【正文】 第四章 迭代重建算法 ..................................................................................................... 22 迭代重建算法的思想原理 .................................................................................. 22 迭代重建的數(shù)學(xué)模型 .............................................................................. 22 代數(shù)重建法（ ART） ......................................................................................... 25 聯(lián)立迭代重建法（ SIRT） ................................................................................. 26 全差分迭代算法（ TV） .................................................................................... 27 迭代重建算法的實(shí)現(xiàn)和對比分析 ....................................................................... 27 第五章 結(jié)論 ................................................................................................................... 37 參考文獻(xiàn) ........................................................................................................................ 38 目錄 V 附錄 ............................................................................................................................... 40 謝辭 ............................................................................................................................... 60 第一章緒論 1 第一章 緒論 引言 自從 X 射線發(fā)現(xiàn)后，醫(yī)學(xué)上就開始用它來探測人體疾病。于是，美國與 英國 的科學(xué)家開始了尋找一種新的東西來彌補(bǔ)用 X 線技術(shù)檢查人體病變的不足。這種檢查簡便、安全、無痛苦、無 創(chuàng)傷 、無危險(xiǎn)，它促進(jìn)了 醫(yī)學(xué) 影像 診斷學(xué) 的發(fā)展 ， CT 的研制成功被譽(yù)為自 倫琴 發(fā)現(xiàn) X 射線以后，放射診斷學(xué)上最重要的成就。 CT 最初只用于頭部檢查， 1974 年又出現(xiàn)了全身的 CT。我國各大城市 醫(yī)院 所使用的CT 屬第三代 ]5[ 。 CT 最適于查明占位 性病 變?nèi)缒[瘤 、囊腫、增大的 淋巴結(jié) 、 血腫 、 膿腫 和肉芽腫的大小、 形態(tài) 、 目和侵犯范圍，它可以決定某些器官癌腫的分期和是否能進(jìn)行 手術(shù) 切除。 CT 成像技術(shù)的基本原理是根據(jù)人體中不同組織對 X 射線的衰減作用不同，用 X線 束對人體某部一定厚度的層面進(jìn)行掃描，由探測器接收透過該層面的 X線，轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢姽夂?，由光電轉(zhuǎn)換變?yōu)殡娦盘?，再?jīng)模擬 /數(shù)字轉(zhuǎn)換器 （ analog/digital converter） 轉(zhuǎn)為數(shù)字，輸入 計(jì)算機(jī) 處理。掃描所得信息經(jīng)計(jì)算而獲得每個(gè)體素的 X 線衰減系數(shù)或吸收系數(shù)，再排列成 矩陣 ，即數(shù)字矩陣 （ digital matrix） ，數(shù)字矩陣可存貯于磁盤或 光盤 中。所以， CT 圖像是重建圖像。 第一章緒論 2 如圖 所示。 ⑴透射斷層成像 透射斷層成像（ Transmission Computed Tomography,TCT，簡稱 CT）系統(tǒng)中，從發(fā)射源射出的 X 射線穿透物體到達(dá)接收器。由于物體各部分對射線的吸收不同，所以接收器獲得的射線強(qiáng)度實(shí)際上反映了物體各部分對射線的吸收情況。