【正文】 化，即，這里用極大似然估計得到的參數(shù)值代替貝葉斯估計得到的的后驗估計值。用公式可以表達(dá)如下： （公式222）這里的代表貝葉斯模型的參數(shù)，則代表模型有限參數(shù)的個數(shù)。在評估SV模型績效方面近年來被廣泛使用的方法是DIC準(zhǔn)則（Deviance Information Criterion），其由Dempster(1974)首先提出，并由Spiegelhalter, et al(2002)發(fā)展成為評估貝葉斯類模型績效的準(zhǔn)則。然而對于SV模型這樣的具有多層模型(hierarchical model)特點的模型，其模型中包含了長度與樣本長度相同的未知波動狀態(tài)，而且些波動狀態(tài)并不是相互獨立的，而是服從一個一階的馬爾可夫過程，因此模型參數(shù)的精確個數(shù)很難確定。而言，其對SV模型的估計與比較也不適用。從表達(dá)式中可以看出，AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則都引入了對增加更多參數(shù)的懲罰，BIC準(zhǔn)則對參數(shù)增加的懲罰力度更大。對于在模型比較中常用的AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則 AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則是計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中最常用的判斷統(tǒng)計模型性質(zhì)優(yōu)良與否的指標(biāo)。 Raftery（1995））。隨機(jī)波動模型估計的另一個難點問題便是各模型績效比較的準(zhǔn)則。按照前面討論的一元t分布與一元正態(tài)分布的關(guān)系，我們可以用一個逆伽瑪分布和正態(tài)分布的乘積來代替一元t分布，這樣進(jìn)行的MCMC方法抽樣結(jié)果更加準(zhǔn)確可靠?；谝辉猼分布等厚尾分布的隨機(jī)波動模型也可按相同方法進(jìn)行表述對于一元SVt模型而言，我們假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化的殘差服從一元標(biāo)準(zhǔn)t分布(0,1,v)，但是在Winbugs中的t分布程序命令dt(mu,var,v)，其方差與t分布自由度密切相關(guān)。根據(jù)Bayes和MCMC的估計原理，并利用EulerMaruyama方程，我們可以將隨機(jī)波動模型重新進(jìn)行表述。其主要特征在于引入了接受準(zhǔn)則(acceptance criterions)來確保算法能夠產(chǎn)生正確的條件分布。由于吉布斯抽樣要求從條件分布的全集中抽樣，因此往往需要假設(shè)參數(shù)服從某些標(biāo)準(zhǔn)的連續(xù)分布，如正態(tài)分布，t分布，Beta分布、Gamma分布等，或者某些離散分布，如二項（Binomial）分布等。一般在實踐中，我們會放棄掉一定的樣本數(shù)m（稱為burnin樣本 放棄掉burnin樣本的主要目的在于確保所抽取的吉布斯樣本統(tǒng)計特征與從聯(lián)合分布中抽取的樣本統(tǒng)計調(diào)整足夠接近。吉布斯抽樣是最簡單也是最常用的MCMC方法，其要求可以從條件分布的全集中直接抽樣。的應(yīng)用，使得原來復(fù)雜異常的數(shù)值計算問題如今變得相對簡單，參數(shù)后驗分布的模擬也更趨方便，所以貝葉斯統(tǒng)計學(xué)派再度得到重視和復(fù)興。這樣，MCMC方法就可以將復(fù)雜的聯(lián)合分布分解為其條件分布的集合，而這些條件分布是低維的并且相對容易抽樣，這樣就有效解決了高維的積分問題。MCMC方法將馬爾可夫鏈和蒙特卡洛積分方法結(jié)合在一起，主要特征在于將所希望估計的參數(shù)與無法觀測到的狀態(tài)變量設(shè)置為隨機(jī)變量，并假設(shè)它們服從某種特定的概率分布。而MCMC（Markov Chain Monte Carlo, 馬爾可夫鏈蒙特卡洛）方法則可以較好的解決這個問題。但是，在利用貝葉斯方法進(jìn)行統(tǒng)計推斷時通常需要在高維度的概率分布上計算積分，這往往會遇到較大的計算困難。貝葉斯學(xué)派的基本思路是：假設(shè)是模型所需估計的參數(shù)， 是樣本觀測值，是觀測到數(shù)據(jù)之前關(guān)于變量的先驗信息，則有： （公式220）在觀測到的數(shù)據(jù)以后形成的關(guān)于的看法則根據(jù)的是的后驗概率密度：根據(jù)全概率公式和公式220便可得： （公式221）上式便被稱為貝葉斯定理。