【正文】 計(jì)，那么GARCHNormal模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)可以用下式表示： （公式2－5）其中：由上式可以看出，GARCH模型與ARCH模型最大的區(qū)別在于本期的條件方差除了受到前期殘差平方和的影響外，還會(huì)受到前期條件方差的影響。在GARCH模型中，條件方差為過去殘差項(xiàng)平方和滯后期條件異方差的線性組合，這不僅使得條件異方差的設(shè)定更具彈性，同時(shí)也使得模型的參數(shù)估計(jì)更為簡(jiǎn)便，因?yàn)橐粋€(gè)高階的ARCH模型可由一個(gè)低階的GARCH模型來描述，從而達(dá)到了簡(jiǎn)化模型參數(shù)的目的。而當(dāng)p=q=0時(shí)，GARCH模型就恢復(fù)成為白噪音(white noise)過程。如果投資者觀測(cè)到前期條件方差變大，或者收益率也發(fā)生較大變化，那么投資者會(huì)預(yù)期下期的條件方差也可能變大。而誤差項(xiàng)系數(shù)越大說明波動(dòng)對(duì)市場(chǎng)異動(dòng)的反應(yīng)越強(qiáng)烈。反之，波動(dòng)具有更長時(shí)間記憶性特征。247。無條件峰度值大于3意味著GARCH(1,1)Normal模型的峰度厚度比正態(tài)分布更厚，可以更好的刻畫金融時(shí)間序列的尖峰厚尾特征。 Tiao(2004)和Carnero et al(2004)。例如假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)差化殘差服從自由度為v的一元標(biāo)準(zhǔn)t分布，則有： （公式2－6）這里標(biāo)準(zhǔn)化的殘差服從自由度為v，期望值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)化t分布，為了更清楚的說明t分布與服從正態(tài)分布的差別，我們可以將改寫為：其中服從一元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，服從逆伽瑪（Inverse Gamma）分布，即，那么就服從自由度為v的t分布。在GARCHt模型里，金融資產(chǎn)收益率異常值（大的）的出現(xiàn)即可能是由于波動(dòng)值增加造成的，也有可能是由于大的所造成。那么，GARCHt模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)假設(shè)服從自由度為v、規(guī)模參數(shù)為的t分布，那么的密度函數(shù)可表示為： ，那么，取規(guī)模參數(shù)，則我們就可以得到均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)化t變量，其密度函數(shù)可表示為：。這樣，對(duì)GARCHt模型的估計(jì)就變成了在v2的條件下對(duì)模型參數(shù)的優(yōu)化問題。此時(shí)GARCH模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)可表示為：這里的參數(shù)，當(dāng)時(shí)，GED分布就變成了正態(tài)分布。GARCH模型另一個(gè)主要的擴(kuò)展方向便是考慮杠桿效應(yīng)。GARCH模型族中包括若干種可以描述這種杠桿效應(yīng)的模型，主要包括Nelson(1991)提出的指數(shù)GARCH(Exponential GARCH,EGARCH)模型和Zakoian et al(1993)提出的門限ARCH（Threshold ARCH，TARCH）模型等。如果，就說明存在杠桿效應(yīng)，下跌時(shí)的波動(dòng)率高于上升時(shí)的波動(dòng)率。 另一種常用的描述杠桿效應(yīng)的GARCH模型便是TARCH模型，TARCH(1，1)Normal模型可表述如下： （公式2－8）其中是一個(gè)虛擬變量，當(dāng)時(shí)，否則。在TARCH模型中，對(duì)于利好消息，對(duì)于波動(dòng)只有倍的沖擊，而對(duì)于利空消息，則有倍的沖擊。