【正文】 簡(jiǎn)單描述文的整體結(jié)構(gòu)安排。
第四章：基于matlab的數(shù)值逼近程序設(shè)計(jì)，本章首先介紹了各種插值與擬合的定義，并對(duì)各種算法進(jìn)行舉例計(jì)算，最后在本章進(jìn)行了各個(gè)算法基于matlab的設(shè)計(jì)與仿真。第2章 MATLAB簡(jiǎn)介MATLAB是矩陣實(shí)驗(yàn)室（Matrix Laboratory）的簡(jiǎn)稱(chēng)，是美國(guó)MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開(kāi)發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言和交互式環(huán)境，主要包括MATLAB和Simulink兩大部分。它在數(shù)學(xué)類(lèi)科技應(yīng)用軟件中在數(shù)值計(jì)算方面首屈一指。 MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來(lái)解算問(wèn)題要比用C，F(xiàn)ORTRAN等語(yǔ)言完成相同的事情簡(jiǎn)捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等軟件的優(yōu)點(diǎn)，使MATLAB成為一個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件?？梢灾苯诱{(diào)用,用戶(hù)也可以將自己編寫(xiě)的實(shí)用程序?qū)氲組ATLAB函數(shù)庫(kù)中方便自己以后調(diào)用，此外許多的MATLAB愛(ài)好者都編寫(xiě)了一些經(jīng)典的程序，用戶(hù)可以直接進(jìn)行下載就可以用（如圖21）。附加的工具箱（單獨(dú)提供的專(zhuān)用MATLAB 函數(shù)集）擴(kuò)展了MATLAB 環(huán)境，以解決這些應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi)特定類(lèi)型的問(wèn)題。 MATLAB開(kāi)發(fā)環(huán)境MATLAB開(kāi)發(fā)環(huán)境是一套方便用戶(hù)使用的MATLAB函數(shù)和文件工具集，其中許多工具是圖形化用戶(hù)接口。圖23 MATLAB開(kāi)發(fā)環(huán)境 MATLAB數(shù)學(xué)函數(shù)庫(kù)MATLAB數(shù)學(xué)函數(shù)庫(kù)包括了大量的計(jì)算算法。 MATLAB語(yǔ)言MATLAB語(yǔ)言是一種高級(jí)的基于矩陣/數(shù)組的語(yǔ)言，它有程序流控制、函數(shù)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、輸入/輸出和面向?qū)ο缶幊痰忍厣Ｋ◤?qiáng)大的二維三維圖形函數(shù)、圖像處理和動(dòng)畫(huà)顯示等函數(shù)。該函數(shù)庫(kù)的函數(shù)通過(guò)調(diào)用動(dòng)態(tài)鏈接庫(kù)（DLL）實(shí)現(xiàn)與MATLAB文件的數(shù)據(jù)交換，其主要功能包括在MATLAB中調(diào)用C和Fortran程序，以及在MATLAB與其它應(yīng)用程序間建立客戶(hù)、服務(wù)器關(guān)系。 優(yōu)勢(shì)1. 友好的工作平臺(tái)編程環(huán)境MATLAB由一系列工具組成。其中許多工具采用的是圖形用戶(hù)界面。隨著MATLAB的商業(yè)化以及軟件本身的不斷升級(jí)，MATLAB的用戶(hù)界面也越來(lái)越精致，更加接近Windows的標(biāo)準(zhǔn)界面，人機(jī)交互性更強(qiáng)，操作更簡(jiǎn)單。簡(jiǎn)單的編程環(huán)境提供了比較完備的調(diào)試系統(tǒng)，程序不必經(jīng)過(guò)編譯就可以直接運(yùn)行，而且能夠及時(shí)地報(bào)告出現(xiàn)的錯(cuò)誤及進(jìn)行出錯(cuò)原因分。用戶(hù)可以在命令窗口中將輸入語(yǔ)句與執(zhí)行命令同步，也可以先編寫(xiě)好一個(gè)較大的復(fù)雜的應(yīng)用程序（M文件）后再一起運(yùn)行。使之更利于非計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的科技人員使用。