快速傅里葉變換計(jì)算衍射光強(qiáng)的分布本科畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-21 06:16 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 式為 （1）由于梳狀函數(shù)為周期的函數(shù)，可以表為博里葉級數(shù)： （2）其中,于是, （3）被信號調(diào)制的結(jié)果(見圖2(c1))．圖2. 函數(shù)的離散傅里葉變換過程上式表明，取樣信號已經(jīng)不是原信號，而是無窮多個(gè)截波信號 （4）現(xiàn)在，通過博里葉變換來考察信號經(jīng)取樣后的頻譜與原信號頻譜的關(guān)系對上式作博里葉變換得 （5）結(jié)果表眼在取樣信號頻譜中除了包含原信號頻譜外，還包含了無窮多個(gè)被延拓的頻譜、延拓的周期為(見圖2(c2))．并且、由于原函數(shù)的頻譜寬度大于延拓的周期，相鄰的頻譜曲線產(chǎn)生了混疊． 根據(jù)傅里葉變換中頻域的卷積定律，圖2(c2)也可以通過原函數(shù)的頻譜函數(shù)(圖2(a2))與梳狀函數(shù)的頻譜函數(shù)(2(b2))的卷積求出: （6）為強(qiáng)調(diào)這個(gè)關(guān)系，圖2(c2)的縱坐標(biāo)由這個(gè)卷積表達(dá)式標(biāo)注 由此可見、連續(xù)函數(shù)經(jīng)過周期為的無窮序列取樣離散后，其頻譜與原函數(shù)頻譜相比有兩點(diǎn)區(qū)別：（1）頻譜發(fā)生了周期為的周期延拓如果原函數(shù)的頻譜寬度大于時(shí),則產(chǎn)生頻譜混疊，引入失真．(2)離散信號頻譜的幅度是原函數(shù)頻譜的倍.然而．上面對連續(xù)函數(shù)被無窮序列取樣離散的后的頻譜研究只是一個(gè)理論結(jié)果、因?yàn)閷?shí)際上不可能作取樣點(diǎn)為無限多的數(shù)值計(jì)算．并是，由于離散傅里葉變換事實(shí)上討論的是在空域及頻域均是周期離散函數(shù)的傅里葉變換問題．還要將離散函數(shù)截?cái)嗉把油夭拍軡M足要求因此，將空域非周期的離散函數(shù)(圖2(c1))先通過下述矩形宙函數(shù)圖2(d1))截?cái)? (7)得到具有從個(gè)點(diǎn)的的離散分布(圖2(e1)): (8)然后，再將截?cái)嗪蟮牟糠诌M(jìn)行周期為的延拓，形成圖2(g1)的周期離散序列: (6)按照傅里葉變換理論，空域中矩形窗函數(shù)圖今2(d1)與離散序列圖2(c1)的乘積的頻譜函數(shù)、可表為矩形函數(shù)的頻譜函數(shù)(圖2(d2))與圖2(c1)的頻譜函數(shù)圖2(c2)的卷積： (9)對應(yīng)的頻譜函數(shù)曲線示于圖2(e2).由圖可見由于矩形宙函數(shù)的頻譜具有較大的起伏變化的傷瓣，卷積運(yùn)算的結(jié)果佼圖2(c2)的頻譜曲線形狀產(chǎn)生了失真(為說明問既圖中略有夸大)．將圖2(c2)與圖2(a2)比較不難發(fā)現(xiàn),現(xiàn)在得到的是帶有畸變的原函數(shù)頻譜的周期延拓曲線，延拓周期為．離散傅里葉變換是對空域及領(lǐng)域均為周期離散函數(shù)的變換，因此, 圖2(e2)的曲線還將被周期為的梳狀函數(shù)(圖2(f1))取樣．其結(jié)果是一個(gè)周期為的頻域的離散函數(shù)〔圖2(g2)).在頻域進(jìn)行上面頻譜函數(shù)與梳狀函數(shù)的乘積取樣時(shí)，就對應(yīng)著它們在空域原函數(shù)的卷積運(yùn)算．圖2(e1)與圖2(f1)的函數(shù)在空域卷積運(yùn)算的結(jié)果成為一周期為的空域離散函數(shù)圖2(g1))．空域及領(lǐng)域離散函數(shù)均以為周期，我們只要分別知道一個(gè)周期內(nèi)的離散值或樣本點(diǎn)使可以了解離散函數(shù)全貌．離散傅里葉變換或其快速算法FFT，便是完成從空域到頻域、以及從頻域到空域的這個(gè)樣本點(diǎn)的汁算方法． 至此，我們已經(jīng)知道，離散傅里葉變換是博里葉變換的一種近似計(jì)算只要能夠?qū)⒀苌涞挠?jì)算表為卷積的形式，并了解離散傅里葉變換與博里葉變換間的定量關(guān)系，采取合適的措施抑制晌曳便能對衍射問題求解．將菲涅耳衍射積分的卷積形式: （10）中的二次項(xiàng)展開后得: （11）設(shè)為物平面光波復(fù)振幅；根據(jù)第（10）式，經(jīng)距離d的衍射到達(dá)觀測平面的光波復(fù)振幅可由下形式的菲涅耳衍射積分表出: （12）式中，為光波波長，.若利用快速傅里葉變換FFT進(jìn)行計(jì)算式．物平面取樣寬度為，取樣數(shù)為,取樣間距為，（12）式可寫為: (13)式中，是離散傅里葉變換后對應(yīng)的空域取樣間距．為確定這個(gè)數(shù)值，根據(jù)前面對離散傅里葉變換的討論，（13）式的計(jì)算結(jié)果將是取值范圍的點(diǎn)的離教值．即:或者， (14)因此 (15) 對（10）式兩邊作博里葉變換并利用空域卷積定律得: （16）令是頻域坐標(biāo)可以定義菲涅耳衍射傳遞函數(shù)為: （17）光是一種電磁波，按的規(guī)律隨時(shí)間傳播，電光源發(fā)粗的是一組球面波，設(shè)光源位于坐標(biāo)原點(diǎn)處，以速度在電容率為的介質(zhì)中傳播，當(dāng)光到達(dá)半徑為的求面時(shí)，光的場強(qiáng)是的函數(shù)，可以表示為: （18）其中稱為波數(shù)，能量密度為: （19）以表示單位時(shí)間內(nèi)光矢量所在空間的體積，則單位時(shí)間內(nèi)通過整個(gè)球面的能量為: （20）而
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