我們還可以將厚尾分布與杠桿效應(yīng)組合在一起形成EGARCHt模型和TARCHt模型及EGARCHGED模型和TARCHGED模型等，這樣就可以同時(shí)刻畫金融資產(chǎn)收益率的厚尾分布特征和杠桿效應(yīng)。下面我們分析另一種常見的金融波動(dòng)模型――一元隨機(jī)波動(dòng)模型族。這是因?yàn)椋涸贕ARCH模型中隱含著資產(chǎn)收益率和波動(dòng)過程具有確定性的聯(lián)系，而這很難從理論上得到嚴(yán)格的證實(shí)（Durham(2006,2007)），特別是隨著對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)管理要求的提高，以及以金融資產(chǎn)波動(dòng)率基礎(chǔ)的金融衍生品的層出不窮，對(duì)準(zhǔn)確刻畫金融資產(chǎn)的波動(dòng)過程提出了更高的要求。隨機(jī)波動(dòng)模型最早由Taylor(1982)和Tauchen amp。與ARCH模型族相比，隨機(jī)波動(dòng)模型中包含了兩個(gè)隨機(jī)過程來描述金融資產(chǎn)，一個(gè)用來描述收益率的變化，一個(gè)用來描述波動(dòng)的變化。一元隨機(jī)波動(dòng)的基本模型SVNormal模型可表達(dá)為： （公式2－9）其中是一個(gè)反映波動(dòng)平均水平的常數(shù)，是波動(dòng)的持續(xù)性參數(shù)，反映了過去滯后一期波動(dòng)對(duì)當(dāng)前波動(dòng)的影響，為了保證模型平穩(wěn)我們需要限制。而參數(shù)則反映了波動(dòng)對(duì)數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)差。但從公式中我們也可以看出，對(duì)于SVNormal模型而言，可觀測(cè)量為已知的日收益率序列，不可觀測(cè)變量為參數(shù)、和以及潛在的對(duì)數(shù)波動(dòng)序列，且服從一個(gè)一階的自回歸過程，參數(shù)的聯(lián)合分布形式非常復(fù)雜。在下面小節(jié)中我們將專門探討隨機(jī)波動(dòng)模型的估計(jì)方法。由于，那么的無條件期望和方差分別為：因?yàn)榉莫?dú)立同分布的，所以無條件服從均值為，方差為的一元正態(tài)分布，即：那么（）服從對(duì)數(shù)正態(tài)(logNormal)分布，其無條件期望。 Tiao(2004)和Carnero et al(2004)等。通過假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化殘差服從厚尾的一元標(biāo)準(zhǔn)t分布，模型就能更準(zhǔn)確的刻畫金融資產(chǎn)的尖峰厚尾特征。那么SVt模型可表述如下： （公式2－10）另一個(gè)方向則是考慮杠桿效應(yīng)，也就是說均值方程中的標(biāo)準(zhǔn)化殘差和波動(dòng)方程中的標(biāo)準(zhǔn)化殘差是相關(guān)的。 al(2004）提出（簡(jiǎn)稱SVJPRNormal模型），其表達(dá)式為： （公式2－12）從這兩個(gè)模型的表達(dá)式來看，其主要區(qū)別在于對(duì)殘差項(xiàng)相關(guān)關(guān)系假設(shè)的不同。從這個(gè)意義上說，HS模型較JPE模型更符合金融理論。從這個(gè)意義上說，HS模型較JPE模型更符合有效市場(chǎng)理論。P500指數(shù)數(shù)據(jù)（從1980年1月至1987年12月）和CRSP數(shù)據(jù)（從1986年1月至1995年12月）研究發(fā)現(xiàn)，SVHS模型績(jī)效優(yōu)于SVJPE模型，而Durham(2006)利用Samp。據(jù)筆者所知國內(nèi)尚缺乏對(duì)考慮杠桿效應(yīng)隨機(jī)波動(dòng)模型的比較研究，本文擬實(shí)證比較SVHS模型和SVJPE模型的績(jī)效。SVHSt模型可表述如下： (公式2－13)同理，SVJPEt也可表述如下： （公式2－14） 馬爾可夫轉(zhuǎn)換隨機(jī)波動(dòng)模型盡管一元金融波動(dòng)模型在刻畫一元金融資產(chǎn)的波動(dòng)特征方面取得了重要的進(jìn)展，但是在以往的研究中學(xué)者一般均假定金融資產(chǎn)的波動(dòng)是一個(gè)連續(xù)的單一狀態(tài)，也就是說假定波動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特征在研究樣本期內(nèi)不發(fā)生結(jié)構(gòu)性變化。