3. 強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理能力MATLAB是一個(gè)包含大量計(jì)算算法的集合。函數(shù)中所使用的算法都是科研和工程計(jì)算中的最新研究成果，而前經(jīng)過(guò)了各種優(yōu)化和容錯(cuò)處理。在計(jì)算要求相同的情況下，使用MATLAB的編程工作量會(huì)大大減少。函數(shù)所能解決的問(wèn)題其大致包括矩陣運(yùn)算和線(xiàn)性方程組的求解、微分方程及偏微分方程的組的求解、符號(hào)運(yùn)算、傅立葉變換和數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析、工程中的優(yōu)化問(wèn)題、稀疏矩陣運(yùn)算、復(fù)數(shù)的各種運(yùn)算、三角函數(shù)和其他初等數(shù)學(xué)運(yùn)算、多維數(shù)組操作以及建模動(dòng)態(tài)仿真等。高層次的作圖包括二維和三維的可視化、圖象處理、動(dòng)畫(huà)和表達(dá)式作圖。新版本的MATLAB對(duì)整個(gè)圖形處理功能作了很大的改進(jìn)和完善，使它不僅在一般數(shù)據(jù)可視化軟件都具有的功能（例如二維曲線(xiàn)和三維曲面的繪制和處理等）方面更加完善，而且對(duì)于一些其他軟件所沒(méi)有的功能（例如圖形的光照處理、色度處理以及四維數(shù)據(jù)的表現(xiàn)等），MATLAB同樣表現(xiàn)了出色的處理能力。另外新版本的MATLAB還著重在圖形用戶(hù)界面（GUI）的制作上作了很大的改善，對(duì)這方面有特殊要求的用戶(hù)也可以得到滿(mǎn)足。一般來(lái)說(shuō)，它們都是由特定領(lǐng)域的專(zhuān)家開(kāi)發(fā)的，用戶(hù)可以直接使用工具箱學(xué)習(xí)、應(yīng)用和評(píng)估不同的方法而不需要自己編寫(xiě)代碼。新版本的MATLAB可以利用MATLAB編譯器和C/C++數(shù)學(xué)庫(kù)和圖形庫(kù)，將自己的MATLAB程序自動(dòng)轉(zhuǎn)換為獨(dú)立于MATLAB運(yùn)行的C和C++代碼。另外，MATLAB網(wǎng)頁(yè)服務(wù)程序還容許在Web應(yīng)用中使用自己的MATLAB數(shù)學(xué)和圖形程序。工具箱是MATLAB函數(shù)的子程序庫(kù)，每一個(gè)工具箱都是為某一類(lèi)學(xué)科專(zhuān)業(yè)和應(yīng)用而定制的，主要包括信號(hào)處理、控制系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊邏輯、小波分析和系統(tǒng)仿真等方面的應(yīng)用。有的表達(dá)很復(fù)雜，有的甚至不給出數(shù)學(xué)的表達(dá)式，而只是給出了一些離散數(shù)據(jù)——譬如某些點(diǎn)的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值。如果要求近似函數(shù)去給定的離散數(shù)據(jù)，則稱(chēng)之為的逼近函數(shù)。狹義的理解則專(zhuān)指對(duì)函數(shù)的逼近,即對(duì)于給定的較廣泛的函數(shù)類(lèi)F中的函數(shù)?=?(x),從較小的子類(lèi)H中尋求在某種意義下?的一個(gè)近似函數(shù)h（x），以便于計(jì)算和處理。它是現(xiàn)代數(shù)值分析的基本組成部分，除自身具有獨(dú)立學(xué)科分支的意義外，還可用于構(gòu)造數(shù)值積分、求函數(shù)零點(diǎn)、解微分方程和積分方程的近似方法。如果待定函數(shù)是線(xiàn)性，就叫線(xiàn)性擬合或者線(xiàn)性回歸(主要在統(tǒng)計(jì)中)，否則叫作非線(xiàn)性擬合或者非線(xiàn)性回歸。 一組觀(guān)測(cè)結(jié)果的數(shù)字統(tǒng)計(jì)與相應(yīng)數(shù)值組的吻合。插值法是一種用簡(jiǎn)單函數(shù)近似代替較復(fù)雜函數(shù)的方法，它的近似標(biāo)準(zhǔn)是在插值點(diǎn)處的誤差為零。對(duì)了達(dá)到這一目的，就需要引入擬合的方法，所以數(shù)據(jù)擬合與插值相比：（1）數(shù)據(jù)擬合不要求近似 函數(shù)過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，而要求它反映原函數(shù)整體的變化趨勢(shì)。