傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的關(guān)系與應(yīng)用本科畢業(yè)論文-在線瀏覽
2024-08-06 16:18本頁面
【正文】 （1）我們不難看出，更一般的簡諧振動 ，可通過適當(dāng)?shù)淖儞Q為（1），將無窮多個如（1）式那樣的簡諧振動疊加，便得到函數(shù)項級數(shù) （2）如果（2）式收斂到函數(shù),即 （3）則易見是周期為的函數(shù)，從的角度看，如果（3）式成立()，則我們便將更一般或更復(fù)雜的周期為的函數(shù)分解為簡單標(biāo)準(zhǔn)的簡諧振動的疊加，這對研究的各種性質(zhì)帶來了很大的方便。為了數(shù)學(xué)推導(dǎo)和理論研究方便，我們將級數(shù)(2)作如下變形=令 則 =稱級數(shù) (4)為三角級數(shù)，稱級數(shù)(4)的部分和 (5)為三角多項式，后面我們將看到，將常數(shù)項記為的形式，是為了使有統(tǒng)一的表達式。也稱(6)為正三角函數(shù)系。另外，我們還有 (11) 設(shè)函數(shù)能夠表示成三角級數(shù)(4)，即 (12) 并且(12)式右邊級數(shù)在上一致收斂，則有如下關(guān)系式： , n=0,1,2,… (13a) , n=0,1,2,… (13b)證明：由定理條件，對（12）式逐項積分可得： = 由關(guān)系式知，上式右邊括號內(nèi)的積分都等于零，所以 即得 現(xiàn)以乘（12）式兩邊（t為正整數(shù)），得 （14）由級數(shù)（12）一致收斂，可以推出級數(shù)（14）也一致收斂。設(shè)是以2為周期的函數(shù)，通過變量置換，則在上也可積，這時函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式是 (1)其中 n=0,1,2… (2) n=1,2…因為，所以。解：我們要將在之外視作是2的周期函數(shù)，由傅里葉級數(shù)公式可得： （=0,1,2,…）及 = （=1,2,3，…）因此，所求級數(shù)為 （2）由于=0是的連續(xù)點，所以上式兩邊可劃等號。而=是間斷點，由定義可知按收斂準(zhǔn)則，傅里葉級數(shù)在間斷點處應(yīng)收斂到事實上，以=代入級數(shù)（2），得級數(shù)和為零。在實際中這些條件通常是滿足的，目前還不知道傅里葉級數(shù)收斂的必要且充分的條件是什么。 積分定理2 如果在區(qū)間上分段連續(xù)，其傅里葉級數(shù)為則 F （3）證明 （4）利用公式（2），得 （5）上式代入式（4），即得所證。3微分定理3 若在上連續(xù)，又絕對可積，則有 （6）其中 。對上式逐項微分得 上式正是方波的傅里葉級數(shù)。 從上面的例子可知，與積分相反，微分之后每一個系數(shù)前卻添加了一個增長因子，這就降低了收斂程度。事實上，第一個例子中的級數(shù)在區(qū)間上一致收斂。有時將可以逐項微分的條件表示成如下形式： （8）此外，函數(shù)的光滑程度可以從該函數(shù)的傅里葉級數(shù)的系數(shù)上反映出來。其傅里葉級數(shù)中的系數(shù)和隨著趨向于
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