Diebold（1986）、Lamoureux amp。條件波動(dòng)的高持續(xù)性意味著外界對(duì)波動(dòng)的沖擊不會(huì)很快消失，當(dāng)前的信息對(duì)未來一段時(shí)間內(nèi)的條件波動(dòng)率仍具有顯著的影響。因此有必要在建模時(shí)將波動(dòng)可能存在的結(jié)構(gòu)性變化納入考量范圍。一個(gè)很自然的選擇便是將馬爾可夫轉(zhuǎn)換（Markov Switching）模型和金融波動(dòng)模型相結(jié)合，利用金融波動(dòng)模型刻畫金融資產(chǎn)波動(dòng)的時(shí)變和聚集等特征，利用馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型刻畫金融波動(dòng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換特征。其基本思路是假設(shè)模型參數(shù)隨從某一無法觀測(cè)到的狀態(tài)變量變化而變化，而且該狀態(tài)變量的變化服從一個(gè)一階的馬爾可夫過程。將馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型和金融波動(dòng)模型相結(jié)合最早可追溯于Cai(1994)和Hamilton amp。這是因?yàn)轳R爾可夫轉(zhuǎn)換模型可以有效地將樣本期間發(fā)生的結(jié)構(gòu)性變化加以提煉，故能有效降低模型中純ARCH成分的持續(xù)性。但是將馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型和GARCH模型相結(jié)合（MSGARCH）則有可能面臨嚴(yán)重的路徑依賴問題，Gray(1996) 和Klaassen(2002)提出用滯后方差的條件期望值來代替滯后的波動(dòng)值，但這有可能會(huì)喪失一部分方差的信息。但目前國內(nèi)尚無文獻(xiàn)探討MSSV模型的特征與建模方法，本文擬填補(bǔ)此空白并在國外模型基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)推廣。通過上述設(shè)定就將波動(dòng)狀態(tài)劃分為一個(gè)低波動(dòng)狀態(tài)（波動(dòng)對(duì)數(shù)值的無條件期望為）和一個(gè)高波動(dòng)狀態(tài)（波動(dòng)對(duì)數(shù)值的無條件期望為），波動(dòng)按照馬爾可夫轉(zhuǎn)換過程在低波動(dòng)狀態(tài)和高波動(dòng)狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換。那么則有： （公式2－17）這其中的和便被稱為預(yù)測(cè)概率（predictive probability），而公式217中的和被稱為過濾概率（filtered probability），其與預(yù)測(cè)概率的主要區(qū)別就在于所依賴的信息集不同，其計(jì)算公式如下：其中： 對(duì)于起始時(shí)刻，我們可以用無條件概率(unconditional probability)進(jìn)行替代：在時(shí)刻不斷迭代上述兩個(gè)步驟直至迭代結(jié)果滿足收斂標(biāo)準(zhǔn)時(shí)就可以得到模型的估計(jì)值。我們也可以將MSSV模型推廣到一元t分布下，MSSVt模型表達(dá)式如下：與上一節(jié)ARCH模型族估計(jì)不同的是，本章中隨機(jī)波動(dòng)模型的估計(jì)采用的均是貝葉斯統(tǒng)計(jì)中的MCMC方法。 隨機(jī)波動(dòng)模型估計(jì)的貝葉斯方法 隨機(jī)波動(dòng)模型的估計(jì)方法綜述隨機(jī)波動(dòng)模型在初期的應(yīng)用范圍遠(yuǎn)沒有ARCH模型族寬廣，主要原因就在于其似然函數(shù)沒有公式解析式，經(jīng)典的極大似然估計(jì)方法并不適用于隨機(jī)波動(dòng)模型。 