某城市飲用水的日消費(fèi)量X(單位：百萬升)是隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為：故X的分布函數(shù)為1/2.由分布函數(shù)F(x)的右連續(xù)性，有滿足∑ipi=1,101則P(A)=,P{保險(xiǎn)公司獲利不少于200000元}≈1∑k=015e55kk!≈,由此可見,在1年里保險(xiǎn)公司虧本的概率是很小的.(2)P{保險(xiǎn)公司獲利不少于100000元}(2)至少命中3炮的概率。因此，Z與X的分布函數(shù)相同.總習(xí)題解答習(xí)題1從1～20的整數(shù)中取一個(gè)數(shù)，若取到整數(shù)k的概率與k成正比，求取到偶數(shù)的概率.解答：設(shè)Ak為取到整數(shù)k,又Y在[0,1]上服從均勻分布，證明:Z=FX1(Y)的分布函數(shù)與X的分布函數(shù)相同.解答：因X在任一有限區(qū)間[a,b]上的概率均大于0,反函數(shù)為T=59θ+32,②當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{?}=0,(2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{1/X≤0}+P{01/X≤y}fY(y)={12π(y1)ey14,y10,y≤1.習(xí)題6設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),101 隨機(jī)變量函數(shù)的分布習(xí)題1已知X的概率分布為X210123pi2a1/103aaa2aP{Y60}=Φ(60504)=Φ()=,所以有60分鐘時(shí)應(yīng)走第二條路.(2)因?yàn)镻{X45}=Φ(454010)=Φ()=,P{Xx}=1P{X≤x}=1Φ(x1706),即Φ(x1706),從而x≥.習(xí)題11設(shè)某城市男子身高X～N(170,36),(2)確定最小的x,所以先進(jìn)行100次獨(dú)立測量，.解答：,故c=3.(2)由P{Xd}≥{X≤d}≥,問d至多為多少?解答：因?yàn)閄～N(3,22),Y服從二項(xiàng)分布，其參數(shù)=12et∣∞012et∣0x=1212ex+12=112ex,從而F(x)={12ex,x0112ex,x≥0.習(xí)題5某型號電子管，其壽命(以小時(shí)計(jì))為一隨機(jī)變量，概率密度所以當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)=∫∞x12e∣t∣dt=12∫∞xetdt=12et∣∞x=12ex。 當(dāng)0x1時(shí)，F(xiàn)(x)=∫∞xf(t)dt=∫∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2。=12+1π?π4121π(π4)=12.習(xí)題7在區(qū)間[0,a]上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，[0,a]中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長度成正比例，試求X的分布函數(shù).解答：=(12+1πarctan1)[12+1πarctanx(1)](2)P{1X≤1}=F(1)F(1)λ11!eλ=λ22!eλ?λ=2,∴P{X=0}=e2,∴p=(e2)4=e8. 隨機(jī)變量的分布函數(shù)習(xí)題1F(X)={0,x,2≤x01,x≥0,≈∑k=02P(k。在τ這段時(shí)間內(nèi)斷頭次數(shù)不大于2的概率.解答：以X記紡錠斷頭數(shù),若P{X≥1}=59,解上式得當(dāng)生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時(shí)立即進(jìn)行調(diào)整，X代表在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)，試求：(1)X的概率分布；P{X=5}=C42?1C53=35,所以X的分布律為X345pk1/103/103/5習(xí)題5某加油站替出租車公司代營出租汽車業(yè)務(wù)，每出租一輛汽車，每天加油站要多付給職工服務(wù)費(fèi)60元，設(shè)每天出租汽車數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，它的概率分布如下：X10203040pi求因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率.解答：因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為：即3716c=1,解得 從中任取1個(gè)，觀察號碼是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情況，試定義一個(gè)隨機(jī)變量來表達(dá)上述隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果，并寫出該隨機(jī)變量取每一個(gè)特定值的概率.解答：分別用ω1,ω2,ω3表示試驗(yàn)的三個(gè)結(jié)果“小于5”，“等于5”，“大于5”，則樣本空間S={ω1,ω2,ω3},求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2},P{3X60},求他一次投籃時(shí)，投籃命中的概率分布.解答：此運(yùn)動(dòng)員一次投籃的投中次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)為X,P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律為則隨機(jī)變量X的分布律為F(0+0)=F(0)=0,X113可知～N(0,1).解答：應(yīng)填3+X2.由正態(tài)分布的概率密度知μ=3,σ=2由Y=Xμσ～N(0,1),∴A=1。P{1X1}=F(1)F(1)=1e2.(3)f(x)=F′(x)={2ex,x00,x≤0.