實(shí)際給出的數(shù)據(jù)，總有觀(guān)測(cè)誤差的，而所求的插值函數(shù)要通過(guò)所有的節(jié)點(diǎn)，這樣就會(huì)保留全部觀(guān)測(cè)誤差的影響，如果不是要求近似函數(shù)過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是要求它反映原函數(shù)整的變化趨勢(shì)，那么就可以用數(shù)據(jù)擬合的方法得到更簡(jiǎn)單活用的近似函數(shù)。但在實(shí)際工作中由于各隨機(jī)因素的干擾，所得到的數(shù)據(jù)往往不同程度存在著誤差。 直線(xiàn)擬合由給定的一組測(cè)定的離散數(shù)據(jù)（），求自變量和因變量的近似表達(dá)式的方法。直線(xiàn)擬合最常用的近似標(biāo)準(zhǔn)是最小二乘原理，它也是流行的數(shù)據(jù)處理方法之一。(2) 設(shè)擬合函數(shù)為：然后，這里得到的和可能不相同，記它們的差為：稱(chēng)之為誤差。最小二乘法便是確定“最佳” 參數(shù)的方法，也就是要誤差的平方和達(dá)到最小。(4) 正規(guī)方程組：，；整理：(5) 求解正規(guī)方程組，得。例如44：已知觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)如表31所示，求它的擬合曲線(xiàn)。因此而得所求擬合曲線(xiàn)為 曲線(xiàn)擬合設(shè)有一組數(shù)據(jù)對(duì)（）求連續(xù)變量的一個(gè)函數(shù)，它在處誤差為，使總體誤差按某種算法達(dá)到最?。Ｓ玫娜N準(zhǔn)則是:（1）使得誤差的最大的絕對(duì)值為最小，即 ；（2）使誤差的絕對(duì)值和最小，即 ；（3）使誤差的平方和為最小，即 ；由于準(zhǔn)測(cè)（1）、（2）含有絕對(duì)值不便于處理，通常采用準(zhǔn)測(cè)（3），并稱(chēng)基于準(zhǔn)則（3）來(lái)選取擬合曲線(xiàn)的方法，為曲線(xiàn)擬合的最小二乘法。取最小值．稱(chēng)m次多項(xiàng)式為m次最小二乘擬合多項(xiàng)式(或m次最小平方逼近多項(xiàng)式)。容易看出是系數(shù)的m+1元二次多項(xiàng)式(二次型)，所以可以用多元函數(shù)求極值的方法求其最小值和最小值。插值是離散函數(shù)逼近的重要方法，利用它可通過(guò)函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)處的取值狀況，估算出函數(shù)在其他點(diǎn)處的近似值。發(fā)展：早在6世紀(jì)，中國(guó)的劉焯已將等距二次插值用于天文計(jì)算。在近代，插值法仍然是數(shù)據(jù)處理和編制函數(shù)表的常用工具，又是數(shù)值積分、數(shù)值微分、非線(xiàn)性方程求根和微分方程數(shù)值解法的重要基礎(chǔ)，許多求解計(jì)算公式都是以插值為基礎(chǔ)導(dǎo)出的?；舅悸肥牵业揭粋€(gè)函數(shù)P(x)，在x0，x1……xn 的節(jié)點(diǎn)上與f(x)函數(shù)值相同(有時(shí)，甚至一階導(dǎo)數(shù)值也相同)，用P(x*)的值作為函數(shù)f(x*)的近似。此處f（x）稱(chēng)為被插值函數(shù)，x0，x1，……xn稱(chēng)為插值結(jié)(節(jié))點(diǎn)，Φ(C0，C1，……Cn)稱(chēng)為插值函數(shù)類(lèi)，上面等式稱(chēng)為插值條件，Φ（C0，……Cn）中滿(mǎn)足上式的函數(shù)稱(chēng)為插值函數(shù)，R（x）= f（x）－P（x）稱(chēng)為插值余項(xiàng)。 基本類(lèi)型這是最常見(jiàn)的一種函數(shù)插值。從幾何上看可以理解為：已知平面上n+1個(gè)不同點(diǎn)，要尋找一條n次多項(xiàng)式曲線(xiàn)通過(guò)這些點(diǎn)。2. 埃爾米特插值對(duì)于函數(shù)f（x），常常不僅知道它在一些點(diǎn)的函數(shù)值，而且還知道它在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。這就是埃爾米特插值問(wèn)題，也稱(chēng)帶導(dǎo)數(shù)的插值問(wèn)題?？梢?jiàn)埃爾米特插值多項(xiàng)式比起一般多項(xiàng)式插值有較高的光滑逼近要求。