接收器接收到的模擬信號經(jīng)模數(shù)轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號后，把代表著不同角度下的投影數(shù)據(jù)送給計(jì)算機(jī)，它再運(yùn)用復(fù)雜的數(shù)學(xué)方法重建出物體截面的 圖像 ]4[ 。 X— CT 成像原理如圖 所示： 圖 X射線 CT成像原理 第一章緒論 3 ⑵發(fā)射斷層成像 在發(fā)射斷層成像（ Emission Computed Tomography,ECT）系統(tǒng)中，發(fā)射源在物體內(nèi)部，一般是將具有放射性的離子注入物體內(nèi)部，從物體外檢測放射出來的量?，F(xiàn)在通常用的 ECT 主要有兩種：①正電子成像 PET（ Positron Emission Tomography）；②單光子成像 SPECT（ Single Positron Emission Computed Tomography）。 ECT 主要針對代謝過程的成像。它的發(fā)明者斯坦福大學(xué)的 和哈佛大學(xué)的 為此獲得了 1952 年度的諾貝爾物理獎(jiǎng)。如果把它們放在磁場中，它們會像陀螺在地球重力場中一樣在磁場中進(jìn)動(dòng)。如果此時(shí)將共振場信號除去，質(zhì)子吸收的能量釋放并被接收器檢測到。通過控制所用的共振場信號和磁場強(qiáng)度，可每次檢測到沿透過目標(biāo)中一條線的信號。所以檢測目標(biāo)的工作成了投影重建的問題。由于它能夠很好的保留豐富的軟組織圖像，所以在腦功能研究上， MRI 勝過 ECT。因此超聲成像主要用于人體中沒有硬組織（如骨骼）部分的檢測，特別是婦女乳房癌的檢測。常見的一個(gè)例子是雷達(dá)系統(tǒng)，其中的雷達(dá)圖是物體反射的回波所產(chǎn)生的。 通過發(fā)展硬件設(shè)備和改進(jìn)軟件算法，可以不斷降低噪聲和 提高圖像的清晰度。 應(yīng)該指出，上面介紹的各類 CT 的功能是相互補(bǔ)充而不是相互替代的 ]6[ 。成像技術(shù)廣義上講大致可分為三個(gè)部分：信息的收集、重建以及處理和傳遞。所采用的物理測量系統(tǒng)包括放射源、檢測器 及配套的機(jī)械、電路設(shè)備。 ⑵圖像重建，即利用各種反演算法從所測數(shù)據(jù)重建出物體內(nèi)部某種物理量的分布圖。 ⑶圖像后處理，包括圖像去噪、銳化，特征提取以及圖像的存儲、壓縮和傳輸?shù)取Ｖv述了 CT 重建的基本原理 第一章緒論部分，首先介紹了計(jì)算機(jī)斷層成像術(shù)（ CT）的發(fā)展歷史，及其醫(yī)學(xué)意義根據(jù)射線產(chǎn)生的物理方式對 CT 具體的分類。 第二章詳細(xì)介紹了 CT 圖像重建系統(tǒng)的基本原理，根據(jù) Beer 定理對斷層進(jìn)行體素劃分，通過聯(lián)立方程組求解方程組的方式重建圖像。所以這個(gè)方法在后來實(shí)際的圖像重建中已不再使用，從而引出了現(xiàn)在CT 圖像重建中常用的方法解析法。先講述了直接反投影重建算法，但由于直接反投影法存在圖像偽跡， 從而提出了濾波反投影重建算法。 第四章迭代重建算法部分，上述解析算法是目前醫(yī)用 CT 中最常用的重建算法。在實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)無法測得大量的投影，有時(shí)投影不是均勻的分布在 180 度或 360 度范圍內(nèi)。再如用成像法勘探地球資源時(shí)，用孔穴法采集的數(shù) 據(jù)，數(shù)量不足又不均勻等上述濾波反投影法無能為力，于是提出了圖像重建的迭代重建算法。最后演示了一下迭代算法重建圖像的效果。探討了尚需進(jìn)一步解決的問題及今后有待努力的方向。用 X 射線發(fā)生器發(fā)出單色細(xì)束 X 射線，對成像對象進(jìn)行投射，如圖 所 示。取得這些不同投射位置的透射 強(qiáng)度后，就可以用這些數(shù)據(jù)，采用一定的算法重建出 X射線源環(huán)繞的斷層的圖像。在 CT 技術(shù)中，組織對X 線的局部衰減特性被用于離散成像；而在通常的 X 線攝影術(shù)中，這種衰減信息則重疊在 X 線底片上。例如光電吸收過程和康普頓散射過程。幾率也是輻射能量的函數(shù) ,因?yàn)閺?X 線管產(chǎn)生的 X 線由全部能譜組成 ，具有“線衰減系數(shù) u ”的某種組織的衰減性質(zhì)是一第二章 CT 圖像重建的基本原理 7 個(gè)復(fù)雜的函數(shù)，隨著輻射情況的變化，它可以表現(xiàn)出不同的數(shù)值。 實(shí)際被投射的物體是非均勻的，如果在 X 射線束通過 的路徑 l 上，介質(zhì)是非均勻的，則可以將 X 射線穿過的介質(zhì)沿掃描路徑 l 人為劃分為大小相等的 n 個(gè)小方塊，每個(gè)小塊的厚度為 d ，塊內(nèi)視為均勻介質(zhì)。 X射線通過每一個(gè)方塊的衰減為 dueII 101 ?? ，射線通過第二個(gè)方塊的衰減為dueII 212 ?? ，通過第 n 個(gè)方塊的衰減為 dunn neIII ??? 