Tauchen(1997) Ying Gu amp。 Nelson(1998)）等。這是因?yàn)镸CMC方法在估計(jì)隨機(jī)波動(dòng)模型時(shí)具有如下優(yōu)點(diǎn)（Johannes amp。從實(shí)踐來看，對(duì)于類似SV模型這樣似然函數(shù)很難精確表達(dá)的模型進(jìn)行估計(jì)，MCMC模型的計(jì)算速度上要快于傳統(tǒng)方法。估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)是在估計(jì)參數(shù)或狀態(tài)變量是出現(xiàn)的內(nèi)生不確定性，而模型風(fēng)險(xiǎn)是模型選擇和確認(rèn)時(shí)出現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)，在MCMC框架下這兩種風(fēng)險(xiǎn)可以較其它方法更方便的進(jìn)行評(píng)估。在下小節(jié)我們將詳細(xì)介紹隨機(jī)波動(dòng)模型估計(jì)的MCMC方法與基于此基礎(chǔ)之上的DIC準(zhǔn)則。這兩種統(tǒng)計(jì)推斷方法的區(qū)別主要體現(xiàn)在兩方面：（1）經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷方法視未知參數(shù)為真實(shí)且固定的值，參數(shù)的估計(jì)值可以由樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造。而貝葉斯方法將參數(shù)視為一個(gè)隨機(jī)變量，所有關(guān)于參數(shù)的推斷都是以概率的形式出現(xiàn)，然后利用貝葉斯公式，從先驗(yàn)分布得到后驗(yàn)分布并利用后驗(yàn)分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。而經(jīng)典學(xué)派則認(rèn)為不能輕率地使用先驗(yàn)概率（茆詩松等（1998））。這個(gè)在給定樣本下的條件分布被稱為的后驗(yàn)分布，它在樣本給定情況下集中了樣本與先驗(yàn)分布中關(guān)于的一切信息，其比先驗(yàn)分布更接近于實(shí)際情況，因此使用后驗(yàn)分布可以更好地推斷變量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。若使用解析計(jì)算或者數(shù)值計(jì)算方法來求解幾乎很難實(shí)現(xiàn)，并且估計(jì)的精度也難以得到保證。MCMC方法是建立在CliffordHammersley定理基礎(chǔ)之上，該定理認(rèn)為聯(lián)合分布可以由參數(shù)的完全條件分布所決定。然后利用多次重復(fù)的遞推抽取樣本的方法來構(gòu)建一長串的馬爾可夫鏈，通過模擬參數(shù)與狀態(tài)變量的樣本分布，在大樣本條件下將收斂至目標(biāo)的實(shí)際分布。正是由于MCMC方法的發(fā)展和Winbugs軟件 Winbugs軟件是貝葉斯學(xué)派自行開發(fā)的一種專門用于Beyes統(tǒng)計(jì)推斷特別是MCMC估計(jì)的統(tǒng)計(jì)軟件，其可在。MCMC常見的算法包括吉布斯抽樣（Gibbs Sampling）、MetropolisHastings算法和這兩種方法的綜合等。例如給定，我們可以進(jìn)行如下抽樣： 如果很難直接從和中完全抽樣，例如模型中含有p個(gè)未知參數(shù)時(shí)，那我們可以利用CliffordHammersley定理按照如下步驟抽樣：1. 抽樣 2. 抽樣 …p．抽樣 p+1. 抽樣 如此重復(fù)迭代G次，這樣就可以產(chǎn)生一個(gè)吉布斯樣本，如果G 充分大，那么在一定的條件下參數(shù)會(huì)收斂于其真實(shí)分布。），然后利用剩下的G－m個(gè)樣本，就可以對(duì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)進(jìn)行推斷。