該點曾經(jīng)是經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)派和貝葉斯學(xué)派爭論的主要焦點，但越來越多的經(jīng)典學(xué)派統(tǒng)計學(xué)家已開始接受貝葉斯學(xué)派的觀點，將未知變量看作隨機(jī)變量；（2）貝葉斯學(xué)派認(rèn)為一個事件的概率可以是人們根據(jù)經(jīng)驗對該事件發(fā)生可能性做出的個人信念，可以利用先驗概率合理地確定先驗分布。我們通常使用極大似然函數(shù)估計法，也就是通過最大化目標(biāo)函數(shù)的似然函數(shù)值進(jìn)行估計，并且利用擬合的模型做出統(tǒng)計推斷。 隨機(jī)波動模型估計的MCMC方法與DIC準(zhǔn)則統(tǒng)計學(xué)上主要有兩大種推斷的方法，一種是經(jīng)典統(tǒng)計推斷方法，另一種便是貝葉斯（Bayes）方法，《論有關(guān)概率問題的求解》中提出。正是基于此，在本文中我們對隨機(jī)波動模型的估計均是建立在MCMC方法基礎(chǔ)之上。更為重要的是，MCMC推斷是建立在對模型參數(shù)和潛在變量的后驗分布的精確估計基礎(chǔ)之上的，而其它方法往往是建立在近似推斷基礎(chǔ)之上的，這為我們得到參數(shù)的精確估計奠定了良好的基礎(chǔ)；（2）在估計模型參數(shù)的同時，MCMC可以很方便的估計潛在的波動率的平滑估計值（smoothed estimated），這是因為MCMC方法在估計模型參數(shù)的同時也將潛在變量納入了參數(shù)估計的空間（Jacquier et al,1994），而其它方法往往需要使用其它的過濾準(zhǔn)則（filters），這無疑加大了估計的難度；（3）MCMC方法可以更為方便的評估估計風(fēng)險和模型風(fēng)險。 Polson（2005））：（1）MCMC方法是建立在條件模擬基礎(chǔ)之上的，這樣就避免了對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化或者非條件模擬的問題。而Jacquier et al.(1994) ，Anderson et al,(1999)等的研究均表明：MCMC方法較其它方法效果更佳，相對誤差最小，是估計效率最高的方法之一，該結(jié)論也被隨后的研究陸續(xù)證實。 Eriz Zivot(2006)）、擬極大似然估計（quasimaximum likelihood, Harvey, et al,（1994））、模擬極大似然估計方法（simulated maximum likelihood, Danielsson(1994)、Durham（2004,2006,2007））、經(jīng)驗特征函數(shù)法(empirical characteristic function, Knight(2002))和貝葉斯MCMC方法（Jacquier，et al.(1994)，Kim amp。為此學(xué)者們陸續(xù)提出了一些替代的估計方法，主要包括廣義矩GMM方法（Anderson and Sorensen(1996), Melino and Turnbull(1990)）、有效矩EMM方法（Efficient Moment Methods, Gallant amp。下文將分析貝葉斯統(tǒng)計和MCMC方法。這樣通過一個馬爾可夫轉(zhuǎn)換過程就可以刻畫隨機(jī)波動的狀態(tài)轉(zhuǎn)換特征。而馬爾可夫轉(zhuǎn)換過程的概率矩陣P可表示為： （公式216）其中。MSSVNormal模型的基本框架是： （公式215）這里的（=1或者2）是一個與狀態(tài)相關(guān)的變量，不失一般性，令，那么狀態(tài)1和狀態(tài)2波動對數(shù)值的無條件期望值和分別為：，且滿足：。另一種馬爾可夫轉(zhuǎn)換金融波動模型便是將馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型與隨機(jī)波動模型相結(jié)合構(gòu)建馬爾可夫轉(zhuǎn)換隨機(jī)波動模型（MSSV），國外這方面的研究包括So,Lam,Li(1998)、Smith(2002)、Kalimipalli（2004）和Hwang(2007)等。國內(nèi)一些學(xué)者如蔣祥林、王春峰和吳曉霖（2004）、丁志國、蘇治、 杜曉宇（2007）等也利用SWARCH模型對中國金融市場進(jìn)行了實證研究。 