為了克服這一缺點(diǎn)，一種全局化的分段插值方法——三次樣條插值成為比較理想的工具。5. 辛克插值在抽樣信號(hào)中我們以使用辛克插值，它可以由樣品值完美地重建原始信號(hào)。此公式表示，已知在規(guī)則分布的區(qū)間中的抽樣值sk，我們就可以根據(jù)辛克函數(shù)先測(cè)出抽樣值，然后將它們相加，這樣計(jì)算出任意時(shí)間t上的值。因此，實(shí)踐上作插值時(shí)一般只用一次、二次最多用三次插值多項(xiàng)式。分段線(xiàn)性插值方法在速度和誤差之間取得了比較好的均很，其插值函數(shù)具有連續(xù)性，但在已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的斜率一般不會(huì)改變，因此不是光滑的。 定義設(shè)f(x)是定義在[a,b]上的函數(shù)，在[a,b]上節(jié)點(diǎn)a= x0 x1x2…xn1xn=b,的函數(shù)值為 y0 , y1 ,y2 ,…yn1 ,yn,若函數(shù)j(x)滿(mǎn)足條件(1) j(x)在區(qū)間[a , b]上連續(xù)。則稱(chēng)j(x)是f(x)在[a ,b]上的分段m次插值多項(xiàng)式，m=1稱(chēng)為分段線(xiàn)性插值。由定義， j(x)在每個(gè)子區(qū)間[xi , xi+1](i=0,1,2,…,n1)上是一次插值多項(xiàng)式。解：插值節(jié)點(diǎn)為xi=1+ i/5 (i=0,1,…,10),h=1/5因?yàn)?∈[1,],取此區(qū)間為線(xiàn)性插值區(qū)間，其上的插值函數(shù)為所以f()187。該命令對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間計(jì)算內(nèi)插值。其中函數(shù)f（x）由所給數(shù)據(jù)決定。由上面的例題基于matlab分段插值程序設(shè)計(jì)：(1)。y=(1+25*x.^2).^1%對(duì)插值點(diǎn)進(jìn)行定義x0=[1:2/10:1]。%進(jìn)行分段插值%x1=。o39。b39。legend(39。,39。)。 拉格朗日插值 線(xiàn)性插值給定兩個(gè)插值點(diǎn)其中，怎樣做通過(guò)這兩點(diǎn)的一次插值函數(shù)？過(guò)兩點(diǎn)作一條直線(xiàn)，這條直線(xiàn)就是通過(guò)這兩點(diǎn)的一次多項(xiàng)式插值函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)線(xiàn)性插值（如圖42）。下面先用待定系數(shù)法構(gòu)造插值直線(xiàn)。這也表明，平面上兩個(gè)點(diǎn)，有且僅有一條直線(xiàn)通過(guò)。當(dāng)時(shí)，若用兩點(diǎn)式表示這條直線(xiàn)，則有：。記??；，稱(chēng)為插值基函數(shù)，計(jì)算，的值，易見(jiàn)在拉格朗日插值多項(xiàng)式中可將看做兩條直線(xiàn)，的疊加，并可看到兩個(gè)插值點(diǎn)的作用和地位都是平等的。 二次朗格拉日插值給定三個(gè)插值點(diǎn)，,其中互不相等，怎樣構(gòu)造函數(shù)的二次的（拋物線(xiàn)）插值多項(xiàng)式？平面上的三個(gè)點(diǎn)能確定一條次曲線(xiàn)，如圖43所示。設(shè)： 每個(gè)基函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，對(duì)來(lái)說(shuō)，要求是它的零點(diǎn)，因此可設(shè)：同理，也相對(duì)應(yīng)的形式，得：將代入，得：；同理將代入得到和的值，以及和的表達(dá)式。若曲線(xiàn)通過(guò)給定平面上個(gè)互不相同的插值點(diǎn)，則應(yīng)滿(mǎn)足，事實(shí)上一個(gè)插值點(diǎn)就是一個(gè)插值條件。通過(guò)求解方程組得到插值多項(xiàng)式，因其計(jì)算量太大而不可取，仿照線(xiàn)性以及二次插值多項(xiàng)式的拉格朗日形式，我們可構(gòu)造次拉格朗日插值多項(xiàng)式。要求是的零點(diǎn)，因此可設(shè)由=將代入，得到作其組合：那么不高于次且滿(mǎn)足，故就是關(guān)于插值點(diǎn)的插值多項(xiàng)式，這種插值形式稱(chēng)為拉格朗日插值多項(xiàng)式。 拉格朗日計(jì)算　　例