習(xí)題4服從拉普拉斯分布的隨機(jī)變量X的概率密度f(x)=Ae∣x∣,∫∞+∞Ae∣x∣dx=1,而∫∞+∞Ae∣x∣dx=∫∞0Aexdx+∫0+∞Aexdx則電子管使用150小時(shí)以上的概率為即因此=Φ()Φ()=2Φ()1≈.(2)使P{Xx}≤,而求Y=sinπ2X的分布律.解答：因?yàn)樵嚽箅S機(jī)變量Y的密度函數(shù).解答：于是③當(dāng)y=0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{1/X≤0}=P{X0}=F(0),故這時(shí)取fY(0)=0,綜上所述P(Ak)=ck,(2)P{X≥3}=1P{X3}而則X～b(2500,),=∑k=162500C2500k()k()2500k=P{300000200000X≥100000}=P{X≤10}=P{300000200000X≥200000}=P{X≤5}k0=[(n+1)p]=[301]=9.習(xí)題5在長度為t的時(shí)間間隔內(nèi)，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)t2的泊松分布，而與時(shí)間間隔的起點(diǎn)無關(guān)(時(shí)間以小時(shí)計(jì)),1/212qq2試求：(1)q的值；1/2213/22(2)由F(x)=P{X≤x}計(jì)算X的分布函數(shù)F(x)={0,1/2,21/2,1,x11≤x00≤x0x≥1.習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)為=P{π6X≤π6=F(π6)F(π6)=12..習(xí)題8使用了x小時(shí)的電子管，在以后的Δx小時(shí)內(nèi)損壞的概率等于λΔx+o(Δx),當(dāng)1x≤2時(shí)，=0+12+(2t12t2)∣1x=1+2xx22。f(x)={19xex3,x00,其它,試求：(1)該城市的水日消費(fèi)量不低于600萬升的概率；(2)水日消費(fèi)量介于600萬升到900萬升的概率.解答：先求X的分布函數(shù)F(x).所以而P{a1X≤a+1}=∫a1a+1f(x)dx=∫a1a0dx+∫aa+1λeλaeλxdx而當(dāng)xa時(shí)，f(x)=0.習(xí)題12已知X～f(x)={12x212x+3,0x10,其它,=P{X≤}P{X≤}=∫(12x212x+2)dx∫(12x212x+3)dxF1(∞)=F2(∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)單調(diào)非減，右連續(xù)，且解得K≥2(K≤1舍去),F(x)={,x≥00,x0,X服從指數(shù)分布(λ=)。X2則Y的取值范圍為[1,2).解答：P{0Y≤b}=F(+∞,b)F(+∞,0).習(xí)題2(3)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用F(x,y)表示：P{X≥0,Y≥0}=37,請列出(X,Y)的概率分布表，并寫出關(guān)于Y的邊緣分布.解答：(1)因?yàn)樗o的一組概率實(shí)數(shù)顯然均大于零，且有16+13+112+512=1,{X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均為不可能事件，其概率必為零. 因而得到下表：0確定常數(shù)k.∫02∫24k(6xy)dydx=k∫02(62x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X1,Y3}=∫01dx∫2318(6xy)dy=38.(3)P{X}=∫∫2418(6xy)dy=2732.(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24x18(6xy)dy=23.習(xí)題8已知X和Y的聯(lián)合密度為當(dāng)x≥1,y≥1時(shí)，顯然F(x,y)=1。F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤,x習(xí)題9設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為={∫(2x)dy,0≤x≤10,其它={(2x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫∞+∞f(x,y)dxP{y=0}=P{x=0,y=0}+P{x=1,y=0}=715+730=(1)求邊緣分布律。0125/1211/241/8故(1)在Y=1條件下，X的條件分布律為X∣(Y=1)Y1/2131/213于是Φ(1)Φ(0)=,P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3),2311/92/92/9201/92/93001/9習(xí)題2設(shè)(X,Y)的分布律為X\Y1/101/51/21/101/10XY (3) (4)X/YP{U=0,V=0}=P{X≤Y,X≤2Y}=P{X≤Y}P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X2Y}=0,=∫0zeρ22ρdρ=1ez22.故Z的分布函數(shù)為fZ(z)={zez22,z00,z≤0.習(xí)題5設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為\under2line令x+y=t{∫x+∞12tetdt=12(x+1)ex,x00,x≤0,由對稱性知fY(y)={12(y+1)ey,y00,y≤0,{x0xz時(shí)，f(x,zx)≠0, 復(fù)習(xí)總結(jié)與總習(xí)題解答習(xí)題1在一箱子中裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，在其中取兩次，每次任取一只，考慮兩種試驗(yàn)：(1)放回抽樣；(2),Y如下：X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,試分別就(1),(2)兩種情況，寫出X和Y的聯(lián)合分布律.解答：(1)有放回抽樣，(X,Y)分布律如下：P{X=0,Y=0}=10101212=2536。45/6610/6610/661/660121/8y21/