快速傅里葉變換計算衍射光強的分布本科畢業(yè)論文-在線瀏覽
2024-08-04 06:16本頁面
【正文】 ，數(shù)學表達式為 （1）由于梳狀函數(shù)為周期的函數(shù)，可以表為博里葉級數(shù)： （2）其中,于是, （3）被信號調(diào)制的結(jié)果(見圖2(c1))．圖2. 函數(shù)的離散傅里葉變換過程上式表明，取樣信號已經(jīng)不是原信號，而是無窮多個截波信號 （4）現(xiàn)在，通過博里葉變換來考察信號經(jīng)取樣后的頻譜與原信號頻譜的關(guān)系對上式作博里葉變換得 （5）結(jié)果表眼在取樣信號頻譜中除了包含原信號頻譜外，還包含了無窮多個被延拓的頻譜、延拓的周期為(見圖2(c2))．并且、由于原函數(shù)的頻譜寬度大于延拓的周期，相鄰的頻譜曲線產(chǎn)生了混疊． 根據(jù)傅里葉變換中頻域的卷積定律，圖2(c2)也可以通過原函數(shù)的頻譜函數(shù)(圖2(a2))與梳狀函數(shù)的頻譜函數(shù)(2(b2))的卷積求出: （6）為強調(diào)這個關(guān)系，圖2(c2)的縱坐標由這個卷積表達式標注 由此可見、連續(xù)函數(shù)經(jīng)過周期為的無窮序列取樣離散后，其頻譜與原函數(shù)頻譜相比有兩點區(qū)別：（1）頻譜發(fā)生了周期為的周期延拓如果原函數(shù)的頻譜寬度大于時,則產(chǎn)生頻譜混疊，引入失真．(2)離散信號頻譜的幅度是原函數(shù)頻譜的倍.然而．上面對連續(xù)函數(shù)被無窮序列取樣離散的后的頻譜研究只是一個理論結(jié)果、因為實際上不可能作取樣點為無限多的數(shù)值計算．并是，由于離散傅里葉變換事實上討論的是在空域及頻域均是周期離散函數(shù)的傅里葉變換問題．還要將離散函數(shù)截斷及延拓才能滿足要求因此，將空域非周期的離散函數(shù)(圖2(c1))先通過下述矩形宙函數(shù)圖2(d1))截斷: (7)得到具有從個點的的離散分布(圖2(e1)): (8)然后，再將截斷后的部分進行周期為的延拓，形成圖2(g1)的周期離散序列: (6)按照傅里葉變換理論，空域中矩形窗函數(shù)圖今2(d1)與離散序列圖2(c1)的乘積的頻譜函數(shù)、可表為矩形函數(shù)的頻譜函數(shù)(圖2(d2))與圖2(c1)的頻譜函數(shù)圖2(c2)的卷積： (9)對應(yīng)的頻譜函數(shù)曲線示于圖2(e2).由圖可見由于矩形宙函數(shù)的頻譜具有較大的起伏變化的傷瓣，卷積運算的結(jié)果佼圖2(c2)的頻譜曲線形狀產(chǎn)生了失真(為說明問既圖中略有夸大)．將圖2(c2)與圖2(a2)比較不難發(fā)現(xiàn),現(xiàn)在得到的是帶有畸變的原函數(shù)頻譜的周期延拓曲線，延拓周期為．離散傅里葉變換是對空域及領(lǐng)域均為周期離散函數(shù)的變換，因此, 圖2(e2)的曲線還將被周期為的梳狀函數(shù)(圖2(f1))取樣．其結(jié)果是一個周期為的頻域的離散函數(shù)〔圖2(g2)).在頻域進行上面頻譜函數(shù)與梳狀函數(shù)的乘積取樣時，就對應(yīng)著它們在空域原函數(shù)的卷積運算．圖2(e1)與圖2(f1)的函數(shù)在空域卷積運算的結(jié)果成為一周期為的空域離散函數(shù)圖2(g1))．空域及領(lǐng)域離散函數(shù)均以為周期，我們只要分別知道一個周期內(nèi)的離散值或樣本點使可以了解離散函數(shù)全貌．離散傅里葉變換或其快速算法FFT，便是完成從空域到頻域、以及從頻域到空域的這個樣本點的汁算方法． 至此，我們已經(jīng)知道，離散傅里葉變換是博里葉變換的一種近似計算只要能夠?qū)⒀苌涞挠嬎惚頌榫矸e的形式，并了解離散傅里葉變換與博里葉變換間的定量關(guān)系，采取合適的措施抑制晌曳便能對衍射問題求解．將菲涅耳衍射積分的卷積形式: （10）中的二次項展開后得: （11）設(shè)為物平面光波復(fù)振幅；根據(jù)第（10）式，經(jīng)距離d的衍射到達觀測平面的光波復(fù)振幅可由下形式的菲涅耳衍射積分表出: （12）式中，為光波波長，.若利用快速傅里葉變換FFT進行計算式．物平面取樣寬度為，取樣數(shù)為,取樣間距為，（12）式可寫為: (13)式中，是離散傅里葉變換后對應(yīng)的空域取樣間距．為確定這個數(shù)值，根據(jù)前面對離散傅里葉變換的討論，（13）式的計算結(jié)果將是取值范圍的點的離教值．即:或者， (14)因此 (15) 對（10）式兩邊作博里葉變換并利用空域卷積定律得: （16）令是頻域坐標可以定義菲涅耳衍射傳遞函數(shù)為: （17）光是一種電磁波，按的規(guī)律隨時間傳播，電光源發(fā)粗的是一組球面波，設(shè)光源位于坐標原點處，以速度在電容率為的介質(zhì)中傳播，當光到達半徑為的求面時，光的場強是的函數(shù)，可以表示為: （18）其中稱為波數(shù)，能量密度為: （19）以表示單位時間內(nèi)光矢量所在空間的體積，則單位時間內(nèi)通過整個球面的能量為: （20）而
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