求解對流擴(kuò)散方程的pade逼近格式畢業(yè)論文-在線瀏覽
2024-08-02 15:38本頁面
【正文】 免剛性和有效的求解擴(kuò)散方程本文用pade逼近方法有效地求解該問題得到截斷誤差為的兩層絕對穩(wěn)定的隱式差分格式，并討論了穩(wěn)定性，數(shù)值值結(jié)果與CrankNicholson 格式進(jìn)行比較，數(shù)值結(jié)果表明,該方法是有效求解對流擴(kuò)散方程的數(shù)值計算.本文分為三大部分，第一部分簡單介紹對流擴(kuò)散方程的經(jīng)典差分格式，第二部分主要介紹對流擴(kuò)散方程的pade逼近格式的構(gòu)造和穩(wěn)定性，第三部分給出具體的數(shù)值算例，結(jié)果與CrankNicolson格式，準(zhǔn)確值進(jìn)行比較，最后給出結(jié)論利用下面的各種數(shù)值微分公式得到不同的差分格式，（2）截斷誤差：一般說來，微分方程的解不會精確地滿足差分方程。相容性：若時間步長以及空間步長同時趨于，截斷誤差，就說差分格式與微分方程是相容的。收斂性：考察差分格式在理論上的準(zhǔn)確解能否任意逼近微分方程的解。穩(wěn)定性：差分格式的計算是逐層計算的，計算第層上的時，要用到第層上計算出來的結(jié)果。因此，一個有實用價值的數(shù)值方法應(yīng)該具有能夠控制這種誤差影響的性能，這就是數(shù)值方法的穩(wěn)定性。Lax 等價定理：給定一個適定的線性初值問題以及與其相容的差分格式，則差分格式的穩(wěn)定性是差分格式收斂性的充分必要條件。 定理2 如果差分格式的增長矩陣是正規(guī)矩陣，則 von Neumann 條件是差分格式穩(wěn)定的必要且充分條件。 當(dāng)時，即只有一個元素，則von Neumann 條件是差分格式穩(wěn)定的充要條件。2. 對流擴(kuò)散方程的幾種常見的差分格式我們考慮如下對流擴(kuò)散方程齊次邊值問題 (3) 下面我們討論（3）各種常見的經(jīng)典差分格式的構(gòu)造和穩(wěn)定性 （4） 其中為常數(shù)，易知該格式的截斷誤差為。我們知道這是一個不穩(wěn)定的差分格式。 若令 ， 那么差分格式可以改寫為 (5)求出這個差分格式的增長因子 其模的平方為 由于，所以 （此時差分格式穩(wěn)定）的充分條件為 注意到，所以上面不等式滿足的條件為由此可得到差分格式的穩(wěn)定性限制為說明中心顯式差分方法是條件穩(wěn)定的。載斷 分析： 為對流擴(kuò)散方程的充分光滑解，那么由此看出，兼容性要求當(dāng) ，有 ，此時，其裁斷誤差為 穩(wěn)定性分析 令 則差分格式（2） 可改寫成由于這個格式是三層格式，由此我們化成與其等價的二層差分方程組設(shè) 把上面的方程組寫成向量形式令 并將它代入上式得到由此得增長因子跟據(jù) Gerschgorin 定理 有 其中， 所以要使該差分格式穩(wěn)定，必須有 即解不等式易得所以，lcapFrog/DuFortF rankle 差分方法也是條件穩(wěn)定的，它穩(wěn)定的條件為 Crank Nicolson 型隱式差分方法及性質(zhì) （7）1） CrankNicolson格式考慮下列對流擴(kuò)散方程的初始邊界條件為： （8）2） 差分格式為： （9） nn+1j+1jj1 從而推導(dǎo)所謂 Crank Nicholson 法差分格式（5）可以改寫為： (10)因為不能直接算出結(jié)果，利用了三對角矩陣進(jìn)行數(shù)值計算：（11）3） 截斷誤差為：4） 穩(wěn)定條件為：通過Fourier分析因此格式是絕對穩(wěn)定的。 穩(wěn)定性分析引理1[2]：若A是一個N階三對角矩陣 其中a,b,c是實數(shù)，bc0,則A的右特征值為 （19）定理2： 本文差分格式（18）是絕對穩(wěn)定的；證明： （20）則， （21）假設(shè)則有因此有： (22) 由此推出顯然。因此是絕對穩(wěn)定的。 =。下面看它的圖形:圖 1 h=。 t=1從圖1可看出本文格式很好的逼近準(zhǔn)確解.數(shù)值例子2給出下面的常系數(shù)一維擴(kuò)散方程初邊值問題（25）該方程
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