Susmel（1994），他們將馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型和一元ARCH模型相結(jié)合構(gòu)建了SWARCH模型，其研究均發(fā)現(xiàn)加入馬爾可夫轉(zhuǎn)換后ARCH模型的持續(xù)性有所降低。與傳統(tǒng)模型相比，這類模型的主要創(chuàng)新之處是在模型中加入了馬爾可夫型的概率結(jié)構(gòu)，這樣模型參數(shù)就具有了隨時間和狀態(tài)變化而變化的特征，從而可以更好地刻畫時間序列可能發(fā)生的結(jié)構(gòu)性變化。馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型最早由Hamilton（1988）提出，又被稱作體制轉(zhuǎn)換（Regime Switching）模型。特別是類似中國大陸這樣的具有濃厚的“新興加轉(zhuǎn)軌”特征的股票市場，由于受到宏觀經(jīng)濟(jì)運(yùn)行、政策面、資金面和一些突發(fā)事件的影響，其波動起伏往往非常劇烈，其景氣狀況周期性地在高風(fēng)險狀態(tài)和低風(fēng)險狀態(tài)之間相互轉(zhuǎn)換，考慮波動的狀態(tài)轉(zhuǎn)換特征可以更好地刻畫中國股市的這中波動特征。而波動持續(xù)性的高低對研究金融資產(chǎn)的波動特征和定價具有十分重要的作用。 ,Lastrapes (1990)認(rèn)為這種波動的高持續(xù)性可能是因為忽略了在樣本期限波動結(jié)構(gòu)發(fā)生了某種變化?；谶@種假設(shè)基礎(chǔ)之上的模型估計出的金融資產(chǎn)的波動往往具有較高的持續(xù)性。同時，我們可以將厚尾分布和杠桿效應(yīng)結(jié)合在一起，構(gòu)建基于厚尾t分布假設(shè)基礎(chǔ)之上的SVHSt模型和SVJPEt模型。P500指數(shù)數(shù)據(jù)、DJIA指數(shù)數(shù)據(jù)和NASDAQ指數(shù)數(shù)據(jù)研究時發(fā)現(xiàn)，SVHS模型績效劣于SVJPE模型。而從兩個模型的績效比較來看， Jun Yu(2005) 利用Samp。（Jun Yu(2005), Durham(2006)）。HS模型假設(shè)，而JPE模型假設(shè)，這樣直接導(dǎo)致的后果是：JPE模型不是鞅差（martingale difference）序列，HS則是鞅差序列這是因為對于HS模型而言，而對于JPE模型而言，故JPE模型不是鞅差序列。按照模型假定的不同可以其可以分為兩大類：一類是Harvey , Shephard N（1996）提出的模型（簡稱SVHSNormal模型），其可表達(dá)如下： （公式2－11）杠桿效應(yīng)體現(xiàn)在參數(shù)上，當(dāng)時存在著杠桿效應(yīng)。當(dāng)然也可以在波動方程中假設(shè)隨機(jī)變量服從厚尾的t分布，但為了保證的矩存在，一般不采用這種方法（當(dāng)服從t分布時，exp()的矩不存在（ al(2004））。 一元隨機(jī)波動模型的擴(kuò)展與GARCH模型類似，標(biāo)準(zhǔn)的SV模型也可以向兩個方向進(jìn)行擴(kuò)展：第一個方向是在均值方程中，假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化殘差不再服從一元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而是服從某些具有厚尾特征的統(tǒng)計分布如一元標(biāo)準(zhǔn)t分布等，如Geweke(1994)、Gallante et al(1997)等。 那么殘差項的無條件期望和方差為：對于隨機(jī)波動模型的峰度值指標(biāo)，可參看Bai, Russell amp。下面簡要推導(dǎo)一下SVNormal的矩特征。因此隨機(jī)波動模型的似然函數(shù)很難精確地表達(dá)，傳統(tǒng)的極大似然函數(shù)法在這里不再有效，這使得隨機(jī)波動模型的估計較為困難。比較公式2－4和公式2－9，我們可以看出隨機(jī)波動模型與GARCH模型主要的差異在于其波動方程中引入了一個隨機(jī)變量，這樣模型就可以更好的刻畫金融波動的隨機(jī)特征，也可以更好的與傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)理論相匹配。隨機(jī)波動模型假設(shè)波動方程中的隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布N(0,1)，且滿足。