。這樣，上式中，等號右邊可視為一個(gè)常數(shù)，等待求 解的是等式左邊的每一個(gè)方塊的衰減系數(shù)?？紤]到圍繞受檢體的一次掃描可以得到一個(gè)有關(guān)衰減系數(shù)的方程，如果將整個(gè)感興趣斷層都劃分為大小相等的小方塊，每個(gè)小方塊由于一個(gè)固定的衰減系數(shù)，這樣，上述單束射線環(huán)繞掃描得到的每個(gè)穿透強(qiáng)度值都可以形成一個(gè)關(guān)于衰減系數(shù)的方程。把每個(gè)方塊的衰減系數(shù)值用灰度表示，就可以重建出以衰減系數(shù)為特征的斷層圖像。 值得說明的是，當(dāng)上圖中 0?d 時(shí)，投影 p 就是 dlluIIp ??? )()ln( 0 （ ） 式中，衰減系數(shù) )(lu 是隨路徑 l 連續(xù)變化的函數(shù)。 然而，一般二維斷層圖像至少應(yīng)劃分出 160 160 個(gè)像素，如要用方程組法重建這個(gè)斷層圖像，就要 25600 個(gè)獨(dú)立的方程聯(lián)立求解，這是一個(gè)相當(dāng)費(fèi)時(shí)的任務(wù)。所以 ，這種方法在后來的實(shí)際應(yīng)用中已不再使用，而是采用下一章將要介紹的反投影解析法。這一章介紹現(xiàn)在 CT 最常用的圖像重建算法 —— 反投影解析法。另外由逆 Radon 變換的推導(dǎo)給出了兩種常用的圖像解析重建法：濾波反投影法和卷積反投影法。它把投影域中的數(shù)據(jù)沿著原來的投影路徑“涂抹”回去，但不改變數(shù)據(jù)的值 ]3[ 。通俗地講，所謂直接反投影，就是在對某體面一個(gè)方向的掃描完成后，以得到的投影為灰度值沿著掃描路徑經(jīng)過的體素回抹到體素對應(yīng)的像素上。 圖 斷層的像素和射線模型 第三章 CT 圖像解析重建算法 10 圖 反投影重建示例 如圖 所示，其中（ a）為原圖像像素，（ b）為反投影重建后圖像，（ c）為（ b）中像素值除以投影線數(shù)后得到的平均值。即有偽跡。 圖 反投影重建的等效系統(tǒng) 設(shè) ),( yxu 為處于 0,0 ?? yx 處的一個(gè)點(diǎn)源，即二維斷面 ),( yx 上的一個(gè)沖擊函數(shù) ),( yx? ，這時(shí)的輸出 ),( yxf 就是系統(tǒng)的沖擊響應(yīng) ),( yxh 。 根據(jù)信號與系統(tǒng)理論，對于圖 有： ),(**),(),( yxhyxuyxf ? （ ） 式中，兩個(gè)星號表示二維卷積 ]4[ 。即使加上某種近似，這種濾波器也不容易實(shí)現(xiàn)。為此提出了濾波反投影圖像重建法。增加濾波器的思路有兩種，如圖 所示。 在介紹濾波反投影重建法之前先補(bǔ)充濾波反投影重建法要用到的數(shù)學(xué)知識和投影定理 —— 中心切片定理。通常 正變換：圖像空間到其他空間 反變換：其他空間到圖像空間 Radon 變換 Radon 變換 1917 年由奧地利數(shù)學(xué)家 Radon 提出，是 CT 圖像重建思想的數(shù)學(xué)表達(dá)。 Radon 變換的意義在 于，只要知道了一個(gè)未知二維分布函數(shù)的所有方向上的線積分，那么就能夠求得該二維分布函數(shù)。斷層掃描獲得的投影實(shí)際上可視為被測物體斷層內(nèi)部結(jié)構(gòu)和組成的不同方向上的線積分，所以 Radon 變換的正變換和逆變換正好對應(yīng)了 CT 技術(shù)的射線投影和圖像二維分布函數(shù)的重建過程。若設(shè) ),( yxf 表示物體的一個(gè)二維斷層分布，通過 Radon 變換的到 f 沿不同方向直線的線積分相當(dāng)于得到物體不同方向的投影。 由上述可知， ),( yxf 關(guān)于某直線的 Radon 變換就是 ),( yxf 沿該直線上的一維投影。域 ),( ?p 中的每個(gè)點(diǎn)對應(yīng)于空間域),( yx 中的一條直線，這里 ),( ?p 實(shí)際上就是《圖像分析》中直線的 Hough 變換 ]10[ 。 ??? ? deF ti)(21 ???? 稱為 )(?F 的 Fourier 逆變換，記為 )]([1 ?fF? 。將已知投影數(shù)據(jù)通過一個(gè)簡單的二維傅立葉反變換可以得到物體截面的一個(gè)評估。 數(shù)學(xué)表達(dá)如下： 首先定義代表截面的函數(shù)的二維傅里葉變換： d x d yeyxfvuF vyuxj? ?????????? )(2),(),( ? （ ） 類似的定義某個(gè)角度 ? 下的一條投影 )(tP? 的傅里葉變換： 第三章 CT 圖像解析重建算法 15 dtetPS tj ???? ? 2)()( ?????? （ ） 舉個(gè)最簡單的例子：沿著 ? =0 的直線方向，物體投影的傅里葉變換等于頻域里面 ? = 0 的情形 d x d yeyxfuF uxj? ????????? ?2),()0,( （ ） 因?yàn)橄辔灰蜃硬辉僖蕾囉?y ，在此可以將積分分成兩部分， dxedyyxfuF uxj? ????????? ?2]),(