【正文】 ，試求各人得冠軍的概率． 解：Ai=“甲第i局獲勝”， Bi=“乙第i局獲勝”，Bi=“丙第i局獲勝”，i=1,2,….，已知，由于各局比賽具有獨(dú)立性，所以在甲乙先比賽，且甲先勝第一局時(shí)，丙獲勝的概率為同樣，在甲乙先比賽，且乙先勝第一局時(shí)，丙獲勝的概率也為丙得冠軍的概率為甲、乙得冠軍的概率均為第二章2一、填空題：1. ，2. ，k = 0，1，…，n3. 為參數(shù)，k = 0，1，…4. 5. 6. 7. 8. 9. X112pi 分析：由題意，該隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)求法，可觀(guān)察出隨機(jī)變量的取值及概率。 } =.12. .13. ，利用全概率公式來(lái)求解：二、單項(xiàng)選擇題：1. B，由概率密度是偶函數(shù)即關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)，容易推導(dǎo)F(a)=2. B，只有B的結(jié)果滿(mǎn)足3. C，根據(jù)分布函數(shù)和概率密度的性質(zhì)容易驗(yàn)證4. D，可以看出不超過(guò)2，所以，可以看出，分布函數(shù)只有一個(gè)間斷點(diǎn).5. C, 事件的概率可看作為事件A（前三次獨(dú)立重復(fù)射擊命中一次）與事件B（第四次命中）同時(shí)發(fā)生的概率，即 .三、解答題（A）1．(1)X123456pi分析：這里的概率均為古典概型下的概率，所有可能性結(jié)果共36種，如果X=1，則表明兩次中至少有一點(diǎn)數(shù)為1，其余一個(gè)1至6點(diǎn)均可，共有（這里指任選某次點(diǎn)數(shù)為1，6為另一次有6種結(jié)果均可取，減1即減去兩次均為1的情形，因?yàn)槎嗨懔艘淮危┗蚍N，故,其他結(jié)果類(lèi)似可得.(2) 2．X199pi注意，這里X指的是贏(yíng)錢(qián)數(shù)，X取01或1001，顯然.3．，所以.4．(1) ，(2) 、 、 ；5．(1) ，(2) ，(3) .6．(1) . (2) .7．解：設(shè)射擊的次數(shù)為X，由題意知，其中8=400.8．解：設(shè)X為事件A在5次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)，則指示燈發(fā)出信號(hào)的概率 ；9. 解：因?yàn)閄服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，則，則10. (1)、由歸一性知：，所以.(2)、.11. 解 （1）由F(x)在x=1的連續(xù)性可得，即A=1.（2）.（3）X的概率密度.12. 解 因?yàn)閄服從（0，5）上的均勻分布，所以 若方程有實(shí)根，則，即 ，所以有實(shí)根的概率為 13. 解: (1) 因?yàn)?所以 (2) ，則，經(jīng)查表得，即，得；由概率密度關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)也容易看出。（B）1. 解：由概率密度可得分布函數(shù)，即，易知；2. 解： X服從的均勻分布，又則，11P所以Y的分布律為3. 解：，；4. 證明：因是偶函數(shù)，故，所以.5. 解：隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 ，顯然， ，當(dāng)時(shí)，是不可能事件，知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，是必然事件，知，即 。，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故有，可以看出服從區(qū)間（0，1）均勻分布；（2） 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 由以上結(jié)果，易知，可以看出服從區(qū)間（0，1）均勻分布。1/2=/3同理可求得P{X=1,Y=1}=1/3。2或者用表格表示如下： YX01203/286/281/2819/286/28023/2800 (2)P{(X,Y)206。1}=P{X=0, Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}=9/143 解：P(A)=1/4, 由P(B|A)=得P(AB)=1/8由P(A|B)=得P(B)=1/4(X,Y)取到的所有可能數(shù)對(duì)為(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),則P{X=0,Y=0}=)=P(A∪B)=1PA∪B =1P(A)P(B)+P(AB)=5/8P{X=0,Y=1}=P(AB)=P(BA)=P(B)P(AB)=1/8P{X=1,Y=0}=P(AB)=P(AB)=P(A)P(AB)=1/8P{X=1,Y=1}=P(AB)=1/8：(1)由歸一性知：1=∞+∞∞+∞fx,ydxdy=0101Axydxdy=A4, 故A=4(2)P{X=Y}=0(3)P{XY}=01x14xydydx=12 (4)F(x,y)= ∞x∞yf(u,v)dudv=0,x0或y0 40x0yuvdudv,0≤x≤1,0≤y140x01uvdudv,0≤x≤1,y140y01uvdudv,x1,0≤y11,x≥1,y≥1即F(x,y)=0，x0或y0x2y2,0≤x≤1,0≤y1x2,0≤x≤1,y1y2,x1,0≤y11,x≥1,y≥1：P{X+Y179。 、P{X=0,Y=1}==P{X=1,Y=1}=, P{X=1,Y=2}=P{X=2,Y=2}==, P{X=2,Y=3}===X,Y 的分布律可用表格表示如下： YX0123Pi.00010020017. 解：8. 