而當(dāng)參數(shù)具有非線性性質(zhì)，或者參數(shù)的條件分布未知，或者條件分布已知但很難進(jìn)行抽樣時(shí)，吉布斯抽樣方法往往也存在著一定的困難，此時(shí)宜采用MetropolisHastings算法。吉布斯抽樣可以看出是MetropolisHastings的一個(gè)特例，即接受概率始終為1的情況（Johannes and Polson（2005)）。以基于正態(tài)分布假設(shè)的SV模型為例，SVNormal模型（公式2－9）、SVJPENormal模型（公式2－11）模型和SVHSNormal模型（公式2－12）模型可分別表述如下：SVNormal模型：SVJPENormal模型：SVHSNormal模型：這樣表述有利于我們?cè)赪inbugs中編程估計(jì)。因此我們不能直接采用Winbugs中的命令從中抽樣。對(duì)于基于貝葉斯方法的模型選擇問題，學(xué)者們提出了若干檢驗(yàn)準(zhǔn)則，其中被公認(rèn)為的較佳準(zhǔn)則是貝葉斯因素（Bayes factor）方法（Kass amp。然而對(duì)于SV模型而言，模型中的未知參數(shù)和狀態(tài)過多，這會(huì)導(dǎo)致貝葉斯因素的計(jì)算相當(dāng)困難與復(fù)雜，特別是當(dāng)維數(shù)較多與樣本數(shù)據(jù)較長時(shí)。假設(shè)是模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)值，k是模型參數(shù)的個(gè)數(shù)，t是時(shí)間序列長度，那么：。當(dāng)進(jìn)行模型績(jī)效比較時(shí)，AIC值或者BIC值越小越好。AIC和BIC均需要知道模型中未知參數(shù)和狀態(tài)的個(gè)數(shù)。所以，AIC和BIC并不能精確地比較各SV模型的績(jī)效。與AIC和BIC準(zhǔn)則類似，DIC準(zhǔn)則由兩部分組成，第一部分測(cè)量模型的擬合優(yōu)度，而第二部分則是作為模型復(fù)雜程度增加的懲罰系數(shù)。與AIC值和BIC值類似，DIC值越小說明模型的擬合程度越高。特別的，當(dāng)先驗(yàn)值的概率分布較為扁平(flat)時(shí)，極大似然估計(jì)值和貝葉斯后驗(yàn)估計(jì)值是一致統(tǒng)計(jì)量，那么此時(shí)AIC準(zhǔn)則同DIC準(zhǔn)則一致（Spiegelhalter，et al,(2002)，Jun Yu et al(2004)）。值得關(guān)注的是，Winbugs需要使用參數(shù)的后驗(yàn)均值計(jì)算DIC值，這就需要保證模型迭代結(jié)果要達(dá)到收斂。 樣本數(shù)據(jù)在本小節(jié)我將們以上證指數(shù)為例實(shí)證研究GARCH模型和SV模型。由于上海股市發(fā)展初期并不規(guī)范而且波動(dòng)相對(duì)較為劇烈，因此我們舍棄掉了最初幾年的數(shù)據(jù)，選取1996年1月1日至2006年12月31日上證指數(shù)的收盤價(jià)，并計(jì)算其對(duì)數(shù)收益率，數(shù)據(jù)來源于通達(dá)信交易軟件。從圖中可以看出，上證指數(shù)的波動(dòng)具有明顯的時(shí)變和聚集效應(yīng)特征，而且波動(dòng)在某些特定時(shí)間段相當(dāng)劇烈。從偏度指標(biāo)來看顯著小于0，顯示指數(shù)具有左偏的傾向，這與發(fā)達(dá)國家市場(chǎng)的實(shí)證結(jié)果相同。而從JB檢驗(yàn)結(jié)果 JB檢驗(yàn)是檢驗(yàn)變量是否服從正態(tài)分布的常用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法之一。在正態(tài)分布原假設(shè)下，Jarque amp。來看，日收益率并不服從正態(tài)分布，這從圖22的收益率分布柱狀圖中也可以明顯看出，上證指數(shù)日收益率時(shí)間序列體現(xiàn)出明顯的尖峰厚尾特征。圖21 上證指數(shù)日收益率時(shí)序圖 （1996年至2006年） 圖22 上證指數(shù)日收益率分布的柱狀圖 表21 上證指數(shù)收益率基本統(tǒng)計(jì)特征表指數(shù)均值標(biāo)準(zhǔn)差偏度峰度JB檢驗(yàn)