也就是說在隨機(jī)波動模型中，條件方差是一個不可觀測的隨機(jī)過程，這就為描述金融資產(chǎn)的統(tǒng)計特征提供了一個相對更加復(fù)雜但又更合理的建模思路。 Pitt(1983)提出，近年來，隨機(jī)波動模型的研究與應(yīng)用已成為金融計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的熱點與難點問題之一。正是在這種背景下，隨機(jī)波動（SV, stochastic volaility）模型被引入到金融統(tǒng)計和金融計量經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域。 一元隨機(jī)波動基本模型分析GARCH模型由于估計相對較為簡便，因此在實證研究中得到了廣泛應(yīng)用，然而其卻很難嵌入到傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)理論中。EGARCH(1,1)t模型可表達(dá)如下：TARCH(1,1)t模型可表達(dá)如下：本章附錄的附表21總結(jié)了一元ARCH模型族的主要特點。如果則說明存在著杠桿效應(yīng)。這樣只要杠桿系數(shù)就存在著杠桿效應(yīng)。此外，從EGARCH模型表達(dá)式中可以看出，其是對條件方差的對數(shù)而非直接對條件方差本身進(jìn)行建模，所以本身就暗含著條件方差為正的限制，這樣就可以減少傳統(tǒng)GARCH模型對參數(shù)的限制，從而使得EGARCH模型更具靈活性與簡便性。EGARCH(1,1)Normal模型可表示如下： （公式2－7）杠桿效應(yīng)的存在性可以系數(shù)值進(jìn)行判斷。傳統(tǒng)的GARCH模型假定金融資產(chǎn)收益率下跌或者上升對波動率的影響是相同的，然而實證研究往往表明，金融資產(chǎn)收益率的波動往往具有杠桿效應(yīng)，即金融波動對收益率下跌時的反應(yīng)會比對收益率上升時的反應(yīng)更加迅速和劇烈。當(dāng)時，模型就具有厚尾分布特征。實踐中GARCH模型殘差分布的另一個常見假設(shè)便是廣義誤差分布（GED）。就可以表示為：為了保證模型的似然函數(shù)和二階矩存在，我們需要限制t分布的自由度大于2。這樣模型就更能夠更好的擬合金融資產(chǎn)的厚尾分布特征和異常值的分布，同時估計出的GARCHt模型的波動值序列一般將較GARCHNormal模型更為平緩，這對波動的估計與預(yù)測具有十分重要的意義（Bollerslev, T (1987)， Jacquier,et al(2004)）。的引入能夠更好的刻畫金融資產(chǎn)的尖峰厚尾特征。對于GARCH模型的擴(kuò)展主要包括兩個方向，第一個方向是將具有厚尾特征的統(tǒng)計分布如t分布、廣義誤差分布（GED）等引入到模型中，即不再假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化殘差服從標(biāo)準(zhǔn)化的一元正態(tài)分布而是假設(shè)其服從一元標(biāo)準(zhǔn)t分布或者一元標(biāo)準(zhǔn)GED分布。對于GARCH模型峰度更深入的討論可參看Bai, Rusell amp。GARCH（1，1）Normal模型的無條件峰度指標(biāo)為：這里需限制GARCH(1,1)模型的參數(shù)滿足：。經(jīng)驗研究表明，對于一般的金融時間序列，GARCH(1,1)模型就能夠較好的刻畫其統(tǒng)計特征。一般而言，如果GARH模型的系數(shù)相對較大而系數(shù)相對較小，則波動傾向于更加尖銳（spiky）。GARCH模型的自身滯后期參數(shù)值越大，說明沖擊對條件方差的影響需花費更長時間才會消失，波動具有一定的持續(xù)性。而從經(jīng)濟(jì)學(xué)意義上來看，GARCH模型意味著投資者可以通過觀察前p期的預(yù)測方差（GARCH）項和前q期中觀測到的收益率變動信息（ARCH）來預(yù)測本期的方差。當(dāng)p=0時，GARCH模型就變?yōu)锳RCH模型，因此可以將ARCH模型看作是GARCH模型的特例。相比較而言，GARCH模型較ARCH更具一般性。GARCH模型的一般形式是GARCH(p,q)，其中p是自回歸項（GARCH項），q是ARCH項，假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化殘差服從正態(tài)分布，那么GARCHNormal模型可表述如下： （公式2－4）同ARCH模型類似，對參數(shù)進(jìn)行上述限制也是為了保證估計得到的方差非負(fù)和模型的平穩(wěn)性。雖然ARCH模型較以往的模型有