解：(1)所以 c=21/4(2) 9 解：(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，故f(x,y)的概率密度為10 解： 當(dāng)0x163。0時(shí)， 當(dāng)y0時(shí)，所以，12 解：由得13解：Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的所有可能取值如下表pi(X,Y)(0,1)(0,0)(0,1)(1,1)(1,0)(1,1)(2,1)(2,0)(2,1)max(X,Y)001111222Min(X,Y)100101101Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的分布律為Z012Pk W 101Pj 14 解： 由獨(dú)立性得X，Y的聯(lián)合概率密度為則P{Z=1}=P{X163。y}=P{X2163。0時(shí)，從而，(2) F(1/2,4)=P{X163。4}= P{X163。4}=P{2163。1/2}=：P{XY185。 P{X=1}P{Y=0}5 解：X與Y相互獨(dú)立，利用卷積公式計(jì)算 ：(X,Y)～Ｕ(G)設(shè)F(x)和f(s)分別表示S=XY的分布函數(shù)和密度函數(shù)F(s)=P{XYs}s0時(shí)，F(xiàn)s(s)=0s179。u}={X+Y163。u|X=1}+ P{X=2}P{X+Y163。u}+ P{X=2}P{2+Y163。FY(u1)+180。fY(u1)+180。 當(dāng)z179。z2時(shí):綜上所述，所以Z的概率密度為：：(1) (2) (3) ：(1)P{Z163。1/2|X=0}=P{Y163。z}=P{X+Y163。z|X=1}+P{X=0}P{X+Y163。z|X=1}= P{X=1}P{1+Y163。z}=P{X=1}P{1+Y163。[FY(z1)+ FY(z)+ FY(z+1)]從而，fZ(z) =1/3180。 當(dāng)z179。z1時(shí):綜上得：12Z的概率密度為12 解：當(dāng)z0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=0。0時(shí)，所以，Z的概率密度為 第四章4三、解答題1. 設(shè)隨機(jī)變量的分布律為X– 202pi求，．解：E (X ) = = +0+2= E (X 2 ) = = 4+ 0+ 4= E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3+5 = 2. 同時(shí)擲八顆骰子，求八顆骰子所擲出的點(diǎn)數(shù)和的數(shù)學(xué)期望．解：記擲1顆骰子所擲出的點(diǎn)數(shù)為Xi，則Xi 的分布律為記擲8顆骰子所擲出的點(diǎn)數(shù)為X ，同時(shí)擲8顆骰子，相當(dāng)于作了8次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)，E (Xi ) =1/6(1+2+3+4+5+6)=21/6E (X ) =821/3=283. 某圖書(shū)館的讀者借閱甲種圖書(shū)的概率為p1，借閱乙種圖書(shū)的概率為p2，設(shè)每人借閱甲乙圖書(shū)的行為相互獨(dú)立，讀者之間的行為也是相互獨(dú)立的． (1) 某天恰有n個(gè)讀者，求借閱甲種圖書(shū)的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望．(2) 某天恰有n個(gè)讀者，求甲乙兩種圖書(shū)至少借閱一種的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望．解：(1) 設(shè)借閱甲種圖書(shū)的人數(shù)為X ，則X~B(n, p1),所以E (X )= n p1(2) 設(shè)甲乙兩種圖書(shū)至少借閱一種的人數(shù)為Y , 則Y ~B(n, p),記A ={借甲種圖書(shū)}， B ={借乙種圖書(shū)}，則p =｛A ∪ B｝= p1+ p2 p1 p2所以E (Y )= n (p1+ p2 p1 p2 )4. 將n個(gè)考生的的錄取通知書(shū)分別裝入n個(gè)信封，在每個(gè)信封上任意寫(xiě)上一個(gè)考生的姓名、地址發(fā)出，用X表示n個(gè)考生中收到自己通知書(shū)的人數(shù)，求E(X)．解：依題意，X~B(n，1/n)，所以E (X ) =1.5. 設(shè)，且，求E(X)．解：由題意知X～P（），則X的分布律P =，k = 1,2,...又P=P, 所以 解得 ，所以E(X) = 6.6. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為問(wèn)X的數(shù)學(xué)期望是否存在？解：因?yàn)榧?jí)數(shù)， 而發(fā)散，所以X的數(shù)學(xué)期望不存在.7. 某城市一天的用電量X（十萬(wàn)度計(jì)）是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為求一天的平均耗電量． 解：E(X) ==6. 8. 設(shè)某種家電的壽命X（以年計(jì)）是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為求這種家電的平均壽命E(X)．解：由題意知，隨機(jī)變量X的概率密度為 當(dāng)5時(shí)， ，當(dāng)163。 ()= /520. 在題14中求Cov(X，Y)，rXY，D(X + Y)．解：,21. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y )的概率密度為試驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的．解：，所以Cov(X